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1、1 绝密启用前 普通高等学校招生全国统一考试全国卷 3 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题 卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保证答
2、题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1已知集合A=x|x1000的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 AA1 000 和n=n+1 BA1 000 和n=n+2 C A1 000 和n=n+1 DA1 000 和n=n+2 9已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 ) ，则下面结论正确的是( ) A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C 2 B把C 1上各点的横
3、坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线C2 C把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线C2 10已知F为抛物线C：y 2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直 线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE| 的最小值为 ( ) A16 B14 C12 D10 11设xyz为正数，且235 xyz ，则( ) A2x100
4、且该数列的前N项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是( ) A440 B330 C220 D110 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量a，b的夹角为60， |a|=2 ， |b|=1 ，则| a +2 b |= _ . 14设x，y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy的最小值为 _ . 15已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线 C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为 _。 16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上
5、的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上 的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边 长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _。 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）
6、求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 . 4 18. （12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP o. （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，90APD o， 求二面角A-PB-C的余弦值 . 19（ 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸 （单 位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 ( ,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 (3
7、,3 )之外的零件数， 求 (1)P X及 X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616
8、ii ii sxxxx，其中 i x为抽取的第 i个零件的尺寸， 1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值 ?， 用样本标准差s作为的估计值?，利用估计值判断是否需对当天 的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,3 )之外的数据， 用剩下的数据估计 和（精确到0.01 ） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 (,)N，则(33 )0.997 4PZ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 5 20. （12 分）已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（ 1,1 ） ，P2（0,1 ） ，P3（ 1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭
9、圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定 点. 21. （12 分）已知函数)f x（ae 2x+( a2) e x x. （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求a的取值范围 . 6 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin, x y （为参数），直线l的参数方程为 4 , 1, xat t yt （
10、 为参数）. （1）若a=- 1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17 ，求a. 23 选修 4 5：不等式选讲 （10 分） 已知函数f（x）=x 2+ax+4， g(x)=x+1+x1. （1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1， 1，求a的取值范围 . 7 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. A 2B 3B 4C 5D 6C 7B 8D 9D 10A 11D 12 A 二、填
11、空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 132 314-5 15 2 3 3 16 3 15cm 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 . 解： （1） 由题意可得 2 1 sin 23sin ABC a SbcA A ， 化简可得 22 2
12、3sinabcA， 根据正弦定理化简可得： 22 2 2sin3sinsinCsinsinsinC 3 ABAB。 （2） 由 2 sinsinC 12 3 coscossinsinCcoscos 123 coscos 6 B AABBBCA BC ， 因此可得 3 BC， 将之代入 2 sinsinC 3 B中可得： 231 sinsinsincossin0 322 CCCCC ， 化简可得 3 tan, 366 CCB， 8 利用正弦定理可得 31 sin3 sin23 2 a bB A ， 同理可得3c， 故而三角形的周长为32 3。 18. （12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，
13、AB/CD，且90BAPCDP o . （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，90APD o， 求二面角A-PB-C的余弦值 . （1）证明： / /,ABCD CDPDABPDQ, 又,ABPA PAPDP,PA、PD都在平面PAD内， 故而可得ABPAD。 又AB在平面PAB内，故而平面PAB平面PAD。 （2）解： 不妨设2PAPDABCDa， 以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标： 0,0,2,2 ,0,0 ,2 ,2 ,0 ,2 ,2 ,0PaAaBaaCaa， 因此可得 2 ,0,2,2 ,2 ,2,2 ,2
