【推荐】2019年天津市高考数学试卷(理科).pdf

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1、2019年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合A 1，1，2，3，5 ，B 2，3， 4，C R|1 3，则（A C）B（） A2 B2，3 C 1， 2，3 D1，2，3，4 2 （5 分）设变量，y满足约束条件则目标函数4+y的最大值为 （） A2 B3 C5 D6 3 （5 分）设 R，则“ 250”是“ | 1| 1”的（ ） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（） A5 B8 C24 D29 5 （5 分）已

2、知抛物线y 24 的焦点为 F，准线为l若l与双曲线1（a 0，b 0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB| 4|OF| （O为原点），则双曲线的 离心率为（） ABC2 D 6 （5 分）已知a log52，blog0.50.2，c0.5 0.2，则 a，b，c的大小关系为（） AacbBabcCbcaDcab 7 （5 分）已知函数f（）Asin（ + ）（A0，0，| | ）是奇函数，将yf（） 的图象上所有点的横坐标伸长到原的2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为g （） 若g（）的最小正周期为2，且g（），则f（）（） A 2 BCD2 8 （5 分）已知a R设函数f（

3、）若关于的不等式f（） 0 在 R 上恒成立，则a的取值范围为（） A0，1 B0，2 C0，e D1，e 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9 （5 分）i是虚数单位，则| 的值为 10 （5 分） （2） 8 的展开式中的常数项为 11 （5 分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底 面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该 圆柱的体积为 12 （5 分）设aR，直线ay+20 和圆（为参数）相切，则a的值 为 13 （5 分）设 0，y 0，+2y5，则的最小值为 14 （5 分）在四边形ABCD中，ADB

4、C，AB2，AD5，A 30，点E在线 段CB的延长线上，且AEBE，则? 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （13 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b+c2a，3csinB 4asinC （）求cosB的值； （）求sin（2B+）的值 16 （13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30 之前到校的概率均为假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 （）用表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量的分布列和 数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同

5、学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7： 30 之前到校的天数恰好多2” ，求事件M发生的概率 17 （13 分）如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AE BC2 （）求证：BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长 18 （13 分）设椭圆+1（ab 0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 （）求椭圆的方程； （）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与轴的交点，点N 在y轴的负半轴上若|ON| |OF| （O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 19

6、（14 分）设 an是等差数列，bn是等比数列已知a14，b16，b2 2a22，b3 2a3+4 （）求 an和bn的通项公式； （）设数列cn 满足c11，cn其中 N * （i）求数列 a（c1）的通项公式； （ii）求aici（nN *） 20 （14分）设函数f（）ecos，g（）为f（）的导函数 （）求f（）的单调区间； （）当 ，时，证明f（） +g（） （） 0； （）设 n为函数 u（）f（） 1在区间（ 2n +，2n +）内的零点，其中nN， 证明 2n +n 2019年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

7、目要求的. 1 （5 分）设集合A 1，1，2，3，5 ，B 2，3， 4，C R|1 3，则（A C）B（） A2 B2，3 C 1， 2，3 D1，2，3，4 【考点】 1H：交、并、补集的混合运算 【分析】根据集合的基本运算即可求AC，再求（AC）B； 【解答】解：设集合A1，1， 2，3，5，CR|1 3， 则AC1，2 ， B2，3，4， （AC）B1，22，3，4 1，2， 3，4； 故选：D 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2 （5 分）设变量，y满足约束条件则目标函数4+y的最大值为 （） A2 B3 C5 D6 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由约束条件作

8、出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图： 联立，解得A（ 1，1） ， 化目标函数4+y为y4+，由图可知，当直线y4+过A时，有最大值为5 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 3 （5 分）设 R，则“ 250”是“ | 1| 1”的（ ） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件 【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】解： 2 50， 0 5， | 1

9、| 1， 0 2， 0 5 推不出 0 2， 0 2? 0 5， 0 5 是 0 2 的必要不充分条件， 即 25 0是 | 1| 1的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题 4 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（） A5 B8 C24 D29 【考点】 EF：程序框图 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：i1，s 0； 第一次执行第一个判断语句后，S1，i2，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，

