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1、西安市第一中学 20132014 学年度第二学期期中考试 高二理科数学试题（选修2-2 ） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1已知复数(2)zi i（i为虚数单位），则z（） A12i B12i C 12i D12i 【答案】 A 【解析】 复数(2)12zi ii。 2. 函数xxxysin的导数是 ( ) A. 1 sincos 2 yxxx x B. 1 sincos 2 yxxx x C. 1 sincos 2 yxxx x D. 1 sincos 2 yxxx x 【答案】 A 【解析】因为xxxysin ，所以 1 sinsinsincos 2
2、yxxxxxxxx x 。 3下列不等式一定成立的是（） A 21 lg()lg(0) 4 xx x B 1 sin2(,) sin xxkkZ x C 2 12|()xxxR D 2 1 1() 1 xR x 【答案】 C 【解析】 A因为 2 1 0 4 xxx时，成立，所以 2 1 lg()lg(0) 4 xx x 不一 定成立； B因为sinx可能为负值， 所以 1 sin2(,) sin xxkkZ x 不一定成立； C 2 12|()xxxR 一定成立； D 21 1() 1 xR x 不一定成立，例如1x时就不成立。 4曲线 3 24yxx在点(13)，处的切线的斜率为（） A2
3、 B1 C -2 D-1 【答案】 B 【解析】 因为 3 24yxx，所以 2 ( )32,(1)1fxxf所以k=。 5函数y13xx 3 有（） A极小值 1，极大值 1 B极小值 2，极大值 3 C极小值 2，极大值 2 D极小值 1，极大值 3 【答案】 D 【解析】 y=3-3x 2=3（1+x） （1-x） 令 y=0 得 x1=-1，x2=1当 x-1 时，y0，函数 y=1+3x-x 3 是减函 数； 当-1x1 时，y0，函数 y=1+3x-x 3 是增函数； 当 x1 时，y0，函数 y=1+3x-x 3 是减函数 当 x=-1时，函数 y=1+3x-x 3 有极小值 -
4、1；当 x=1 时，函数 y=1+3x-x 3 有极大值 3 6设( )fx是函数)(xf的导函数 , ( )fx的图象如右图所示， 则)(xfy的图象最有可能的是（） 【答案】 C 【解析】 由 f（x）的图象可得，在（ -，0）上， f（x）0，f （x）是增函数 在（0，2）上， f（x）0，f（x）是减函数 在（2，+）上， f（x）0，f（x）是增函数 O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x A B C D O 1 2 x y 7由直线 2 1 x，x=2，曲线 x y 1 及 x 轴所围成的平面图形的面积是 （） A. 4 15 B. 4 1
5、7 C. 2ln 2 1 D. 2ln2 【答案】 D 【解析】 如图， 2 2 1 1 2 2 11 lnln 2ln2ln 2 2 Sdxx x 。 8若曲线sinfxxx在 x= 2 处的切线与直线 ax+2y+1=0互相垂直， 则实数 a 等于（） A2 B1 C -2 D-1 【答案】 A 【解析】 f（x）=sinx+xcosx ，f( 2 )1，即函数sinfxxx在点 x 2 处的切线的斜率是1， 直线 ax+2y+1=0的斜率是 2 a ， 所以 2 a =-1， 即 a=2. 9函数 2 ( )2lnf xxx=-的递增区间是 ( ) A. 1 (0,) 2 B. 1 (,
6、0) 2 和 1 (,) 2 C. 1 (,) 2 D. 1 (,) 2 和 1 (0,) 2 【答案】 C 【解析】因为 2 ( )2lnf xxx=-，x0，所以 1 ( )4fxx x ，令 1 ( )4fxx x 0，解得 1 2 x，所以函数 f（x）=2x 2-lnx 的递增区间是1 (,) 2 。 10. 设 ( ),( )f xg x分别是定义在R上的奇函数和偶函数 , 当0x时， ( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，且( 3)0g，则不等式( ) ( )0f x g x的解集 是（） A. ( 3,0)(3,)B. (,3)(0,3) C. (, 3)(3
7、,) D. ( 3,0)(0,3) 【答案】 B 【解析】 设( )( ) ( )F xfx g x， 当 x0 时，F（x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0F （x）在当 x0 时为增函数 F （-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）?g （x） =-F （x） 故 F（x） 为（-，0）（0，+）上的奇函数F（x）在（ 0，+）上 亦为增函数已知 g（-3）=0，必有 F（-3）=F（3）=0构造如 图的 F（x）的图象，可知 F（x）0 的解集为 x（-，-3）（0， 3） 二、填空题 （本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分） 11已知23)( 23 xaxxf
8、，若4)1( f，则 a=_ ； 【答案】 10 3 【解析】因为23)( 23 xaxxf， 所以 2 ( )36fxaxx， 又因为4) 1( f， 所以 10 3 a。 12过原点作曲线 x ey的切线，则切线斜率是； 【答案】 e 【 解 析 】 设 切 点 为 00 ,xy， 则 在 此 切 点 处 的 切 线 方 程 为 00 0 () xx yeexx， 因为 过 原 点， 所 以 0 1x， 所 以切 线 的 斜率 为 (1)fek=。 13 观察下列不等式 2 13 1 22 ， 23 115 1 233 ， 4 7 4 1 3 1 2 1 1 222 , 照此规律，第五个
