高中数学人教A版必修二章末综合测评2Word版含答案.pdf

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1、章末综合测评 (二) 点、直线、平面之间的 位置关系 (时间 120分钟，满分 150 分) 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1(2019 太原高二检测 )l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列 命题正确的是 () Al1l2，l2l3? l1l3 Bl1l2，l2l3? l1l3 Cl1l2l3? l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点 ? l1，l2，l3共面 【解析】对于 A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点 出发的三条棱两两垂直，故A 错；对于 B，因为 l1l2，所以 l1，l2所

2、 成的角是 90 ，又因为 l2l3，所以 l1，l3所成的角是 90 ，所以 l1l3， 故 B 对；对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C 错； 对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D 错故选 B. 【答案】B 2若 a，b 是异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是 () A相交B异面 C平行D异面或相交 【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4 可知 c 与 b 异 面或相交，但不可能平行 【答案】D 3(2019北京高考题 )下列说法不正确的是 () A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可

3、以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线 都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 【解析】A、B、C 显然正确易知过一条直线有无数个平面与 已知平面垂直选D. 【答案】D 4(2019北京高考题 )设 a、b 为两条直线， 、为两个平面， 则正确的命题是 () 【导学号： 09960089】 A若 a、b 与 所成的角相等，则ab B若 a ，b ， ，则 ab C若 a? ，b? ，ab，则 D若 a ，b ， ，则 ab 【解析】A 中，a、b 可以平行、相交或异面；B 中，a、b 可以 平行或异面； C 中， 、 可以平行或相交 【答案】D 5 (2019 山西山大

4、附中高二检测)如图 1， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 () 图 1 A45B60 C90D120 【解析】如图，连接 A1B、BC1、A1C1，则 A1BBC1A1C1， 且 EFA1B、GHBC1， 所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60 . 【答案】B 6(2019北京高考题 )设 l 为直线， ，是两个不同的平面下 列命题中正确的是 () A若 l ，l ，则 B若 l ，l ，则 C若 l ，l ，则 D若 ，l ，则 l 【解析】选项 A，平行于同一条直线的两

5、个平面也可能相交， 故选项 A 错误；选项 B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项 B 正确；选项 C，由条件应得 ，故选项 C 错误；选项 D，l 与 的位置不确定，故选项D 错误故选 B. 【答案】B 7(2015 洛阳高一检测 )如图 2，ADB 和ADC 都是以 D 为直 角顶点的等腰直角三角形， 且BAC60 ， 下列说法中错误的是 () 图 2 AAD平面 BDC BBD平面 ADC CDC平面 ABD DBC平面 ABD 【解析】由题可知， ADBD，ADDC，所以 AD平面 BDC， 又ABD 与ADC 均为以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB AC，BDDC 2

6、2 AB. 又BAC60 ，所以 ABC 为等边三角形，故BCAB2BD， 所以BDC90 ，即 BDDC. 所以 BD平面 ADC，同理 DC平面 ABD. 所以 A、B、C 项均正确选 D. 【答案】D 8 正四棱锥 (顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12， 底面对角线的长为2 6，则侧面与底面所成的二面角为() A30B45 C60D90 【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2 3，高为 3，在底面 正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影， 根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan 3 (设 为所求平面角 )，所以二面角为 60 ，选

7、C. 【答案】C 9(2019北京高考题 )将正方形 ABCD 沿 BD 折成直二面角， M 为 CD 的中点，则 AMD 的大小是 () A45B30 C60D90 【解析】如图，设正方形边长为a，作AOBD，则AM AO2OM 2 2 2 a 2 1 2a 2 3 2 a， 又 ADa，DM a 2，AD 2DM2AM2，AMD90 . 【答案】D 10(2019北京高考题 )在矩形 ABCD 中，若 AB3，BC4，PA 平面 AC，且 PA1，则点 P 到对角线 BD 的距离为 () A. 29 2 B.13 5 C.17 5 D. 119 5 【解析】如图，过点 A作 AEBD 于点

