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1、普通高等学招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第 卷第 3 至第 4 页。全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对 答 题卡上所粘贴的条形码中“ 座位号、姓名、科类” 与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2.答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 书写。在试题卷上作答无效 。
2、4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式 )()(BPAPBAP）（ 2 R4S 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 )()(BPAPBAP?）（球的体积公式 1+2 +n= 2 1)n(n2 R 3 4 V 32 21+ 6 )1n2)(1(n n 2 其中R表示球的半径 23 21+ 4 )1(nn n 22 2 第卷（选择题共55 分） 一、选择题： 本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）若032,1 22 xxxBxxA，则BA （A）3（B）
3、1（C）(D)1 （2）椭圆14 22 yx的离心率为 （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 2 2 （D） 3 2 （3）等差数列 x a的前n项和为 x S若则 432 , 3, 1Saa （A）12 （B） 10 （C）8 （D）6 (4)下列函数中 ,反函数是其自身的函数为 (A), 0,)( 2 xxxf(B),(,)( 3 xxxf (C) ),(,)( 3 xexf(D) ),0(, 1 )(x x xf (5)若圆042 22 yxyx的圆心到直线0ayx的距离为 2 2 ,则 a的值为 (A)-2 或 2 (B) 2 3 2 1 或(C)2 或 0 (D)-2 或 0 (6
4、)设nml,均为直线 ,其中nm,在平面 内，则“ l ”是“lmln且”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 (7)图中的图象所表示的函数的解析式为 (A)|1| 2 3 xy(0 x 2) (B) |1| 2 3 2 3 xy(0 x 2) (C) |1| 2 3 xy(0 x 2) (D) |1|1xy(0 x 2) (8)设 a1,且 2 log (1),log (1),log (2 ) aaa manapa,则pnm,的大小关系为 (A) nm p(B) mpn (C) mnp(D) pmn (9)如果点 P 在平面区域 0
5、12 02 022 y yx yx 上,点 Q 在曲线的那么上|,1)2( 22 PQyx最 小值为 (A) 2 3 (B)1 5 4 (C)122(D)12 (10)把边长为2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在 A,B,C,D 四点 所在的球面上,B 与 D 两点之间的球面距离为 (A) 2 2(B)(C) 2 (D) 3 (11)定义在 R 上的函数f (x)既是奇函数 ,又是周期函数 ,T 是它的一个正周期.若将方程f (x)=0 在 闭区 -T,T上的根的个数记为n,则 n 可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 2007 年普通高等学校招生全
6、国统一考试(安徽卷) 数学(理科 ) 第卷(非选择题共 95 分) 注意事项 : 请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答题卡 上书写作答 ,在试题卷上书写作答无效 . 二、填空题 :本大共 4 小题 ,每小题 4分 ,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)已知 4 5235 012345(1)xaa xa xa xa xa x,则 ()(531420aaaaaa的值 等于. (13) 在四面体 O-ABC 中，,OAa OBb OCc D uuu rr uuu rr uu u rr 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则 OE= （用 a，b，c 表示） (14)在正方体上任意选
7、择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为. (15)函数) 3 2sin(3)(xxf的图象为C,如下结论中正确的是(写出所有正 确结论的编号 ). 图象 C 关于直线 12 11 x对称 ; 图象 C 关于点)0, 3 2 ( 对称 ; 函数 12 5 , 12 ()(在区间xf)内是增函数 ; 由xy2sin3的图象向右平移 3 个单位长度可以得到图象C. 三、解答题：本大题共6 小题，共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16） （本小题满分10 分） 解不等式)2)(sin|13(|xx0. (17) （本小题满分14 分） 如图 ,在六面体 1111 DCBAABCD
