《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.3导数在研究函数中的应用1.3.2Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.3导数在研究函数中的应用1.3.2Word版含答案.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3.2函数的极值与导数 学习目标 1掌握函数极值的判定及求法 2了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并 会灵活应用 3掌握函数在某一点取得极值的条件 知识链接 在必修 1 中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义 域内某一点附近， 也存在着哪一点的函数值大， 哪一点的函数值小的问题， 如何 利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么 规律？ 答以 d、e两
2、点为例，函数 yf(x)在点 xd 处的函数值 f(d)比它在点 xd 附近 其他点的函数值都小， f(d)0；在 xd 的附近的左侧f(x)0，右侧 f(x) 0.类似地，函数 yf(x)在点 xe 处的函数值 f(e)比它在 xe 附近其他点的函 数值都大， f(e)0；在 xe附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0. 预习导引 1极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 如图，函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都 小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点， f(a
3、)叫做函数 yf(x)的极小值 (2)极大值点与极大值 如图，函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都 大，f(b)0；而且在点 xb 的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 b 叫做 函数 yf(x)的极大值点， f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极大值点、极小值点统 称为极值点，极大值和极小值统称为极值 2求函数 yf(x)的极值的方法 解方程 f(x)0，当 f(x0)0时： (1)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值 (2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是
4、极小值 要点一求函数的极值 例 1求函数 f(x) 1 3x 34x4 的极值 解f(x)x24.解方程 x240，得 x12，x22.由 f(x)0 得 x2 或 x2； 由 f(x)0 得2x2.当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，2)2(2,2)2(2，) f(x)00 f(x) 28 3 4 3 由表可知：当 x2 时，f(x)有极大值 f(2)28 3 . 当 x2 时，f(x)有极小值 f(2) 4 3. 规律方法求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f(x)； (2)求方程 f(x)0的根； (3)用函数的导数为0 的点，
5、顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列 成表格检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左 右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 跟踪演练 1求函数 f(x)3 x3ln x 的极值 解函数 f(x)3 x3ln x 的定义域为 (0，)， f(x) 3 x 23 x 3 x1 x 2 . 令 f(x)0，得 x1. 当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (0,1)1(1，) f(x)0 f(x)3 因此当 x1 时，f(x)有极小值 f(1)3. 要点二利用
6、函数极值确定参数的值 例 2已知函数 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x 1 处取得极值，且f(1)1. (1)求常数 a，b，c 的值； (2)判断 x 1 是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值 解(1)f(x)3ax22bxc. x 1 是函数 f(x)的极值点， x 1 是方程 f(x)0 的两根， 即 3ax22bxc0 的两根， 由根与系数的关系，得 2b 3a0， c 3a1 又 f(1)1，abc1. 由解得 a1 2，b0，c 3 2. (2)由(1)知 f(x)1 2x 33 2x， f(x) 3 2x 23 2 3 2(x1)(x1)， 当 x1 或 x
