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1、第二章随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性 A 级基础巩固 一、选择题 1 两个实习生每人加工一个零件， 加工为一等品的概率分别为 2 3和 3 4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一 等品的概率为 ( ) A.1 2 B. 5 12 C. 1 4 D.1 6 解析： 所求概率为 2 3 1 4 1 3 3 4 5 12或 P1 2 3 3 4 1 3 1 4 5 12. 答案： B 2打靶时，甲每打10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次， 若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( ) A.14 25 B.12 25
2、C.3 4 D.3 5 解析： P甲 8 10 4 5，P 乙 7 10，所以 PP 甲P乙14 25. 答案： A 3如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的 机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( ) A.4 9 B.2 9 C.2 3 D.1 3 解析： 设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”， 则 P(A)2 3，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域 ”， 则 P(B)2 3.故 P(AB)P(A) P(B) 2 3 2 3 4 9. 答案： A 4有以下 3 个问题： (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N： “出现
3、的点数为偶数”； (2)袋中有 5 红、 5 黄 10 个大小相同的小球， 依次不放回地摸两球， 事件 M：“第 1 次摸到红球”，事件N：“第 2 次摸到红球”； (3)分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件M：“第 1 枚为正面”，事件 N：“两枚结果相同” 这 3 个问题中， M，N 是相互独立事件的有 ( ) A3 个B2 个C1 个D0 个 解析：只有 (1)中的事件 M，N 是相互独立事件 答案： C 5加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为 1 70， 1 69， 1 68，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次 品率为 ( ) A. 1 35 B. 3 6
4、8 C. 3 70 D. 5 69 解析： 设加工出来的零件为次品为事件 - A ， 则 A 为加工出来的零件为正品 所以 P(A)1P( - A )1 1 1 70 1 1 69 1 1 68 3 70. 答案： C 二、填空题 6在甲盒内的200 个螺杆中有160 个是 A 型，在乙盒内的240 个螺母中有 180 个是 A 型若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为 _ 解析： 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N，因事件 M，N 相互独立，则能配成A 型螺栓 (即一 个 A 型螺杆与一个A 型螺母 )的概率为 P(MN)P(M)P(N)16
5、0 200 180 240 3 5. 答案： 3 5 7 已知 P(A)0.3，P(B)0.5，当事件 A、B 相互独立时，P(AB) _，P(A|B)_ 解析： 因为 A， B 相互独立，所以 P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 0.30.50.30.50.65；P(A|B)P(A)0.3. 答案： 0.65 0.3 8有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是 1 2，乙能解 决的概率是 1 3，2 人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的 概率为 _ ，问题得到解决的概率为_ 解析： 都未解决的概率为1 1 2 1 1 3 1 2 2 3 1 3，问题得到解决 就是至少有
6、 1 人能解决问题，所以P1 1 3 2 3. 答案： 1 3 2 3 三、解答题 9已知电路中有 4 个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为 1 2，求灯亮的概率 解：因为 A，B 断开且 C，D 至少有一个断开时，线路才断开，导 致 灯 不 亮 ， P P(AB)1 P(CD) P(A)P(B)1 P(CD) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 16. 所以灯亮的概率为1 3 16 13 16. 10某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 4 5，乙当 选的概率为 3 5，丙当选的概率为 7 10. (1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率 解：设甲、乙
7、、丙当选的事件分别为A，B，C， 则有 P(A) 4 5，P(B) 3 5 ，P(C) 7 10. (1)因为 A，B，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为 P(A B C )P( A B C ) P( A B C)P(A)P( B )P( C ) P( A )P(B)P( C )P( A )P( B )P(C) 4 5 2 5 3 10 1 5 3 5 3 10 1 5 2 5 7 10 47 250. (2)至多有两人当选的概率为1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1 4 5 3 5 7 10 83 125. B 级能力提升 1从甲袋中摸出一个红球的概率是 1 3，从乙袋中摸出
8、一个红球的 概率是 1 2，从两袋各摸出一个球，则 2 3 等于( ) A2 个球不都是红球的概率 B2 个球都是红球的概率 C至少有 1 个红球的概率 D2 个球中恰有 1 个红球的概率 解析： 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则 P(A) 1 3，P(B) 1 2，由于 A、B 相互独立，所以 1P( A )P( B )12 3 1 2 2 3.根据互斥事件可知 C 正确 答案： C 2一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新 药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为 _(用数字作答 ) 解析： 分情况讨论：若共有3 人被治愈，则P1C 3 40.9 3(1
9、0.9) 0.291 6；若共有 4 人被治愈，则 P20.9 40.656 1.故至少有 3 人被 治愈的概率为 PP1P20.947 7. 答案： 0.947 7 3已知 A，B，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是 1 2，事 件 B 发生的概率是 2 3，事件 C 发生的概率是 3 4 ，求下列事件的概率： (1)事件 A、B、C 只发生两个； (2)事件 A、B、C 至多发生两个 解：(1)记“事件 A，B，C 只发生两个 ”为 A1，则事件 A1包括三 种彼此互斥的情况，AB C ；A B C； A BC，由互斥事件概率的加法 公式和相互独立事件的概率乘法公式， 所以概率为 P(A1)P(AB C )P(A B C)P( A BC) 2 24 3 24 6 24 11 24， 所以事件 A，B，C 只发生两个的概率为 11 24. (2)记“事件 A，B，C 至多发生两个 ”为 A2，则包括彼此互斥的 三种情况：事件A，B，C 一个也不发生，记为A3，事件 A，B，C 只 发生一个，记为A4，事件 A，B，C 只发生两个，记为A5，故 P(A2) P(A3)P(A4)P(A5) 1 24 6 24 11 24 3 4 . 所以事件 A、B、C 至多发生两个的概率为 3 4.