8、 E，连接 PE. PA平面 ABCD，BD? 平面 ABCD， PABD，BD平面 PAE， BDPE. AE AB AD BD 12 5 ，PA1， PE1 12 5 213 5 . 【答案】B 11(2019 大连高一检测 )已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂 直，体积为 9 4，底面是边长为 3的正三角形若P 为底面 A1B1C1的中 心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 () 【导学号： 09960090】 A75B60 C45D30 【解析】如图所示，P 为正三角形 A1B1C1的中心，设 O 为ABC 的中心，由题意知： PO平面 ABC，连接 OA，则PAO

9、 即为 PA 与平 面 ABC所成的角 在正三角形 ABC中，ABBCAC3， 则 S 3 4 (3)23 3 4 ， VABC-A1B1C1SPO 9 4，PO 3. 又 AO 3 3 31， tan PAOPO AO 3，PAO60 . 【答案】B 12正方体 ABCD-A1B1C1D1中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂 足为点 H.以下结论中，错误的是 () A点 H 是A1BD 的垂心 BAH平面 CB1D1 CAH 的延长线经过点C1 D直线 AH 和 BB1所成的角为 45 【解析】因为 AH平面 A1BD， BD? 平面 A1BD， 所以 BDAH.又 BDAA1，且 A

10、HAA1A. 所以 BD平面 AA1H.又 A1H? 平面 AA1H. 所以 A1HBD， 同理可证 BHA1D， 所以点 H 是A1BD 的垂心， A 正确 因为平面 A1BD平面 CB1D1， 所以 AH平面 CB1D1，B 正确 易证 AC1平面 A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂 直，所以 AC1和 AH 重合故 C 正确 因为 AA1BB1，所以 A1AH 为直线 AH 和 BB1所成的角 因为AA1H45 ，所以A1AH45 ，故 D 错误 【答案】D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在 题中的横线上 ) 13设平面 平面 ，A

11、、C ，B、D ，直线 AB 与 CD 交于 点 S，且点 S位于平面 ，之间，AS8，BS6，CS12，则 SD _. 【解析】由面面平行的性质得ACBD， AS BS CS SD，解得 SD9. 【答案】9 14(2019北京高考题 )如图 3，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， E 是 SA上一点，当点 E 满足条件： _时，SC 平面 EBD. 图 3 【解析】当 E 是 SA的中点时， 连接 EB，ED，AC. 设 AC与 BD 的交点为 O，连接 EO. 四边形 ABCD 是平行四边形， 点 O 是 AC 的中点 又 E是 SA的中点， OE 是SAC的中位线

12、 OESC. SC?平面 EBD，OE? 平面 EBD， SC平面 EBD. 【答案】E 是 SA的中点 15如图 4 所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN 等于_ 图 4 【解析】B1C1平面 A1ABB1， MN? 平面 A1ABB1， B1C1MN，又B1MN 为直角， B1MMN，而 B1MB1C1B1. MN平面 MB1C1，又 MC1? 平面 MB1C1， MNMC1，C1MN90 . 【答案】90 16已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD， 点 E、F 分别是棱

13、PC、PD 的中点，则 棱 AB 与 PD 所在直线垂直； 平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； PCD 的面积大于 PAB的面积； 直线 AE 与直线 BF 是异面直线 以上结论正确的是 _(写出所有正确结论的序号) 【解析】由条件可得 AB平面 PAD， ABPD，故正确； 若平面 PBC平面 ABCD，由 PBBC， 得 PB平面 ABCD，从而 PAPB，这是不可能的， 故错；SPCD 1 2CD PD，S P AB 1 2AB PA， 由 ABCD，PDPA 知正确； 由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点， 可得 EFCD，又 ABCD， EFAB，故 AE 与 BF 共面，

14、错 【答案】 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤 ) 17 (2019 北京高考题 ) (本小题满分 10 分)如图 5 所示， 已知ABC 中，ACB90 ，SA平面 ABC，ADSC，求证： AD平面 SBC. 图 5 【证明】ACB90 ， BCAC. 又SA平面 ABC， SABC，SAACA， BC平面 SAC，BCAD. 又SCAD，SCBCC， AD平面 SBC. 18(本小题满分 12 分)如图 6，三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面 垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点 D 是 AB 的中点 图 6 (1)