9、不等式为 ； 【答案】 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 【解析】 由已知中的不等式 2 13 1 22 ， 23 115 1 233 ， 4 7 4 1 3 1 2 1 1 222 , 得出式子左边是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等 式序号n+1 的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是 2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第五个不等式 是 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 。 14 用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(nnnnn n （Nn）时，从“1knkn到”时，左边应增添的代
10、数式 _ ； 【答案】)12(2k 【解析】 当 n=k（kN * ）时，左式 =（k+1） （k+2）, （k+k） ； 当 n=k+1 时，左式 =（k+1+1）?（k+1+2 ）?（k+1+k-1）?（k+1+k ）? （k+1+k+1 ） ， 所以左边应增乘的式子是 2122 2(21) 1 kk k k 。 15设( )()()()f xxaxbxc(, ,a b c是两两不等的常数 )，则 ( )( )( ) abc fafbfc 的值是 _. 【答案】 0 【解析】因为()()(fxxaxbxc ，所以 ( )fxxbxcxaxcxaxb 所以 f（a）=（a-b） （a-c）
11、，同理 f（b）=（b-a） （b-c） ，f（c） =（c-a） （c-b） ( )( )( ) abc fafbfc =0 三、解答题 （本大题共 4 小题，共 40 分） 16.（10 分）已知数列 1111 . 12 23 34(1)nn ，计算 1234 SSSS， 根据计算结果，猜想 n S的表达式，并用数学归纳法证明. 17. （10 分）设 , ,a b c 均为正数 , 且 1abc ,证明: (1) 1 3 abbcca ; (2) 222 1 abc bca . 18(10 分）已知函数xaxxxf3)( 23 （1）若 3 1 x是)(xf的极大值点 , 求)(xf在,
12、 1 a上的最大值； （2）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数bxxg)( 的图像与函数)(xf的图像恰有 3 个交点，若存在，求出b的取 值范围，若不存在，说明理由。 19.（10分）已知函数 ( )ln()fxxax aR (1)当 2a 时, 求曲线 ( )yf x 在点 (1, (1)Af 处的切线方程 ; (2)求函数 ( )f x 的极值。 西安市第一中学 2013-2014学年度第二学期期中考试高二理科数学答案 一、选择题 AACBD CDACB 二、填空题 11、-1 12、e13、 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 14 、)12(2k
13、15、0 三、解答题 16已知数列 1111 . 12 23 34(1)nn ，计算 1234 SSSS，根据计算结果， 猜想 n S 的表达式，并用数学归纳法证明. 解： 1234 1234 = 2345 SSSS，,4 分 猜想：= 1 n n S n ,6 分 用数学归纳法证明（略）,10 分 17 （每小题5 分，共 10 分） 设 , ,a b c 均为正数 , 且 1abc , 证明: (1) 1 3 abbcca ; (2) 222 1 abc bca . 18已知函数xaxxxf3)( 23 （ 1）若 3 1 x是)(xf的极大值点 , 求)(xf在, 1a上的最大值； （2
14、）在（ 1）的条件下，是否存在实数b，使得函数bxxg)(的图像与函数)(xf的图 像恰有 3 个交点，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由。 解： (1)0) 3 1 ( f得 a=4. )3)(13(383)( 2 xxxxxf 在区间4, 1上, )(xf在3 , 1上为减函数 ,在4 ,3上为增函数 . 而6)1 (f，12)4(f，所以6)( max xf,5 分 (2)问题即为是否存在实数b，使得函数bxxxx34 23 恰有 3 个不同实根 . 方程可化为 0)3(4 2 bxxx等价于0)3(4 2 bxx有两个不等 于 0 的实根则30b且， 所以3,7 bb , 1
15、0 分 19、解 : 函数( )f x的定义域为(0,),( )1 a fx x . (1) 当2a时,( )2lnf xxx, 2 ( )1(0)fxx x , (1)1,(1)1ff, ( )yf x在点(1, (1)Af处的切线方程为1(1)yx, 即20xy. ,5 分 (2) 由( )1,0 axa fxx xx 可知 : 当0a时,( )0fx, 函数( )f x为(0,)上的增函数 , 函数( )f x无极值 ; 当0a时, 由( )0fx, 解得xa; (0, )xa时,( )0fx,( ,)xa时,( )0fx ( )f x在xa处取得极小值 , 且极小值为( )lnf aaaa, 无极大值 . 综上 :当0a时, 函数( )f x无极值 当0a时, 函数( )f x在xa处取得极小值lnaaa, 无极大值 . ,10 分