8、中 ,四边形 ABCD 是边 长为 2 的正方形 ,四边形 1111 DCBA是边长为1 的正方 形, 1 DD平面 1111 DCBA, 1 DD平面 ABCD, .2 1 DD ()求证 : ()求证 :平面; 1111 BDDBACCA平面 ()求二面角CBBA 1 的大小 (用反三角函数值表示). 第(17)题图 （18） （本小题满分14 分） 设 F 是抛物线G:x2=4y 的焦点 . （）过点P（0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程： （）设A、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0 FBFA,延长 AF、BF 分别 交抛物线G 于点 C,D，求四边形ABCD 面积的最小
9、值 . (19)(本小题满分13 分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6 只果蝇的笼子里，不慎 混入了两只苍蝇（此时笼内共有8 只蝇子： 6 只果蝇和2 只苍蝇），只好把笼子打开一 个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔 . ()求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率； （）求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率 . (20)(本小题满分14 分) 设函数 f（x）=-cos2x-4tsin 2 x cos 2 x +4t 2+t2-3t+4,xR, 其中t1 ，将 f(x)的最小值记为g(t). ( )求 g(t)的表达式； ( )诗论 g(t)在区间（ -
10、1,1）内的单调性并求极值. （21） （本小题满分14 分） 某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以 后第年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2, 是 一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固 定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为n(1+r) n-1， 第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r) n-2, ， 以 Tn表示到第n 年末所累计的储备金总额. （）写出Tn与 Tn-1（n2 ）的递推关系式； （）求证： T
11、n=An+Bn， 其中nA是一个等比数列，nB是一个等差数列. 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文史）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识的基本运算每小题5 分，满分 55 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案D A C D C A B B A C D （1）若 22 1 1,1 ,230 1,3Ax xBx xx，则BA1，选 D。 （2）椭圆14 22 yx中， 1 1, 2 ab， 3 2 c，离心率为 2 3 ，选 A。 （3）等差数列 xa 的前n项和为 xS ，若 23 1,3,aa则d=2， 1 1a， 4 8S， 选 C。 (4)下列函数
12、中 ,反函数是其自身的函数为),0(, 1 )(x x xf，选 D。 (5) 若圆042 22 yxyx的圆心 (1，2)到直线0ayx的距离为 2 2 ， |12|2 2 2 a ， a=2 或 0，选 C。 (6)设nml,均为直线 ,其中nm,在平面内，若“ l ”则“lmln且” ，反之若 “lmln且” ，当 m/n 时，无法判断“ l ” ，所以“ l ”是“lmln且” 的充分不必要条件，选 A。 (7)图中的图象所表示的函数当0 x1 时，它的解析式为 3 2 x y，当 1x2 时，解析式为 3 3 2 yx，解析式 为|1| 2 3 2 3 xy(0 x 2) ，选 B。
13、 (8)设a1, 2 12aa，21aa， 2 log (1),log (1),log (2 ) aaa manapa,pnm,的 大 小关系为mpn，选 B。 (9)点 P 在平面区域 012 02 022 y yx yx 上,画出可行域， 点 Q 在曲线的那么上|,1)2( 22 PQyx最小0 -1 -2 -2 -1 123 2 1 值圆上的点到直线 1 2 y的距离，即圆心 (0，2)到直线 1 2 y的距离减去半径1， 得 2 3 ， 选 A。 (10)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角 ,折成直二面角后,在 A,B,C,D 四 点所在的球面上,球的半径为1，B
14、与 D 两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的 球面距离为 4 1 个大圆周长，即 2 ，选 C。 (11) 定义在 R 上的函数)(xf是奇函数，(0)0f，又是周期函数，T是它的一个 正 周 期 ，( )()0f TfT，()()()() 2222 TTTT fffTf， ()()0 22 TT ff，则n可能为 5，选 D。 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4 分，满分 16 分 题号12 13 14 15 答案 256 111 244 abc rrr 3 11 (12) 已知 4 5235 012345 (1)xaa xa xa xa xa x, 024135 ()16
