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1、模块综合测评 (时间 120 分钟，满分 150分) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知正方体外接球的体积是 32 3 ，那么正方体的棱长等于 () A2 2 B. 2 2 3 C.4 2 3 D. 4 3 3 【解析】设正方体的棱长为 a， 球的半径为 R， 则4 3 R 332 3 ， R2.又3 a2R4，a 4 3 3 . 【答案】D 2过点 A(3，4)，B(2，m)的直线 l 的斜率为 2，则 m 的值为() A6 B1 C2 D4 【解析】由题意知 kAB m4 232，m6. 【答案】
2、A 3 (2019 北京高考题 )在 x 轴、y轴上的截距分别是 2、 3 的直线方程是 () A2x3y60 B3x2y60 C3x2y60 D2x3y60 【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为 x 2 y 31，即 3x2y6 0. 【答案】C 4关于空间直角坐标系Oxyz中的一点 P(1,2,3)有下列说法： 点 P 到坐标原点的距离为13； OP 的中点坐标为 1 2，1， 3 2 ； 与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为 (1，2，3)； 与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，3)； 与点 P 关于坐标平面 xOy对称的点的坐标为 (1,2，3) 其中正确的个数是
3、() A2 B3 C4 D5 【解析】点 P 到坐标原点的距离为1 22232 14，故错；正确； 与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为 (1，2，3)，故错；与点 P 关于坐标原点 对称的点的坐标为 (1，2，3)，故错；正确，故选 A. 【答案】A 5(2019北京高考题 )如图 1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别是 棱 BB1、B1C1的中点，若 CMN90 ，则异面直线 AD1和 DM 所成角为 () 图 1 A30B45 C60D90 【解析】因为 MNDC，MNMC， 所以 MN平面 DCM. 所以 MNDM. 因为 MNAD1，所以 AD1DM. 【答案】D
4、 6(2015 福建高考 )某几何体的三视图如图2 所示，则该几何体的表面积等于 () 图 2 A82 2 B1122 C142 2 D15 【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形， 如图所示 直角梯形斜腰长为12122， 所以底面周长为 42， 侧面积为 2(42) 82 2，两底面的面积和为2 1 21(12)3，所以该几何体的表面积为 8 2 23112 2. 【答案】B 7已知圆 x 2y22x2yk0 和定点 P(1，1)，若过点 P 的圆的切线有 两条，则 k 的取值范围是 () A(2， ) B(， 2) C(2,2) D(， 2)(2， ) 【解析】因
5、为方程 x2y22x2yk0 表示一个圆，所以444k0， 所以 k2.由题意知点 P(1，1)在圆外，所以 1 2(1)2212(1)k0， 解得 k2，所以 2k2. 【答案】C 8 在三棱柱 ABC-A1B1C1中， 各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 () A30B45 C60D90 【解析】如图， 取 BC的中点 E， 连接 DE、 AE、 AD.依题设知 AE平面 BB1C1C. 故ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角设各棱长为2，则 AE 3 2 23， DE1. tanADE AE DE
6、3 1 3， ADE60 ，故选 C. 【答案】C 9(2019 开封高一检测 )若 m、n 为两条不重合的直线， 、为两个不重合的 平面，则下列说法中正确的是() 若直线 m、n 都平行于平面 ，则 m、n 一定不是相交直线； 若直线 m、n 都垂直于平面 ，则 m、n 一定是平行直线； 已知平面 、互相垂直，且直线m、n 也互相垂直，若 m ，则 n ； 若直线 m、n 在平面 内的射影互相垂直，则mn. AB CD 【解析】对于，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面； 对于，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行，故 正确； 对于，还有可能 n ；对于，把 m，n 放入正方