10、j1，S5，i3，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，S8，i4，满足退出循环的条件； 故输出S值为 8， 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）已知抛物线y 24 的焦点为 F，准线为l若l与双曲线1（a 0，b 0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB| 4|OF| （O为原点），则双曲线的 离心率为（） ABC2 D 【考点】 I：圆锥曲线的综合 【分析】推导出F（1，0） ，准线l的方程为1，|AB| ，|OF| 1，从而b2a， 进而c，由此能求出双曲线的离心率 【解答】解：抛物线y 2

11、4 的焦点为 F，准线为l F（1， 0） ，准线l的方程为 1， l与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且 |AB| 4|OF| （O为原点）， |AB| ，|OF| 1，b2a， c， 双曲线的离心率为e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考 查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 6 （5 分）已知a log52，blog0.50.2，c0.5 0.2，则 a，b，c的大小关系为（） AacbBabcCbcaDcab 【考点】 4M：对数值大小的比较 【分析】本题先将a、b、c的大小与1 作个比较，发现b 1，a

12、、c都小于 1再对a、c 的表达式进行变形，判断a、c之间的大小 【解答】解：由题意，可知： alog521， blog0.50.2log25 log242 c 0.5 0.21， b最大，a、c都小于 1 alog52，c0.5 0.2 而 log25log242， ac， acb 故选：A 【点评】本题主要考查对数、 指数的大小比较， 这里尽量借助于整数1 作为中间量比较 本 题属基础题 7 （5 分）已知函数f（）Asin（ + ）（A0，0，| | ）是奇函数，将yf（） 的图象上所有点的横坐标伸长到原的2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为g （） 若g（）的最小正周期为2，且

13、g（），则f（）（） A 2 BCD2 【考点】 HJ：函数 yAsin（ +）的图象变换 【分析】根据条件求出和的值，结合函数变换关系求出g（）的解析式，结合条件求 出A的值，利用代入法进行求解即可 【解答】解：f（）是奇函数， 0， 则f（）Asin（） 将yf（）的图象上所有点的横坐标伸长到原的2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函 数为g（） 即g（）Asin（） g（）的最小正周期为2， 2，得 2， 则g（）Asin，f（）Asin2， 若g（），则g（）AsinA，即A2， 则f（） 2sin2，则f（） 2sin（2 2sin2， 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的解析

14、式的求解，结合条件求出A，和的值是解决本 题的关键 8 （5 分）已知a R设函数f（）若关于的不等式f（） 0 在 R 上恒成立，则a的取值范围为（） A0，1 B0，2 C0，e D1，e 【考点】 3R：函数恒成立问题 【分析】分2 段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得 【解答】解：当1 时，f（1） 12a+2a10 恒成立； 当 1 时，f（） 22a +2a0? 2a恒成立， 令g（）（ 1+2） （ 22） 0， 2ag（） ma0，a 0 当 1 时，f（）aln0?a恒成立， 令h（），则h（）， 当e时，h（） 0，h（）递增， 当 1e时，h（） 0，h（）递减

15、， e时，h（）取得最小值h（e）e， ah（）e， 综上a的取值范围是0，e 故选：C 【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9 （5 分）i是虚数单位，则| 的值为 【考点】 A5：复数的运算 【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算 【解答】解：由题意，可知： 23i， | |2 3i| 故答案为： 【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算本题属基础题 10 （5 分） （2） 8 的展开式中的常数项为28 【考点】 DA ：二项式定理 【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令的指数为0 即

16、可得到r的 值，代入r的值即可算出常数项 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为： Tr+1（ 2） 8r ?2 8r? （ ） r?8r? （ ） r ? （1）r2 8 4r?8 4r 当 84r0，即r2 时，Tr+1为常数项 此时T2+1? （ 1） 228 4228 故答案为： 28 【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0 可算出常 数项本题属基础题 11 （5 分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底 面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该 圆柱的体积为 【考点】 L5：旋转体（圆

17、柱、圆锥、圆台） 【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的 直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可 【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2， 由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1， 则该圆柱的体积为：vsh（） 2 1 ； 故答案为： 【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题 12 （5 分）设aR，直线ay+20