15、aaaaaa则()( 531420 aaaaaa=256 (13) 在四面体OABC 中，,OAa OBb OCc D uuu rr u uu rr u uu rr 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点， 则OE= 11 () 22 OAAEOAADOAAOOD uuu ruuu ru uu ru uu ruuu ruuu ruuu r = 11111 () 24244 OAOBOCabc u uu ruuu ruuu rrrr 。 (14)在正方体上任意选择两条棱,有 2 12 66C种可能，这两条棱相互平行的选法有 2 4 318C 种，所以概率 183 6611 P。 (15)函数)
16、3 2sin(3)(xxf的图象为C， 图象C关于直线2 32 xk对称，当 k=1 时，图象 C 关于 12 11 x对称； 正确； 图象 C 关于点(,0) 26 k 对称，当 k=1 时，恰好为关于点)0, 3 2 ( 对称 ;正确； x) 12 5 , 12 (时，2 3 x( 2 ， 2 )， 函数)(xf在区间) 12 5 , 12 (内 是增函数；正确； 由xy2sin3的图象向右平移 3 个单位长度可以得 2 3sin(2) 3 yx，得不到图 象 C. 不正确。所以应填。 三、解答题 16 本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力 本 小题满分
17、10 分 解：因为对任意xR，sin20x，所以原不等式等价于3110x 即3 11x ， 1311x ， 032x ，故解为 2 0 3 x 所以原不等式的解集为 2 0 3 xx 17本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等 有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力本 小题满分14 分 解法 1（向量法）： 以D为原点，以 1 DADCDD，所在直线分别为x轴，y轴， z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系Dxyz如 图 ，则 有 1111 (2 0 0)(2 2 0)(0 2 0)(10 2)(11 2)(0 1 2)
18、(0 0 2)ABCABCD， ， ， （）证明： 1111 ( 110)( 2 2 0)(110)(2 2 0)ACACD BDB uuuu ru uu ru uu uru uu r ， ， ， ， 1111 22ACAC DBD B uuu ru uu u r u uu ruu uu r ， AC uuu r 与 11 AC u uu u r 平行，DB uuu r 与 11 D B uu uu r 平行， 于是 11 AC与AC共面， 11 B D与BD共面 （）证明： 1 (0 0 2) ( 2 2 0)0DDAC u uu u r uu u r ， ， ， ，(2 2 0) ( 2
19、2 0)0DB AC uuu r uuu r ， 1 DDAC uu uu ruuu r ，DBAC u uu ruuu r 1 DD与DB是平面 11 B BDD内的两条相交直线 AC平面 11 B BDD 又平面 11 A ACC过AC 平面 11 A ACC平面 11 B BDD （）解： 111 ( 10 2)( 112)(012)AABBCC uuu ruu uruu u u r ， ， ， ， 设 111 ()xyz， ，n为平面 11 A ABB的法向量， A B C D 1 A 1 B 1 C1 D x y z 111 20AAxz uuur n， 1111 20BBxyz u
20、uu r n 于是 1 0y，取 1 1z，则 1 2x，(2 0 1)，n 设 222 ()xyz，m为平面 11 B BCC的法向量， 1222 20BBxyz uuur m ， 122 20CCyz uu uu r m 于是 2 0x，取 2 1z，则 2 2y，(0 21)，m 1 cos 5 ， m n mn m n 二面角 1 ABBC的大小为 1 arccos 5 解法 2（综合法）： （）证明： 1 D D平面 1111 A B C D， 1 D D平面ABCD 1 D DDA， 1 D DDC，平面 1111 A BC D 平面ABCD 于是 11 C DCD， 11 D A
21、DA 设EF，分别为DADC，的中点，连结 11 EFA EC F， 有 1111 11A ED DC FD DDEDF， 11 A EC F， 于是 11 ACEF 由1DEDF，得EFAC， 故 11 ACAC， 11 AC与AC共面 过点 1 B作 1 B O平面ABCD于点O， 则 1111 BOA EBOC F， ，连结OEOF， 于是 11 OEB A ， 11 OFBC ， OEOF 1111 B AA D，OEAD 1111 B CC D，OFCD 所以点O在BD上，故 11 D B与DB共面 A B C D 1 A1 B 1 C 1 D M OE F （）证明： 1 D D平
22、面ABCD， 1 D DAC， 又BDAC（正方形的对角线互相垂直）， 1 D D与BD是平面 11 B BDD内的两条相交直线， AC平面 11 B BDD 又平面 11 A ACC过AC，平面 11 A ACC平面 11 B BDD （）解：直线DB是直线 1 B B在平面ABCD上的射影，ACDB， 根据三垂线定理，有 1 ACB B 过点A在平面 1 ABB A内作 1 AMB B于M，连结MCMO， 则 1 B B平面AMC， 于是 11 B BMCB BMO， 所以，AMC是二面角 1 AB BC的一个平面角 根据勾股定理，有 111 556A ACCB B， 1 OMB B，有
