高考数学试卷(理科解析).pdf

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1、第1页（共 12页） 山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5分，共 50 分，每小题给出四个选项，只 有一个选项符合题目要求. 1若复数z 满足 2z+=32i，其中 i 为虚数单位，则 z=（） A1+2i B1 2i C 1+2i D 12i 解：复数z 满足 2z+=3 2i， 设 z=a+bi， 可得： 2a+2bi+abi=32i 解得 a=1，b=2 z=12i 故选： B 2设集合A=y|y=2 x， x R ，B=x|x 21 0， 则 AB=（） A （ 1，1）B （0，1）C （ 1，+）D （ 0，+） 解： A=y|y=2 x， x R

2、= （0，+） ， B=x|x 210= （ 1， 1） ， AB=（0，+） （ 1，1）=（ 1，+） 故选： C 3某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布 直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20， 22.5） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中 每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（） A56 B60 C120 D140 解：自习时间不少于22.5 小时的频率为： （0.16+0.08+0.04） 2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5 小

3、时的频率为：0.7 200=140， 故选： D 4若变量x，y 满足，则 x 2+y2 的最大值是（） A4 B9 C10 D12 解：由约束条件作出可行域如图， 第2页（共 12页） A（0，3） ，C（0，2） ， |OA|OC|， 联立，解得 B（ 3， 1） ， x 2+y2 的最大值是10 故选： C 5一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（） A+B+C+D1+ 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得 2R= 故 R=，故半球的体积为：= ， 棱锥的底面面积为

4、：1，高为 1， 故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+ ， 第3页（共 12页） 故选： C 6已知直线a，b 分别在两个不同的平面 ，内则 “ 直线 a和直线 b 相交 ” 是“ 平面 和平面 相交 ” 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 解：当 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 时，“ 平面 和平面 相交 ” 成立， 当“ 平面 和平面 相交 ” 时，“ 直线 a 和直线 b 相交 ” 不一定成立， 故“ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是“ 平面 和平面 相交 ” 的充分不必要条件， 故选： A 7函数 f（x）=（sinx+cosx）

5、（cosxsinx）的最小正周期是（） ABCD2 解：数 f （x）=（sinx+cosx） （cosxsinx）=2sin（x+）?2cos （x+）=2sin（2x+） ， T= ， 故选： B 8已知非零向量，满足 4|=3|，cos，=若（t+） ，则实数 t 的值为（） A4 B 4 CD 解： 4| |=3|，cos，=，（t +） ， ?（t+）=t?+ 2=t| |?| |?+|2=（）|2=0， 解得： t=4， 故选： B 9已知函数f（x）的定义域为R当 x0 时，f（x） =x 31；当 1 x 1 时， f（ x） =f（x） ；当 x时，f（x+）=f （x） 则

6、 f（6）=（ ） A 2 B 1 C0 D2 解： 当 x时，f（x+）=f（x） ， 当 x时，f（x+1）=f（ x） ，即周期为1 f（6）=f（1） ， 当 1 x 1 时，f（ x）=f（x） ， f（1）= f（ 1） ， 当 x 0时，f（x）=x 31， f（ 1）=2， f（1）= f（ 1）=2， f（6）=2 故选： D 第4页（共 12页） 10 若函数 y=f（x） 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则 称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有T 性质的是（） Ay=sinx By=lnx Cy=e x D y=x 3 解：函数y=f（x

7、）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数 y=f （x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1， 当 y=sinx 时，y =cosx，满足条件； 当 y=lnx 时，y = 0 恒成立，不满足条件； 当 y=ex时，y=ex0 恒成立，不满足条件； 当 y=x 3 时，y=3x 20 恒成立， 不满足条件； 故选： A 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11执行如图的程序框图，若输入的a，b 的值分别为0 和 9，则输出的i 的值为 解： 输入的 a，b 的值分别为0 和 9，i=1 第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件

8、a b，故 i=2； 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a b，故 i=3； 第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件ab， 故输出的i 值为： 3， 故答案为： 3 12若（ ax2+） 5 的展开式中x 5 的系数是 80，则实数 a= 解： （ax2+ ） 5 的展开式的通项公式Tr+1= （ ax2） 5r =a5 r ， 令 10=5，解得 r=2 （ ax2+） 5 的展开式中x 5 的系数是 80 a 3=80， 第5页（共 12页） 得 a=2 13 已知双曲线E：=1 （a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在E 上，AB ， CD 的中点为E 的两个焦