18、 和圆（为参数）相切，则a的值 为 【考点】 Q：圆的参数方程 【分析】推导出圆心（2，1）到直线ay+20 的距离：d2r，由此能 求出a的值 【解答】解：aR，直线ay+2 0和圆（为参数）相切， 圆心（ 2，1）到直线ay+20 的距离： d 2r， 解得a 故答案为： 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 13 （5 分）设 0，y 0，+2y5，则的最小值为4 【考点】 7F：基本不等式及其应用 【分析】利用基本不等式求最值 【解答】解：0，y0，+2y5， 则2+； 由基本不等式有： 2+24； 当且仅当2时，

19、即：y3， +2y5 时，即：或时；等号成立， 故的最小值为4； 故答案为： 4 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题 14 （5 分）在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A 30，点E在线 段CB的延长线上，且AEBE，则?1 【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算 【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可 【解答】解：AEBE，ADBC，A30， 在等腰三角形ABE中，BEA120， 又AB2，AE2， ， ， 又， ? 12+52 1 故答案为：1 【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档 题 三、解答题

20、：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （13 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b+c2a，3csinB 4asinC （）求cosB的值； （）求sin（2B+）的值 【考点】 HT ：三角形中的几何计算 【分析】（）根据正余弦定理可得； （）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得 【解答】解（）在三角形ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB，又由 3csinB4asinC， 得 3bsinC4asinC，即 3b4a又因为b+c2a，得b，c，由余弦定理可得 cosB （）由（）得sinB，从而 sin2B 2

21、sinBcosB， cos2Bcos 2B sin 2 B， 故 sin（2B+） sin2Bcos+cos2Bsin 【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余 弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力属中档题 16 （13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30 之前到校的概率均为假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 （）用表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量的分布列和 数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7： 30 之前到校的

22、天数恰好多2” ，求事件M发生的概率 【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，故B（） ，可求分布列及期望； （II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则YB（3，） ，且M 3，Y1 2，Y0，由题意知 3，Y1与 2，Y0互斥，且 3与Y1， 2与Y0相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求 【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30 之前到校的概率 均为， 故B（3，） ， 从而P（）， 0，1，2， 3 所以，随机变量

23、的分布列为： 0 1 2 3 P 随机变量的期望E（） 32 （II）设乙同学上学期间的三天中7：30 到校的天数为Y，则YB（3，） ， 且M 3，Y1 2，Y0，由题意知 3，Y1与2，Y 0互斥，且 3 与Y 1， 2与Y0相互独立， 由（I）知，P（M）P（ 3，Y12，Y0P（3，Y1+P 2，Y0 P（ 3）P（Y1）+P（ 2）P（Y0） 【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的 概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力 17 （13 分）如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AE BC2 （）求证：BF平面

24、ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长 【考点】 MJ：二面角的平面角及求法 【分析】（）以A为坐标原点，分别以，所在直线为，y，轴建立空间直角 坐标系，求得A，B，C，D，E的坐标，设CFh（h 0） ， 得F（1， 2，h） 可得 是平面ADE的法向量， 再求出，由，且直线BF? 平面ADE， 得BF平面ADE； （）求出，再求出平面BDE的法向量，利用数量积求夹角公式得 直线CE与平面BDE所成角的余弦值， 进一步得到直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段CF

25、的 长 【解答】（）证明：以A为坐标原点，分别以，所在直线为，y，轴建立空 间直角坐标系， 可得A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，2，0） ，D（0，1，0） ，E（0，0，2） 设CFh（h0） ，则F（1，2，h） 则是平面ADE的法向量，又，可得 又直线BF? 平面ADE，BF平面ADE； （）解：依题意， 设为平面BDE的法向量， 则，令 1，得 cos 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为； （）解：设为平面BDF的法向量， 则，取y1，可得， 由题意， |cos| ，解得h 经检验，符合题意 线段CF的长为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维