23、1 1 2 3 B O OB OM B B ， 2 3 BM， 10 3 AM， 10 3 CM 222 1 cos 25 AMCMAC AMC AM CM ， 1 arccos 5 AMC， 二面角 1 ABBC的大小为 1 arccos 5 18本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直 线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、 解决问题的能力 本 小题满分14 分 解： （ I）设切点 2 0 0 4 x Q x， 由 2 x y，知抛物线在Q点处的切线斜率为 0 2 x ，故所求切 线方程为 2 00 0 () 42 xx yxx 即
24、2 04 24 xx yx 因为点(0)P，在切线上 所以 2 0 4 4 x ， 2 0 16x ， 0 4x 所求切线方程为24yx （II）设 11 ()A xy， 22 ()C xy， 由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设0k 因直线 AC过焦点(01)F， 所以直线 AC的方程为1ykx 点AC，的坐标满足方程组 2 1 4 ykx xy ， ， 得 2 440xkx， 由根与系数的关系知 12 12 4 4. xxk x x ， 22222 12121212 ()()1()44(1)ACxxyykxxx xk 因为ACBD，所以BD的斜率为 1 k ，从而BD的方程为
25、1 1yx k 同理可求得 2 2 2 14(1) 4 1 k BD kk 22 2 22 18(1)1 8(2)32 2 ABCD k SAC BDk kk 当1k时，等号成立所以，四边形ABCD面积的最小值为32 19本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识 分析问题及解决实际问题的能力本小题满分13 分 解：以 k A表示恰剩下k只果蝇的事件(016)kL， ， ， 以 m B表示至少剩下m只果蝇的事件(0 16)mL， ， ， 可以有多种不同的计算() k P A的方法 方法 1（组合模式）：当事件 k A发生时，第8k只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k只
26、飞 出的蝇子中有1 只是苍蝇，所以 1 7 2 8 7 () 28 k k Ck P A C 方法 2（排列模式） ：当事件 k A发生时，共飞走8k只蝇子，其中第8k只飞出的蝇子 是苍蝇，哪一只？有两种不同可能在前7k只飞出的蝇子中有6k只是果蝇，有 6 8 k C 种 不 同 的 选 择 可 能 ，还 需 考 虑 这7k只 蝇 子 的 排 列 顺 序 所 以 16 26 8 8 (7)!7 () 28 k kk C Ckk P A A g 由上式立得 1 63 () 2814 P A； 35656 3 ()()()() 28 P BP AAP AP A 21本小题主要考查等差数列、等比数列
27、的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提 取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力本小题满分 14 分 解： （）我们有 1(1 )(2) nnn TTran （） 11 Ta，对2n反复使用上述关系式，得 2 121 (1)(1)(1) nnnnnn TTraTraraL 12 121 (1)(1)(1) nn nn arararaL， 在式两端同乘 1r， 得 12 121 (1)(1)(1)(1)(1) nn nnn r TararararL ，得 12 1(1 )(1)(1)(1) nnn nn rTardrrraL 1 (1)1(1) nn n d rr
28、ara r 即 11 22 (1) n n a rda rdd Trn rrr 如果记 1 2 (1) n n a rd Ar r ， 1 2 n a rdd Bn rr ， 则 nnn TAB 其中 n A是以 1 2 (1) a rd r r 为首项，以1(0)r r为公比的等比数列； n B是以 1 2 a rdd rr 为首项， d r 为公差的等差数列 20本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多 项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极 值与最值等问题的综合能力本小题满分14 分 解： （ I）我们有 232 ( )
29、cos4 sincos434 22 xx f xxtttt 222 sin12 sin434xtttt 223 sin2 sin433xtxttt 23 (sin)433xttt 由于 2 (sin)0xt，1t ，故当sin xt时，( )f x达到其最小值( )g t，即 3 ( )433g ttt （II）我们有 2 ( )1233(21)(21)1g ttttt， 列表如下： t1 2 ， 1 2 1 2 2 ， 1 2 1 1 2 ， ( )g t00 ( )g t Z 极大值 1 2 g 极小值 1 2 g Z 由此可见，( )g t在区间 1 1 2 ，和 1 1 2 ，单调增加，在区间 1 1 2 2 ，单调减小，极 小值为 1 2 2 g ，极大值为4 2 g