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1、章末检测 一、选择题 1函数 yx 42x25 的单调减区间为 () A(， 1)及(0,1) B(1,0)及(1， ) C(1,1) D (， 1)及(1， ) 答案A 解析y 4x 34x 4x(x21)，令 y0 得 x 的范围为 ( ， 1)(0,1)，故选 A. 2(2019 广东改编 )若曲线 y2x 2 的一条切线l 与直线 x4y 80 垂直，则切线l 的方程为 () Ax4y30 B x4y 90 C4xy30 D4xy20 答案D 解析y 4x，设切点M(x 0，y0)，k 4x0.又 x4y80 的斜率k1 1 4 ，k4x0 4，x01，y02x 2 02，即切点为 M
2、(1,2) ，k4.故切线 l 的方程为y 24(x1)，即 4x y20，故选 D. 3一物体在变力F(x)5x 2(力单位： N，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30 方向作直 线运动，则由x1 运动到 x2 时 F(x)作的功为 () A.3 J B 23 3 J C 43 3 J D2 3 J 答案C 解析 由于 F(x)与位移方向成30 角如图： F 在位移方向上的分力FF cos 30 ，W 1 2(5 x 2) cos 30 dx 3 2 1 2(5 x2)dx 3 2 5x 1 3x 32 1 3 2 8 3 4 3 3 (J) 4 (2012 重庆改编 )已知函数y
3、f(x) ， 其导函数yf (x)的图象如图所示， 则 yf(x)() A在 (， 0)上为减函数 B在 x0 处取极小值 C在 (4， )上为减函数 D在 x2 处取极大值 答案C 解析使 f(x)0 的 x 的取值范围为增区间；使f(x)0 的 x 的取值范围为减区间 5已知函数f(x) x 3ax2x1 在 (， )上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 () A(，3) B 3，3 C(3， ) D(3，3) 答案B 解析f(x) 3x 2 2ax10 在(， )恒成立， 4a2120? 3a3. 6设 f(x) xln x，若 f(x0) 2，则 x0( ) Ae 2 B ln 2
4、C ln 2 2 De 答案D 解析f(x)x(ln x)(x) ln x1 ln x， f(x0)1ln x02， ln x01， x0e. 7设函数f(x) 1 3xln x(x0)，则 yf(x)( ) A在区间 1 e，1 ，(1，e)内均有零点 B在区间 1 e，1 ，(1，e)内均无零点 C在区间 1 e，1 内无零点，在区间 (1，e)内有零点 D在区间 1 e，1 内有零点，在区间 (1，e)内无零点 答案C 解析由题意得f(x) x 3 3x ，令 f(x)0 得 x3；令 f(x)0 得 0x3；f (x)0 得 x3，故知函数f(x) 在区间 (0,3)上为减函数，在区间
5、(3， )为增函数，在点x 3处有 极小值 1ln 30；又 f(1) 1 30，f(e) e 310，f 1 e 1 3e 10. 8曲线 ysin x， ycos x 与直线 x0，x 2所围成的平面区域的面积为 () A 20(sin xcos x)dx B 2 40(sin x cos x)dx C 20(cos xsin x)dx D 2 4 0(cos x sin x)dx 答案D 解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0x 4阴影部分面积的 2倍故 选 D. 9设函数f(x) sin 3 x 3 3cos 2 x 2tan ，其中 0，5 12 ，则导数f(1
6、)的取值范围是 () A2,2 B 2，3 C3，2 D2， 2 答案D 解析f(x)x 2sin x3cos ， f(1)sin 3cos 2 1 2sin 3 2 cos 2sin 3 . 0 5 12， 3 3 3 4 ， 2 2 sin 3 1.22sin 3 2. 10方程 2x 36x2 70 在(0,2)内根的个数有 ( ) A0 B 1 C2 D3 答案B 解析令 f(x) 2x 36x27， f(x)6x 212x6x(x2)， 由 f(x) 0 得 x2 或 x0；由 f(x)0 得 0x2；又 f(0) 70，f(2) 10， f(x) 在(0,2)内单调递减， 方程在
7、(0,2)内只有一实根 二、填空题 11 (2019 广东 )若曲线 ykxln x 在点 (1，k)处的切线平行于x 轴，则 k_. 答案1 解析求导得 yk 1 x ，依题意k10，所以 k 1. 12已知函数f(x) x 3 ax 在区间 (1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案a3 解析由题意应有f(x) 3x2a0，在区间 (1,1)上恒成立，则a3x2，x(1,1)恒 成立，故a3. 13. 已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中 f(x)是函数 f(x) 的导函数 )，给出以下说法： 函数 f(x) 在区间 (1， )上是增函数； 函数 f(x) 在区间 (1,1