15、求证：ACB1C； (2)求证：AC1平面 CDB1. 【证明】(1)C1C平面 ABC，C1CAC. AC9，BC12，AB15， AC2BC2AB2， ACBC. 又 BCC1CC，AC平面 BCC1B1， 而 B1C? 平面 BCC1B1， ACB1C. (2)连接 BC1交 B1C 于 O 点，连接 OD.如图，O，D 分别为 BC1， AB 的中点，ODAC1.又 OD? 平面 CDB1，AC1?平面 CDB1.AC1 平面 CDB1. 19(本小题满分12 分)(2016 德州高一检测 )某几何体的三视图如 图 7 所示，P 是正方形 ABCD 对角线的交点， G 是 PB 的中点

16、 (1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，证明： PD面 AGC； 证明：面 PBD面 AGC. 图 7 【解】(1)该几何体的直观图如图所示： (2)证明：连接 AC，BD 交于点 O，连接 OG，因为 G 为 PB 的 中点，O 为 BD 的中点，所以 OGPD. 连接 PO，由三视图知， PO平面 ABCD，所以 AOPO. 又 AOBO，所以 AO平面 PBD. 因为 AO? 平面 AGC， 所以平面 PBD平面 AGC. 20(本小题满分 12 分)(2016 济宁高一检测 )如图 8，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， EFAC，AB2，

17、CEEF 1. 图 8 (1)求证：AF平面 BDE； (2)求证：CF平面 BDE. 【导学号： 09960091】 【证明】(1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G. 因为 EFAG，且 EF1， AG1 2AC1， 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AFEG. 因为 EG? 平面 BDE，AF?平面 BDE， 所以 AF平面 BDE. (2)连接 FG， EFCG，EFCG1， 四边形 CEFG 为平行四边形， 又CEEF1，?CEFG 为菱形， EGCF. 在正方形 ABCD 中，ACBD. 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， BD平面 CEFG.BD

18、CF. 又EGBDG，CF平面 BDE. 21(本小题满分 12 分)(2015 山东高考 )如图 9，三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 图 9 (1)求证：BD平面 FGH； (2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面 EGH. 【解】(1)证法一： 连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH. 在三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC， DFGC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则M 为 CD 的中点又 H 为 BC 的中点，所以 MHBD.又 MH? 平面 FGH，BD?平面 FGH， 所以

19、BD平面 FGH. 证法二：在三棱台DEF-ABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点， 可得 BHEF， BHEF， 所以四边形 BHFE为平行四边形，可得 BEHF. 在ABC中， G为 AC的中点，H为 BC的中点， 所以 GHAB.又GHHF H，所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD? 平面 ABED，所以 BD 平面 FGH. (2)连接 HE. 因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点， 所以 GHAB. 由 ABBC，得 GHBC. 又 H 为 BC 的中点， 所以 EFHC，EFHC， 因此四边形 EFCH 是平行四边形 所以 CFHE. 又 CFBC，所以 HEB

20、C. 又 HE，GH? 平面 EGH， HEGHH， 所以 BC平面 EGH. 又 BC? 平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH. 22(本小题满分 12 分)(2016 重庆高一检测 )如图 10 所示，ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点 图 10 (1)求证：PA平面 BDE；平面 PAC平面 BDE； (2)若二面角 E-BD-C 为 30 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积 【解】(1)证明： 连接 OE，如图所示 O、E分别为 AC、PC 的中点， OEPA. OE? 平面 BDE，PA?平面 BDE， PA平面 BDE. PO平面 ABCD，POBD. 在正方形 ABCD 中，BDAC， 又POACO，BD平面 PAC. 又BD? 平面 BDE，平面 PAC平面 BDE. (2)取 OC 中点 F，连接 EF. E 为 PC中点， EF 为POC 的中位线， EFPO. 又PO平面 ABCD， EF平面 ABCD. OFBD，OEBD. EOF 为二面角 E-BD-C 的平面角， EOF30 . 在 RtOEF 中， OF1 2OC 1 4AC 2 4 a， EFOF tan 30 6 12a，OP2EF 6 6 a. VP-ABCD1 3a 2 6 6 a 6 18a 3.