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1、第十二讲立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面 角。 1）异面直线所成角 1.0 2 2. 范围： ， 平移相交（找平行线替换） 求法：向量法 2 0， 2）直线与平面所成角 1.范围 0， 2 定义 2. 求法 向量法 2 ,0 nm nm arcsin若nm则/a或a若nm/则a 3）二面角 1.0. 2. 范围： 定义法（即垂面法） 作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理 垂线法 直接法 3. 求二面角大小的方法射影面积法 向量法 cosSS(S为原斜面面积,S为射影面积,为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当为锐角时，
2、nm nm arccos 当为锐角时， nm nm arccos 二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABCA B C中，若 1 2,ABBB 求 1 AB与BC1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为CB1、BC1的交点，DAC为的中点，则所求角是DOB。 设 1 ,2BBaABa则，于是在DOB中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 , 22 OBBCa BDaa ODABa BDOBOD 即90 ,DOB90DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyzOAB 2 1 的长度单 位， 则由 1 2ABBB有 11 11 11
3、11 0,1,2 ,0,1,2 ,0,1,0 ,3,0,0 0, 2,2 ,3,1,2 , 220, ABBC ABC B ABC BABC B u uuruuur u uur uu ur 2. 如 图 二 所 示 ，在 四 棱 锥PABCD中 ，底 面ABCD是 一 直 角 梯 形 ， 90 ,/,2 ,BADADBC ABBCa ADa且PAABCD底面，PD与底面成30 角。 若,AEPD E为垂足，求证：BEPD； 求异面直线,AE CD所成角的大小。 解 ：证明：PAABCDQ底面，PAAB， 再由ABAD,得 , , ABPADABPD AEPDPDABEBEPDQ 平面 又平面故
4、 如图三所示设,G H分别为,ED AD的中点，连结,BH HG BG。 DHCBQ为平行四边形， /,BHCDG HQ分别为,ED AD的中点，/,FGAE则BHG或它的补角就是异 面直线,AE CD所成角，而 2211 .2 22 HGAEa BHABAHa。 2222222 4 11 aEGAEABEGBEBG 在BHG中，由余弦定理可得 222 22 cos,arccos 244 BHHGBG BHGBHG BHHG 4 2 2 cos 222 HGBH BGHGBH BHG 4 2 arccosBHG 所以，异面直线,AE CD所成角的大小为 2 arccos 4 。 法二：以,AB
5、 AD AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 33 0,0, ,0 ,0,2 ,0 ,0, ,0 2222 aa EaCaDaAEaCDa a u uu ruu u r ， ,0,2,0,0 ,0, 2 3 , 2 ,0aDaCa a E,0, 2 3 , 2 ,0aaCDa a AE 2 cos, 4 CD AE CD AE CD AE uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r， 所以，异面直线,AE CD所成角的大小为 2 arccos 4 。 4.（2019 福建）如图六所示正三棱柱 111 ABCA B C的所有棱长都为2， 1
6、DCC为的中点。 求证： 11 ABA BD平面 求二面角 1 AA DB的大小。 解析：取BC中点O，连结AO。 因为ABC是正三角形，AOBC 因为在正三棱柱 111 ABCA B C，平面 11 ABCBCC B平面 11 AOBCC B平面。 连结OB1 在正方形CCBB 11 中，O，D 分别为 1 ,CCBC的中点。 BDOB1 BDAO 1 AOBBD平面 BDAB1 在正方形 11A ABB中，BAAB 11 11 ABA BD平面 取 111 B CO的中点，以O为原点， 1 ,OB OO OA uuu r uuuu r uu u r 的方向为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐
7、标系。 则 11 1,0,0 ,1,1,0 ,0,2,3 ,0,0,3 ,1,2,0BDAAB 11 111 11111 1,2,3 ,2,1,0 ,1,2,3 220,1430 , ABBDBA AB BDAB BA ABBD ABBAABA BD u uuruuu ru uu r u uuruuu ruu uruuu r Q u uuru uu r uu uruuu r 平面 设平面 1 A AD的法向量为, ,nx y z r 11 1,1,3 ,0,2,0,ADAAnAD nAA u uu ruu urruu u r ru uu r Q。 1 0 0, 30, 203 0. y n A
8、D xyz yxz n AA r uu u r r uu ur 令 1,3,0,1zn r 为平面 1 A AD的一个法向量。 由知， 1111 ABABDABABD uuur ，为平面的法向量 1 1 1 336 cos, 42 22 n AB n AB n AB ru uur r uuu r r u uu r 所以，二面角 1 AA DB的大小 6 arccos 4 。 直接法 设 1 AB与BA1 交于 G，在平面BDA1中，作DAGF 1 于 F，连结 AF 由（ 1）得 11 ABA BD平面 DAAF 1 AFG是二面角 1 AA DB的平面角。 在DAA1 中由等面积可求得 5
9、54 AF 又 2 2 1 1 ABAG 4 10 5 54 2 sin AF AG AFG 所以，二面角 1 AA DB的大小为 4 10 arcsin。 3.已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形， PAABCD平面，1,2,APADABE F分别是,AB PD的中点。 求证：/AFPEC平面； 求PC与平面ABCD所成角的大小； 求二面角PECD的大小。 解析：法一：如图四所示， 取PC的中点O，连接 1 ,/,/ 2 OF OEFODC FODCFOAE 又因为,EABABDCFOAE是的中点，且 所以四边形AEOF是平行四边形， /AFOE。 又,OEPEC AFPEC平面平面，
10、 /AFPEC平面。 连结,ACPAABCDPCAPCABCDQ平面是直线与平面所成的角。 在 15 tan 5 5 PA Rt PACPAC AC 中，。 5 5 5 1 tan, AC PA PCAPACRt中 即PCABCD直线与平面所成角的大小为 5 arctan 5 。 作,AMCECE交延长线于,MPM连结。 由三垂线定理，得.PMCEPMA是二面角PECD的平面角。 由 21 ,tan2 2 2 2 AMECBEAMPMA:可得 2 2 2 1 tan, 2 2 ,PMAAMCBEAME可得 所以，二面角PECD的大小为arctan2。 法二：以A为原点，如图五所示，建立直角坐标
11、系。 则 1 1 0,0,0,2,0,0 ,2,1,0 ,0,1,0 ,0,1,0,0 ,0,0,1 2 2 ABCDFEP 。 取PC的中点O，连结 1 11 11 1 ,1,0,0, 2 22 22 2 OE OAFEO u uu ruu u r /AFEO u uu ru uu r EOAF 又,OEPEC AFPEC平面平面， /AFPEC平面。 由题意可得2,1, 1PC uu u r ，设平面ABCD的一个法向量是0,0, 1PA u uu r 。 6 cos, 6 PA PC PA PC PA PC u uu r uuu r uu u r u uu r uu u r uuu r 即PCABCD直线与平面所成角的大小为 6 arcsin 6 。 设平面PEC的一个法向量为, ,.1,0, 1 ,1,1,0mx y z PEEC u ruuu ru uu r 则 0,0 1,1,1, 1 0 0. m PExz zm xy m EC u r u uu r u r u r u uu r可得令则 由可得平面ABCD的一个法向量是0,0, 1PA uu u r 。 13 cos, 33 mPA m PA m PA u ruu u r u r uu u r u r u uu r。 所以，二面角PECD的大小为 3 arccos 3 。