9、点，且 2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是 解：令 x=c，代入双曲线的方程可得y= b=， 由题意可设A（ c，） ，B（ c，） ，C（c，） ，D（c，） ， 由 2|AB|=3|BC| ，可得 2?=3?2c，即为 2b2=3ac， 由 b2=c2a2，e= ，可得 2e23e2=0， 解得 e=2（负的舍去） 故答案为： 2 14在 1，1上随机地取一个数k，则事件 “ 直线 y=kx 与圆（ x5）2+y 2=9 相交 ” 发生 的概率为 解：圆（ x 5） 2+y2=9 的圆心为（ 5， 0） ，半径为 3 圆心到直线y=kx 的距离为， 要使直线y=kx 与圆（ x5

10、） 2+y2=9 相交， 则3，解得k 在区间 1，1上随机取一个数k，使直线 y=kx 与圆（ x5） 2+y2=9 相交相交的概 率为= 故答案为： 15已知函数f（x）=，其中 m0，若存在实数b，使得关 于 x 的方程 f（x） =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 第6页（共 12页） 解：当 m0 时，函数 f（x）=的图象如下： xm 时，f（x）=x 22mx+4m= （x m）2+4mm24mm2， y 要使得关于x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根， 必须 4mm2m（m0） ， 即 m23m（m0） ， 解得 m3， m 的取值范围是（3，+） ， 故答案为：（

11、 3，+） 三、解答题 ,：本大题共6 小题，共 75 分. 16在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 2（ tanA+tanB ） =+ （ ）证明： a+b=2c； （ ）求 cosC 的最小值 解： （）证明：由得： ； 两边同乘以cosAcosB 得，2（ sinAcosB+cosAsinB ）=sinA+sinB ； 2sin（A+B ）=sinA+sinB ； 即 sinA+sinB=2sinC （1） ； 根据正弦定理，； ，带入（ 1）得：； a+b=2c； （ ）a+b=2c； （ a+b） 2=a2+b2+2ab=4c2； a2+b 2=4c22ab

12、， 且 4c2 4ab， 当且仅当a=b 时取等号； 又 a，b0； 第7页（共 12页） ； 由余弦定理，=； cosC 的最小值为 17在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线 （I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证： GH平面 ABC ； （ ）已知 EF=FB=AC=2AB=BC ，求二面角FBCA 的余弦值 证明： （）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH， G、H 为 EC、FB 的中点， GQ，QH， 又 EFBO，GQBO， 平面 GQH平面 ABC ， GH? 面 GQH，GH平面 ABC 解： （） A

13、B=BC ，BO AC， 又 OO 面 ABC ， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（，0，0） ，C（ 2，0，0） ，B（0，2，0） ，O（0，0， 3） ，F（0，3） ， =（ 2，3） ，=（2，2，0） ， 由题意可知面ABC 的法向量为=（0，0，3） ， 设=（x0， y0，z0）为面 FCB 的法向量， 则，即， 取 x0=1， 则=（1，1，） ， 第8页（共 12页） cos，= 二面角 FBC A 的平面角是锐角， 二面角 FBC A 的余弦值为 18已知数列 an的前 n 项和 Sn=3n2+8n，bn

14、 是等差数列，且 an=bn+bn+1 （ ）求数列 bn的通项公式； （ ）令 cn= ，求数列 cn的前 n 项和 Tn 解： （）Sn=3n2+8n， n 2 时，an=SnSn1=6n+5， n=1 时，a1=S1=11，an=6n+5； an=bn+bn+1， an1=bn1+bn， an an1=bn+1bn1 2d=6， d=3， a1=b1+b2， 11=2b1+3， b1=4， bn=4+3（n1） =3n+1； （ ）cn= =6（n+1）?2 n， Tn=62?2+3?22+ +（n+1）?2n ， 2Tn=62?2 2+3?23+ +n?2n+（n+1）?2n+1 ，