7、体中， 如图，取 A1B 为 m， B1C 为 n， 平面 ABCD为平面 ， 则 m与 n 在 内的射影分别为 AB与 BC， 且 ABBC. 而 m 与 n 所成的角为 60 ，故错因此选 A. 【答案】A 10(2019 全国卷 )已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接 圆的圆心到原点的距离为 () A. 5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D. 4 3 【解析】 在坐标系中画出 ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC| 2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 D， 点 E 为外心，同时也是重心所以|
8、AE|2 3|AD| 2 3 3 ，从而 |OE|OA|2|AE|2 1 4 3 21 3 ，故选 B. 【答案】B 11(2019 重庆高一检测 )已知 P(x，y)是直线 kxy40(k0)上一点， P A 是圆 C：x 2y22y0 的一条切线， A 是切点，若 PA 长度的最小值为 2，则 k 的 值是() 【导学号： 09960153】 A3 B. 21 2 C2 2 D2 【解析】圆 C：x2y22y0 的圆心是 (0,1)，半径是 r1， PA 是圆 C：x2y22y0 的一条切线， A 是切点， PA 长度的最小值为 2， 圆心到直线 kxy40 的最小距离为5， 由点到直线的
9、距离公式可得 |14| k 21 5， k0，k2，故选 D. 【答案】D 12(2016 德州高一检测 )将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BDa，则三棱锥 D-ABC 的体积为 () A. 2 12 a 3 B. a 3 12 C. 2 4 a 3 D. a 3 6 【解析】取 AC 的中点 O，如图， 则 BODO 2 2 a， 又 BDa，所以 BODO，又 DOAC， 所以 DO平面 ACB， VD-ABC1 3S ABC DO 1 3 1 2a 22 2 a 2 12a 3. 【答案】A 二、(2019北京高考题 )填空题 (本大题共 4 小题，每小题
10、5 分，共 20分，将 答案填在题中的横线上 ) 13已知两条平行直线的方程分别是2x3y10，mx6y50，则实数 m_. 【解析】由于两直线平行，所以 2 m 3 6 1 5，m4. 【答案】4 14一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶 直立时，水的高度与桶的高度的比为_ 【解析】设圆柱形水桶的底面半径为R，高为 h，桶直立时，水的高度为x. 横放时水桶底面在水内的面积为 1 4 R 21 2R 2 ，水的体积为 V水 1 4 R 21 2R 2 h. 直立时水的体积不变，则有V水 R 2x， xh( 2)4. 【答案】( 2)4 15已知一个等腰三角形的顶点A(
11、3,20)，一底角顶点 B(3,5)，另一顶点 C 的 轨迹方程是 _ 【解析】设点 C 的坐标为 (x，y)， 则由|AB|AC|得 x3 2 y202 33 2 2052， 化简得 (x3)2(y20)2225. 因此顶点 C 的轨迹方程为 (x3)2(y20)2225(x3) 【答案】(x3)2(y20)2225(x3) 16(2015 湖南高考 )若直线 3x4y50 与圆 x 2y2r2(r0)相交于 A，B 两 点，且 AOB120 (O 为坐标原点 )，则 r_. 【解析】如图，过点 O 作 ODAB 于点 D，则|OD| 5 3 2 421. AOB120 ，OAOB， OBD
12、30 ， |OB|2|OD|2，即 r2. 【答案】2 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 ) 17(2019北京高考题 ) (本小题满分 10 分)直线 l1过点 A(0,1)，l2过点 B(5,0)， 如果 l1l2且 l1与 l2的距离为 5，求 l1，l2的方程 【解】若直线 l1，l2的斜率都不存在， 则 l1的方程为 x0，l2的方程为 x5， 此时 l1，l2之间距离为 5，符合题意； 若 l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为 ykx1，即 kxy10， 由点斜式可得直线l2的方程为 yk(x
13、5)，即 kxy5k0，在直线 l1上取点 A(0,1)，则点 A 到直线 l2的距离 d |15k| 1k 25，25k 210k125k225，k 12 5 . l1的方程为 12x5y50，l2的方程为 12x5y600. 综上知，满足条件的直线方程为 l1：x0，l2：x5 或 l1：12x5y50，l2：12x5y600. 18(本小题满分 12 分)已知圆 C1：x 2y24x2y0 与圆 C 2：x 2y22y4 0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程 【导学号： 09960154】 【解】(1)证明：圆 C1：x 2y24x2y0 与圆 C 2：x 2y