7、1 时，f(x)0， 当1x1 时，f(x)0， 函数 f(x)在(，1)和(1，)上是增函数， 在(1,1)上是减函数， 当 x1 时，函数取得极大值f(1)1， 当 x1 时，函数取得极小值f(1)1. 规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0 和极值 两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为“导数值等于零 ”不是 “此点为极值点 ”的充要条件，所以利用待定系 数法求解后，必须验证根的合理性 跟踪演练 2已知 f(x)x 33ax2bxa2 在 x1 时有极值 0，求常数 a，b 的 值 解因为 f(x)在 x1 时有极值 0， 且 f(x)3x26axb，
8、 所以 f 1 0 f 1 0， 即 36ab0 13aba20. 解之得 a1 b3 或 a2 b9. 当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去 当 a2，b9 时， f(x)3x 212x93(x1)(x3) 当 x(3，1)时，f(x)为减函数； 当 x(1，)时，f(x)为增函数， 所以 f(x)在 x1 时取得极小值，因此a2，b9. 要点三函数极值的综合应用 例 3设函数 f(x)x36x5，xR. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围
9、 解(1)f(x)3x26，令 f(x)0， 解得 x12，x22. 因为当 x2或 x2时，f(x)0； 当2x2时，f(x)0. 所以 f(x)的单调递增区间为 (，2)和( 2，)； 单调递减区间为 (2，2) 当 x2时，f(x)有极大值 54 2； 当 x2时，f(x)有极小值 54 2. (2)由(1)的分析知 yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示 所以，当 54 2a54 2时， 直线 ya 与 yf(x)的图象有三个不同的交点， 即方程 f(x)a 有三个不同的实根所以，a 的取值范围是 (54 2，54 2) 规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法 它通
10、过函数 的变化情况， 运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数， 从而判断方 程根的个数 跟踪演练 3若函数 f(x)2x 36xk 在 R 上只有一个零点，求常数 k 的取值范 围 解f(x)2x 36xk，则 f(x)6x26， 令 f(x)0，得 x1 或 x1， 可知 f(x)在(1,1)上是减函数， f(x)在(，1)和(1，)上是增函数 f(x)的极大值为 f(1)4k， f(x)的极小值为 f(1)4k. 要使函数 f(x)只有一个零点， 只需 4k0 或4k0(如图所示 ) 或 即 k4 或 k4. k 的取值范围是 (，4)(4，) 1下列关于函数的极值的说法正确的是
11、() A导数值为 0 的点一定是函数的极值点 B函数的极小值一定小于它的极大值 C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数 答案D 解析由极值的概念可知只有D 正确 2函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数f(x)() A无极大值点，有四个极小值点 B有三个极大值点，两个极小值点 C有两个极大值点，两个极小值点 D有四个极大值点，无极小值点 答案C 解析在 xx0的两侧， f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； f(x)的符号 由负变正，则 f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大
12、值点，两个极小值点 3已知 f(x)x 3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 () A1a2 B3a6 Ca1 或 a2 Da3 或 a6 答案D 解析f(x)3x22ax(a6)， 因为 f(x)既有极大值又有极小值， 那么 (2a)243(a6)0， 解得 a6 或 a3. 4设函数 f(x)6x 33(a2)x22ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x21， 则实数 a 的值为 _ 答案9 解析f(x)18x 26(a2)x2a.由已知 f(x 1)f(x2)0， 从而 x1x2 2a 181， 所以 a9. 1在极值的定义中，取得极值的点称为极
13、值点，极值点指的是自变量的值，极 值指的是函数值 2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点 xx0处取得极值的充要条 件是 f(x0)0 且在 xx0两侧 f(x)符号相反 3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题. 一、基础达标 1 函数 yf(x)的定义域为 (a， b)， yf(x)的图象如图，则函数 yf(x)在开区间 (a， b)内取得极小值的点有 () A1 个B2 个 C3个D4 个 答案A 解析当满足 f(x)0 的点，左侧 f(x)0，右侧 f(x)0 时，该点为极小值 点，观察题图，只有一个极小值点 2“函数yf(x)在一点的导数值为0”是
14、“函数yf(x)在这点取得极值”的 () A充分不必要条件B 必要不充分条件 C充要条件D 既不充分也不必 要条件 答案B 解析对于 f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0， 不能推出 f(x)在 x0 处取极值，反之成立故选B. 3若 a0，b0，且函数 f(x)4x 3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最 大值等于 () A2 B3 C6 D9 答案D 解析f(x)12x 22ax2b，f(x)在 x1 处有极值， f(1)122a2b0，ab6. 又 a0，b0，ab2 ab，2 ab6， ab9，当且仅当 ab3 时等号成立， ab的最大值为 9. 4函数 yx 33x