15、第9页（共 12页） 可得 Tn=62?2+22+23+ +2n（n+1）?2n+1=12+6 6（n+1） ?2n+1= （ 6n）?2n+1=3n?2n+2， Tn=3n?2n+2 19甲、乙两人组成“ 星队 ” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮 活动中，如果两人都猜对，则“ 星队 ” 得 3 分；如果只有一个人猜对，则“ 星队 ” 得 1 分； 如果两人都没猜对，则“ 星队 ” 得 0 分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率 是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“ 星队 ” 参加两轮活 动，求： （I）“ 星队 ” 至少猜对3 个成语的概率；

16、 （II ）“ 星队 ” 两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX 解： （I）“ 星队 ” 至少猜对3 个成语包含 “ 甲猜对 1 个，乙猜对 2 个” ，“ 甲猜对 2 个，乙 猜对 1 个” ，“ 甲猜对 2 个，乙猜对 2 个” 三个基本事件， 故概率 P=+=+ =， （II ）“ 星队 ” 两轮得分之和为X 可能为： 0，1，2，3，4，6， 则 P（ X=0）=， P（X=1）=2 +=， P（X=2） =+ +=， P（X=3）=2=， P（X=4）=2 += P（X=6）= 故 X 的分布列如下图所示： X 0 1 2 3 4 6 P 第10页（共 12页） 数学期望EX=0

17、 +1+2+3+4+6= 21平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C：+=1（ab 0）的离心率是，抛物线 E：x 2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 （I）求椭圆C 的方程； （ ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线l 与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为D，直线 OD 与过 P 且垂直于x 轴的直线交于点M （i）求证：点M 在定直线上； （ii ）直线 l 与 y 轴交于点G，记PFG 的面积为S1， PDM 的面积为 S2，求的 最大值及取得最大值时点P的坐标 解： （I）由题意可得e= =，抛物线 E：x2=2y 的焦点 F 为（ 0，

18、 ） ， 即有 b=，a2c2= ， 解得 a=1，c=， 可得椭圆的方程为x2+4y 2=1； （ ） （i）证明：设P（x0， y0） ，可得 x0 2=2y 0， 由 y=x2的导数为y =x，即有切线的斜率为x0， 则切线的方程为yy0=x0（xx0） ， 可化为 y=x0xy0， 代入椭圆方程， 可得（ 1+4x02）x 28x0y0x+4y 021=0， 设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ， 可得 x1+x2= ，即有中点D（，） ， 直线 OD 的方程为y=x，可令 x=x0， 可得 y= 即有点 M 在定直线y=上； （ii ）直线 l 的方程为y=x0xy0， 令

19、x=0，可得 G（ 0， y0） ， 则 S1= |FG|?|x0|=x0?（+y0）=x0（1+x02） ； 第11页（共 12页） S2=|PM|?|x0|=（y0+）?=x0?， 则=， 令 1+2x02=t（t 1） ， 则= =2+=（） 2+ ， 则当 t=2，即 x0= 时，取得最大值， 此时点 P的坐标为（，） 20已知 f（x）=a（xlnx）+，a R （I）讨论 f（x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明 f（x） f （x）+对于任意的x 1，2成立 （ ）解：由 f（x）=a（xlnx）+， 得 f（ x）=a（ 1）+ =（x0） 若 a 0，则 ax220

20、 恒成立， 当 x （0，1）时，f（x） 0，f（x）为增函数， 当 x （1，+）时，f（x） 0，f（x）为减函数； 当 a0，若 0a2，当 x （0，1）和（，+）时，f（x） 0，f（ x） 为增函数， 当 x （1，）时，f （x） 0，f（x）为减函数； 若 a=2，f（ x） 0 恒成立，f（x）在（ 0，+）上为增函数； 第12页（共 12页） 若 a2，当 x （0，）和（ 1，+）时，f（ x） 0，f（x）为增函数， 当 x （，1）时，f （x） 0，f（x）为减函数； （ ）解： a=1， 令 F（ x）=f （x） f （x）=xlnx1=xlnx+ ex 1+x， xln（1+x） ， ex 1 x， 则 x1lnx， F（x）= 令 （x） =，则 （x） =（x 1，2） （x）在 1，2上为减函数，则， F（x）恒成立 即 f（x） f（x） +对于任意的x 1，2成立