14、22y40 化为 标准方程分别为圆C1：(x2)2(y1)25 与圆 C2：x2(y1)25，则圆心坐标 分别为 C1(2， 1)与 C2(0,1)， 半径都为5， 故圆心距为20 2 1122 2， 又 02 22 5，故两圆相交 (2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x 2y24x 2y)(x2y22y4)0，得 xy10. 19(本小题满分 12 分)如图 3，在三棱锥 A-BPC 中，APPC，ACBC，M 为 AB 中点， D 为 PB 中点，且 PMB 为正三角形 图 3 (1)求证： DM平面 APC； (2)求证：平面 ABC平面 APC. 【证明】(1
15、)M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点， MDAP. 又DM?平面 APC，AP? 平面 APC， DM平面 APC. (2)PMB 为正三角形， D 为 PB 中点， MDPB.又MDAP，APPB. 又APPC，PCPBP，AP平面 PBC. BC? 平面 PBC，APBC. 又ACBC，且 ACAPA，BC平面 APC. 又BC? 平面 ABC，平面 ABC平面 APC. 20(本小题满分 12 分)已知 ABC 的顶点 A(0,1)，AB 边上的中线 CD 所在的 直线方程为 2x2y10，AC 边上的高 BH 所在直线的方程为y0. (1)求ABC 的顶点 B、C 的坐标；
16、(2)若圆 M 经过 A、 B 且与直线 xy30 相切于点 P(3,0)， 求圆 M 的方程 【解】(1)AC 边上的高 BH 所在直线的方程为y0，所以 AC 边所在直线的 方程为 x0， 又 CD 边所在直线的方程为2x2y10， 所以 C 0， 1 2 ， 设 B(b,0)， 则 AB 的中点 D b 2， 1 2 ， 代入方程 2x2y10， 解得 b2， 所以 B(2,0) (2)由 A(0,1)，B(2,0)可得，圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4x2y30， 由与 xy30 相切，切点为 (3,0)可得，圆心所在直线方程为yx30， 联立可得， M1 2， 5 2 ， 半径
17、|MA| 1 4 49 4 50 2 ， 所以所求圆方程为x1 2 2 y5 2 225 2 . 21(本小题满分 12 分)如图 4，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面， ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点 图 4 (1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1； (2)求证： C1F平面 ABE； (3)求三棱锥 E-ABC 的体积 【解】(1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1中， BB1底面 ABC，所以 BB1AB. 又因为 ABBC， 所以 AB平面 B1BCC1， 又 AB? 平面 ABE， 所以平面 ABE平面 B1BCC1. (
18、2)证明：取 AB的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 所以 FGAC，且 FG1 2AC. 因为 ACA1C1，且 ACA1C1， 所以 FGEC1，且 FGEC1， 所以四边形 FGEC1为平行四边形所以C1FEG. 又因为 EG? 平面 ABE，C1F?平面 ABE， 所以 C1F平面 ABE. (3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC， 所以 ABAC 2BC2 3. 所以三棱锥 E-ABC的体积 V 1 3S ABC AA11 3 1 2 312 3 3 . 22(本小题满分 12 分)已知圆 M 过两点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心
19、 M 在 xy20 上 (1)求圆 M 的方程； (2)设 P 是直线 3x4y80 上的动点， PC、PD 是圆 M 的两条切线， C、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值 . 【导学号： 09960155】 【解】(1)法一线段 AB 的中点为 (0,0)，其垂直平分线方程为xy0. 解方程组 xy0， xy20. 所以圆 M 的圆心坐标为 (1,1)， 半径 r11 2 1122. 故所求圆 M 的方程为 (x1) 2(y1)24. 法二设圆 M 的方程为 (xa)2(yb)2r 2，(r0)， 根据题意得 1a 2 1b2r2， 1a 2 1b2r2， ab20. 解得 ab1，r2. 故所求圆 M 的方程为 (x1) 2(y1)24. (2)由题知，四边形 PCMD 的面积为 SSPMCSPMD1 2|CM| |PC|1 2|DM| |PD|. 又|CM|DM|2，|PC|PD|， 所以 S2|PC|， 而|PC|PM| 2|CM|2 |PM| 24， 即 S2|PM|24. 因此要求 S的最小值，只需求 |PM|的最小值即可， 即在直线 3x4y80 上找一点 P，使得 |PM|的值最小，所以 |PM|min|31418| 3 242 3， 所以四边形 PCMD 面积的最小值为 S2|PM| 242 3242 5.