8、)上无单调性； 函数 f(x) 在 x 1 2处取得极大值； 函数 f(x) 在 x1 处取得极小值其中正确的说法有_ 答案 解析从图象上可以发现，当x(1， )时， xf(x)0，于是 f(x)0，故 f(x) 在区间 (1， )上是增函数，故正确； 当 x(1,1)时， f(x)0，所以函数f(x) 在区间 (1,1)上是减函数，错误，也错误； 当 0 x1 时， f(x) 在区间 (0,1)上是减函数，而在区间(1， )上是增函数，所以函数f(x) 在 x1 处取得极小值，故正确 14 设曲线 yx n1(nN* )在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn， 则 log2 014
9、x1 log2 014x2 log2 014x2 013的值为 _ 答案1 解析y|x1n1， 切线方程为y1(n1)(x1)， 令 y0，得 x1 1 n1 n n1，即 x n n n1. 所以 log2 014x1log2 014x2 log2 014x2 013 log2 014(x1 x2 x2 013) log2 014 1 2 2 3 2 013 2 014 log2 014 1 2 014 1. 三、解答题 15设函数f(x)2x 33(a1)x26ax8，其中 aR.已知 f(x)在 x 3 处取得极值 (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在点 A(1,16)处的
10、切线方程 解(1)f(x)6x26(a1)x6a. f(x)在 x3 处取得极值， f(3)696(a 1)36a 0， 解得 a 3. f(x)2x312x218x8. (2)A 点在 f(x)上， 由(1)可知 f(x)6x224x18， f(1)624180， 切线方程为y16. 16设2 3a1， 函数 f(x)x 33 2ax 2b (1x1)的最大值为 1，最小值为 6 2 ，求常数 a， b. 解令 f(x)3x2 3ax0， 得 x10，x2 a. f(0)b ，f(a) a 3 2 b, f(1) 1 3 2ab， f(1)1 3 2ab. 因为 2 3a1，所以 1 3 2
11、a0， 故最大值为f(0)b1， 所以 f(x)的最小值为f(1) 13 2a b 3 2a， 所以 3 2a 6 2 ，所以 a 6 3 . 故 a 6 3 ，b1. 17若函数f(x)4x 3ax3 在 1 2， 1 2 上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？ 解若 f(x)在 1 2， 1 2 上为单调增函数，则f(x)0 在 1 2， 1 2 上恒成立， 即 12x2a 0 在 1 2， 1 2 上恒成立， a12x2在 1 2， 1 2 上恒成立，a (12x2)min0. 当 a0 时， f(x) 12x20 恒成立 (只有 x 0 时 f(x)0) a0 符合题意 若 f(x
12、)在 1 2， 1 2 上为单调减函数， 则 f(x) 0在 1 2， 1 2 上恒成立， 即 12x2a 0 在 1 2， 1 2 上恒成立， a12x2在 1 2， 1 2 上恒成立， a(12x 2) max3. 当 a 3 时， f(x)12x23 3(4x21)0 恒成立 (且只有x 1 2时 f (x)0)因此， a 的 取值范围为a0 或 a3. 18如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2 的三级污水处理池，由于地形 限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建造 单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元(池壁
13、厚度忽略不计，且池无盖) (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域 (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价 解(1)设长为 x m， 则宽为 200 x m. 据题意 0x16， 0200 x 16， 解得 25 2 x 16. y 2x2 200 x 400 400 x 248 16 000 800x 259 200 x 16 000 25 2 x16 ， (2)y800 259 200 x 20， 解得 x 18. 当 x(0,18)时，函数y 为减函数； 当 x(18， )时，函数 y 为增函数 又 25 2 x 16， 当 x 16 时， ymin45 000. 当且仅当长为16 m、宽为 12.5 m 时，总造价y 最低为 45 000 元