26、能力，训练了利用 空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题 18 （13 分）设椭圆+1（ab 0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 （）求椭圆的方程； （）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与轴的交点，点N 在y轴的负半轴上若|ON| |OF| （O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 【考点】 4：椭圆的性质 【分析】（）由题意可得b2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得 到所求椭圆方程； （）B（0，2） ，设PB的方程为y +2，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由 OPMN，运用斜率之积为1，解方程即可得到所求值

27、 【解答】解： （）由题意可得2b4，即b2，e，a 2 b 2 c 2， 解得a，c 1， 可得椭圆方程为+ 1； （）B（0，2） ，设PB的方程为y+2， 代入椭圆方程4 2+5 y 220， 可得（ 4+5 2）2+200， 解得或 0， 即有P（，） ， y+2，令y0，可得M（，0） ， 又N（0， 1） ，OPMN， 可得? 1，解得， 可得PB的斜率为 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运 算能力，属于中档题 19 （14 分）设 an是等差数列，bn是等比数列已知a14，b16，b2 2a22，b3 2a3+4 （）求 an和bn的通项

28、公式； （）设数列cn 满足c11，cn其中 N * （i）求数列 a（c1）的通项公式； （ii）求aici（nN *） 【考点】 84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和 【分析】（）设等差数列an 的公差为d，等比数列 bn的公比为q，利用等差数列、等 比数列的通项公式列出方程组，能求出an和 bn的通项公式 （）（i）由a（c1）（bn1） ，能求出数列a（c1）的通项公式 （ii）aiciai+ai（ci1）+（ 3） +，由此能求出结果 【解答】解： （）设等差数列an的公差为d，等比数列 bn 的公比为q， 依题意有： ，解得， an4+（n1） 33

29、n+1， bn62n 132n （）（i）数列 cn 满足c11，cn其中 N * a（c1）（bn1）（ 32n+1） （3 2 n 1） 94n1， 数列 a（c1） 的通项公式为： a（c1） 94n1 （ii）aiciai+ai（ci1）+ （3）+ （ 32 2n1+52n 1）+9 n 272 2n+1 +52n 1 n12 （nN *） 【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n项和等基础知识，考查化归与转 化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力 20 （14分）设函数f（）ecos，g（）为f（）的导函数 （）求f（）的单调区间； （）当 ，时，证明f（） +g（）

30、（） 0； （）设 n为函数 u（）f（） 1在区间（ 2n +，2n +）内的零点，其中nN， 证明 2n +n 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】（）求出原函数的导函数，可得当（，） （）时，f （） 0，f（）单调递减；当（，） （）时，f（） 0，f（） 单调递增； （）记h（）f（） +g（） （） ，依题意及（） ，得到g（）e（cossin） ，由 h（） 0，得h（）在区间 ，上单调递减，有h（）h（）f（） 0， 从而得到当，时，f（） +g（） （） 0； （）依题意，u（ n） f （n） 10， 即， 记ynn2n， 则yn （） ， 且f（yn）e 2

31、n （ N ） 由f（yn）e 2n 1f（y0）及（），得yny0，由（） 知，当（，）时，g（）在 ，上为减函数，有g（yn）g（y0）g（） 0，又由（）知，得 ， 从而证得2n +n 【解答】（）解：由已知，f（）e（cos sin） ，因此， 当（，） （）时，有sin cos，得f（） 0，f（）单调递减； 当（，） （）时，有sin cos，得f（） 0，f（）单调递增 f（）的单调增区间为，（），单调减区间为， （）； （）证明：记h（）f（） +g（） （） ，依题意及（） ， 有g（）e（cossin） ，从而h（）f（） +g（） ? （）+g（） ? （1）g （） （） 0 因此，h（）在区间 ，上单调递减，有h（）h（）f（） 0 当 ，时，f（） +g（） （） 0； （）证明：依题意，u（n）f（n） 10，即 记ynn2n， 则yn（） ，且f（yn） e 2n （ N） 由f（yn）e 2n 1f（y0）及（），得yny0， 由（）知，当（，）时，g（） 0，g（）在 ，上为减函数， 因此，g（yn）g（y0）g（） 0， 又由（）知， 故 2n +n 【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知 识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决 问题的能力，属难题