14、 ,2PAaaPBaaaPCaaa uu u ru uu ruuu r ， 假设平面PAB的法向量 1 , ,1nx y u r ，平面PBC的法向量 2 , ,1nm n u u r ， 故而可得 1 1 2201 22200 nPAaxax nPBaxayay u r uu u r u r uuu r ，即 1 1,0,1n u r ， 同理可得 2 2 22200 2 2220 2 nPCamanam nPBamanan u u r uuu r u u r uu u r ，即 2 2 0,1 2 n u u r 。 9 因此法向量的夹角余弦值： 12 13 cos, 33 2 2 n n
15、 u r uu r 。 很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 3 3 。 19（ 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺 寸 （单位： cm ） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 ( ,)N （1） 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求 (1)P X 及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3 ,3 )之外的零件， 就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说
16、明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ，其中 i x为抽取的第 i个零件的尺寸， 1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值 ?， 用样本标准差 s作为的估计值?，利用估计值判断是否需对当天 的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,
17、3 )之外的数据， 用剩下的数据估计 和（精确到0.01 ） 附：若随机变量 Z服从正态分布 2 (,)N，则(33 )0.997 4PZ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 解： （1） 16 11010.997410.95920.0408P XP X 由题意可得，X满足二项分布16,0.0016XB， 因此可得16,0.0016160.00160.0256EX （2） 1 由（ 1）可得10.04085%P X，属于小概率事件， 故而如果出现 (3 ,3 ) 的零件，需要进行检查。 2 由题意可得 9.97,0.21239.334,310.606， 故而在9.334,
18、10.606范围外存在9.22 这一个数据，因此需要进行检查。 10 此时： 9.97169.22 10.02 15 x， 15 1 1 0.09 15 i xx 。 20. （12 分） 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（1,1 ） ，P2（0,1 ） ，P3（ 1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中 恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定 点. 解： （1） 根据椭圆对称性可得，P1（1,1 ）P4（1， 3 2 ）不可能同时在椭圆上， P3（
19、1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过P2（ 0,1 ） ，P3（ 1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ） ， 代入椭圆方程可得： 2 13 1,12 4 ba a ， 故而可得椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 x y。 （2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在， 不妨设直线P2A为：1ykx,P2B为：11yk x. 联立 22 2 2 1 4180 1 4 ykx kxkx x y ， 假设 11 ,A xy， 22 ,B xy此时可得： 2 2 2222 8 114 1814 , 41 41 4 11 4 11 kkkk AB k
20、k kk ， 11 此时可求得直线的斜率为： 2 2 22 21 21 22 14 114 41 4 11 8 1 8 41 4 11 AB kk k kyy k k xxk k k ， 化简可得 2 1 12 AB k k ，此时满足 1 2 k。 1 当 1 2 k时，AB两点重合，不合题意。 2 当 1 2 k时，直线方程为： 2 222 1814 4141 12 kk yx kk k ， 即 2 2 441 12 kkx y k ，当2x时，1y，因此直线恒过定点2, 1。 21. （12 分） 已知函数 )f x（ ae 2x+( a2) e x x. （1）讨论( )f x的单调性
21、； （2）若 ( )f x 有两个零点，求a的取值范围 . 解： （1）对函数进行求导可得 2 22111 xxxx fxaeaeaee。 1当 0a时，110 xx fxaee恒成立，故而函数恒递减 2当0a时， 1 110ln xx fxaeex a ，故而可得函数在 1 ,ln a 上单调递减， 在 1 ln, a 上单调递增。 （2）函数有两个零点，故而可得0a，此时函数有极小值 11 lnln1fa aa ， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0， 故而可得 1 ln100aa a ，令 1 gln1aa a ， 对函数进行求导即可得到 2 1 g0 a a a ，故而函数恒递增，
22、 又g 10， 1 gln101aaa a ， 因此可得函数有两个零点的范围为0,1a。 12 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 23 选修 4 5：不等式选讲 （10 分） 已知函数f（x）=x 2+ax+4， g(x)=x+1+x1. （1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1， 1，求a的取值范围 . 解： 将函数11g xxx化简可得 21 211 21 xx g xx xx （1）当1a时，作出函数图像可得fxg x的范围在F和G点中间， 联立 2 2 4 yx y
23、xx 可得点 171 , 171 2 G ，因此可得解集为 171 1, 2 。 （2）即fxg x在1,1内恒成立，故而可得 22 422xaxxax恒成立， 根据图像可得：函数yax必须在 12 ,l l之间，故而可得11a。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin, x y （为参数），直线l的参数方程为 13 4 , 1, xat t yt （ 为参数）. （1）若a=- 1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17 ，求a. 解： 将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 2 2 1 9 x y，直线化为直角方程为 11 1 44 yxa （1）当1a时，代入可得直线为 13 44 yx，联立曲线方程可得： 22 13 44 99 yx xy ， 解得 21 25 24 25 x y 或 3 0 x y ，故而交点为 21 24 , 25 25 或3,0 （2）点 3cos , sin , x y 到直线 11 1 44 yxa的距离为 3cos4sin4 17 17 a d， 即：3cos4sin417a， 化简可得1743cos4sin174aa， 根据辅助角公式可得135sin21aa， 又55sin5，解得8a或者16a。