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1、数学必修五专项练习（含2020 高考真题） 一、选择题 1、设为等差数列的前项和，若，则 A B C D 2、已知集合，则 A B C D 3、已知成等比数列，且若，则 A B C D 4、在中，则 A B C D 5、的内角，的对边分别为，若的面积为，则（） A B C D 6、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 （A）6 （B）19 （C）21 （D）45 7、若满足则的最大值为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 8、已知函数设，若关于x的不等式在 R上恒成立，则a的取值范围 是 （A）（B）（C ）（D ） 9、设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 （A）（B）1（C）（D）
2、3 10、已知x,y满足约束条件, 则z=x+2y的最大值是 （A）-3 （B）-1 （C ） 1 （D ）3 11、若x，y满足则x + 2y的最大值为 （A）1 （ B）3 （C）5 （ D）9 12、如图，点列 An ， Bn 分别在某锐角的两边上，且， ，（）. 若 A是等差数列 B是等差数列 C是等差数列 D是等差数列 二、填空题 13、记为数列的前项和，若，则_ 14、若，满足约束条件，则的最大值为 _ 15、设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为_ 16、已知R ，函数f(x)=，当=2 时，不等式f(x)1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5的
3、等差中项数列 bn满足b1=1，数列 （bn+1-bn）an 的前n项和为 2n 2+n （）求q的值； （）求数列bn 的通项公式 30、设是等差数列，且. （）求的通项公式； （）求. 31、已知数列满足，设 （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式 32、记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值 33、等比数列中， 求的通项公式； 记为的前项和若，求 34、设an是等差数列，其前n项和为Sn（nN * ）； bn 是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（nN * ）已 知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5
4、=a4+2a6 （）求Sn和Tn； （）若Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数n的值 35、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c已知bsinA=acos(B) （）求教B的大小； （）设a=2，c=3，求b和 sin(2AB) 的值 36、设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列 （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明： 存在，使得对均成立，并求 的取值范围（用表示） 四、综合题 37、设和是两个等差数列，记， 其中表示这个数中最大的数 （）若，求的值，并证明是等差数列； （）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整
5、数，使得 是等差数列 38、若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. (1) 若具有性质. 且, , , , ，求； (2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列， ，判断是否具有性质，并说明理由； (3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条 件为“是常数列” . 参考答案 一、选择题 1、B 2、B 3、B 4、 A 5、C 解答： ，又，故，. 故选 C. 6、C 7、D 8、 当时， (*)式为， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上故选 A 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循 分
6、段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应 的的范围 . 9、 【考点】线性规划 【名师点睛】线性规划问题有三类: （1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考 查斜率型或距离型目标函数；（ 2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（ 3）线性规 划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题. 10、 D 【解析】 【考点】线性规划 11、 D 【解析】 试题分析：如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故 选 D. 【考点】线性规划 【名师点睛】 本题主要考查简单线性规划
7、解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋 予几何意义； 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求 其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常 见的目标函数有： （1）截距型： 形如. 求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（ 2）距离型：形如； （3）斜率型：形如，而本题属于截距形式. 12、 A 【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中 条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么 和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么 ，作差后：
8、，都为定值，所以为定值故选A 二、填空题 13、 14、 6 15、 16、 17、 18、 -2；8 19、 27 20、 9 21、 22、 3 23、 24、 6 25、 9 26、 解答： 由图可知在直线和的交点处取得最大值，故. 三、简答题 27、解：（ 1）在中，由正弦定理得. 由题设知，所以. 由题设知，所以. （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 28、解：（）在ABC中，cosB=，B（，），sinB= 由正弦定理得=，sinA= B（，），A（ 0，），A= （）在ABC中，sinC=sin （A+B）=sinAcosB+sinBcosA= 如图所示，
9、在ABC中，sinC=，h=， AC边上的高为 29、（）由是的等差中项得， 所以， 解得. 由得， 因为，所以. （）设，数列前n项和为. 由解得. 由（）可知， 所以， 故， . 设， 所以， 因此， 又，所以. 30、解：（ I ）设等差数列的公差为， ， ， 又，. . （II ）由（ I ）知， ， 是以 2 为首项， 2为公比的等比数列. . . 31、解：（ 1）由条件可得an+1= 将n=1 代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4 将n=2 代入得，a3=3a2，所以，a3=12 从而b1=1，b2=2，b3=4 （2）bn 是首项为1，公比为 2 的等比数列 由条件
10、可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以 bn 是首项为1，公比为 2 的等比数列 （3）由（ 2）可得，所以an=n2 n-1 32、解： （1）设 an 的公差为d，由题意得3a1+3d=15 由a1=7 得d=2 所以 an的通项公式为an=2n9 （2）由（ 1）得Sn=n 2 8n=（ n4） 216 所以当n=4 时，Sn取得最小值，最小值为 16 33、（ 1）或；（ 2）. 解答：（ 1）设数列的公比为，. 或. （2）由（ 1）知，或， 或（舍）， . 34、（ I ）解：设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得. 因为，可得，故. 所以. 设等差数列的公差为
11、. 由，可得. 由，可得从而 ，故，所以. （II ）解：由（ I ），知 由可得， 整理得解得（舍），或. 所以n的值为 4. 35、 （） 解：在 ABC中，由正弦定理，可得，又由，得 ，即，可得又因为，可得B= （）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b= 由，可得因为a0 时， 所以单调递减，从而f（0）=1 当时， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为 因此，d的取值范围为 四、综合题 37、（）详见解析；（）详见解析. 【解析】 试题分析：（）分别代入求，观察规律，再证明当时， 所以关于单调递减 . 所以，即证明； （）首先求的通项公式，分三种情况讨论证
12、明. （）设数列和的公差分别为，则 . 所以 当时，取正整数，则当时，因此. 此时，是等差数列 . 当时，对任意， 此时，是等差数列 . 当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，. 【考点】 1. 新定义； 2. 数列的综合应用;3. 推理与证明 . 【名师点睛】 近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于 偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考 查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推 理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生. 38、【解析】 (1) (2) 设的公差为，的公差为，则 , 而, 但 故不具有性质 (3) 充分性：若为常数列，设 则 若存在使得， 则, 故具有性质 必要性：若对任意，具有性质 则 设函数, 由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点 一定能找到一个，使得 故 是常数列