15、29x(2x2)有( ) A极大值 5，极小值 27 B极大值 5，极小值 11 C极大值 5，无极小值 D极小值 27，无极大值 答案C 解析由 y3x26x90，得 x1 或 x3，当 x1 或 x3 时，y 0，当 1x3 时，y4， m2 或 m2.故选 C. 9(2013 福建)设函数 f(x)的定义域为 R，x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论 一定正确的是 () A? xR，f(x)f(x0) Bx0是 f(x)的极小值点 Cx0是f(x)的极小值点 Dx0是f(x)的极小值点 答案D 解析x0(x00)是 f(x)的极大值点，并不是最大值点故A 错；f(x)相当于 f
16、(x) 关于 y 轴的对称图象的函数，故x0应是 f(x)的极大值点， B 错；f(x)相当于 f(x)关于 x 轴的对称图象的函数，故x0应是 f(x)的极小值点跟 x0没有关系， C 错； f(x)相当于 f(x)关于坐标原点的对称图象的函数故D 正确 10 如果函数 yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 函数 yf(x)在区间 3， 1 2 内单调递增； 函数 yf(x)在区间 1 2，3 内单调递减； 函数 yf(x)在区间 (4,5)内单调递增； 当 x2 时，函数 yf(x)有极小值； 当 x 1 2时，函数 yf(x)有极大值 则上述判断正确的是 _(填序号 ) 答案
17、 解析函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以 f(x)在(， 2)上为减函数，同理 f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数， 在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在 x2 的左侧 递增，右侧递减，所以当x2 时，函数有极大值；而在x 1 2的左右两侧，函 数的导数都是正数，故函数在x 1 2的左右两侧均为增函数，所以 x 1 2不是 函数的极值点排除和. 11 已知 f(x)x 31 2mx 22m2x4(m为常数，且 m0)有极大值5 2， 求 m 的值 解f(x)3x 2mx2m2(xm)(3x2m)， 令 f(x)0，则 xm或 x
18、 2 3m. 当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (， m) m m， 2 3m 2 3m 2 3m， f(x)00 f(x)极大值极小值 f(x)极大值f(m)m 31 2m 32m345 2，m1. 12设 a 为实数，函数 f(x)x 3x2xa. (1)求 f(x)的极值； (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线yf(x)与 x 轴仅有一个交点？ 解(1)f(x)3x 22x1. 令 f(x)0，则 x 1 3或 x1. 当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x ， 1 3 1 3 1 3，1 1(1，) f(x)00 f(x)极大值极小值 所
19、以 f(x)的极大值是 f 1 3 5 27a，极小值是 f(1)a1. (2)函数 f(x)x 3x2xa (x1) 2(x1)a1， 由此可知， x 取足够大的正数时，有f(x)0， x 取足够小的负数时，有f(x)0， 所以曲线 yf(x)与 x 轴至少有一个交点 由(1)知 f(x)极大值f 1 3 5 27a，f(x) 极小值f(1)a1. 曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点， f(x)极大值0 或 f(x)极小值0， 即 5 27a0 或 a10，a 5 27或 a1， 当 a ， 5 27 (1，)时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点 三、探究与创新 13(2013 新
20、课标 )已知函数 f(x)e xln(xm) (1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m2 时，证明 f(x)0. (1)解f(x)e x1 xm. 由 x0 是 f(x)的极值点得 f(0)0，所以 m1. 于是 f(x)e xln(x1)，定义域为 (1，)， f(x)e x1 x1. 函数 f(x)e x 1 x1在(1，)单调递增，且 f(0)0，因此当 x(1,0) 时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0. 所以 f(x)在(1,0)单调递减，在 (0，)单调递增 (2)证明当 m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0. 当 m2 时， 函数 f(x)e x 1 x2在(2，)单调递增 又 f(1)0，f(0)0，故 f(x)0 在(2，)有唯一实根 x0，且 x0( 1,0) 当 x(2，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而当 xx0时， f(x)取得最小值 由 f(x0)0 得 ex0 1 x02，ln(x 02)x0， 故 f(x)f(x0) 1 x02x 0 x01 2 x02 0. 综上，当 m2 时， f(x)0.