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1、解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏 17） （本小题满分12 分） 如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，90ACB o ，BD交AC于E， 2AB （）求cosCAE的值； （）求AE 解 ：（ ） 因 为9060150BCD ooo ， CBACCD， 所以15CBE o 所以 62 coscos(4530 ) 4 CBE oo 6 分 （）在ABE中，2AB， 由正弦定理 2 sin(4515 )sin(9015 ) AE oooo 故 2sin 30 cos15 AE o o 1 2 2 62 4 62 12 分 2. （江苏 17） （14 分） 某地有三家工厂， 分
2、别位于矩形ABCD 的顶点 A、 B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 km， BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界） ，且 A、B 与 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总 长为 ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式： 设 BAO=(rad)，将 y 表示成 的函数关系式； 设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式； （2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度 最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学
3、建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 （1）由条件知PQ 垂直平分AB，若 BAO= (rad)，则 10 coscos AQ OA BAO ， 故 10 cos OB 又10 10OPtan，所以 1010 1010 coscos yOAOBOPtan B A C D E B C D A O P 所求函数关系式为 2010sin 10(0) cos4 y 若 OP=x(km)，则 OQ=10- x，所以 222 (10)1020200OAOBxxx 所求函数关系式为 2 220200(010)yxxxx （2）选择函数模型， 22 10coscos(2010sin)(sin)10(
4、2sin1) coscos y 令0y得 1 sin 2 0 46 Q 当(0,) 6 时0y，y 是 的减函数；当(,) 64 时0y，y 是 的增函数； 所以当 6 时， min 1 2010 2 1010 310 3 2 y 此时点 O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 10 3 3 km 处。 3. （辽宁 17） （本小题满分12 分） 在 ABC 中，内角 ABC， ， 对边的边长分别是 abc， ， ，已知 2c ， 3 C （）若 ABC 的面积等于3，求a b，； （）若sin2sinBA，求ABC的面积 解： （）由余弦定理得， 22 4abab， 又因为ABC的面
5、积等于3，所以 1 sin3 2 abC，得4ab 4 分 联立方程组 22 4 4 abab ab ， ， 解得2a，2b 6 分 （）由正弦定理，已知条件化为2ba， 8 分 联立方程组 22 4 2 abab ba ， ， 解得 2 3 3 a， 4 3 3 b 所以ABC的面积 12 3 sin 23 SabC 12 分 4 （全国 17） （本小题满分12 分） 设ABC的内角ABC， ，所对的边长分别为abc， ，且cos3aB，sin4bA （）求边长a； （）若ABC的面积10S，求ABC的周长l 解： （1）由cos3aB与sin4bA两式相除，有： 3coscoscos c
6、ot 4sinsinsin aBaBbB B bAAbBb 又通过cos3aB知：cos0B， 则 3 cos 5 B， 4 sin 5 B， 则5a （2）由 1 sin 2 SacB，得到5c 由 222 cos 2 acb B ac ， 解得：2 5b， 最后102 5l 5 （全国 17） （本小题满分10 分） 在ABC中， 5 cos 13 A， 3 cos 5 B （）求sinC的值； （）设5BC，求ABC的面积 解： （）由 5 cos 13 A，得 12 sin 13 A， 由 3 cos 5 B，得 4 sin 5 B 2 分 所以 16 sinsin()sincosco
7、ssin 65 CABABAB 5 分 （）由正弦定理得 4 5 sin13 5 12 sin3 13 BCB AC A 8 分 所以ABC的面积 1 sin 2 SBCACC 113 16 5 2365 8 3 10 分 6. （上海 17） （本题满分13 分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A 及点 C 处，小区里 有两条笔直的小路ADDC，且拐弯处的转角为120 o 已知某人从C沿CD走到D用了 10 分钟， 从D沿DA走到A用了 6 分钟 若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半 径OA的长（精确到1 米） 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题
8、意，得 CD=500（米） ，DA=300（米） ， CDO= 0 604 分 在CDO中， 2202 2cos60,CDODCD ODOC 6 分 120 0 O C A 即 2 22 1 5003002 500300, 2 rrr.9 分 解得 4900 445 11 r（米） . .13 分 【解法二】连接AC，作 OHAC，交 AC 于 H2 分 由题意，得CD=500（米） ，AD=300（米）， 0 120CDA .4 分 2220 222 ,2cos120 1 5003002 500300700 , 2 ACDACCDADCD AD 在中 AC=700（米）6 分 222 11
9、cos. 214 ACADCD CAD AC AD . .9 分 在直角 14 11 ,350,cos0, 14 HAOAHHA中（米） 4900 445 cos11 AH OA HAO （米） . 13 分 . （重庆 17） （本小题满13 分， （）小问5 分， （）小问8 分.） 设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a,b,c.已知 222 3bcabc，求： （） A 的大小 ; （）2sincossin()BCBC的值 . 解： ( ) 由余弦定理， 222 2cos,abcbcA 222 33 cos, 222 . 6 bcabc A bcbc A 故 所以 ( ) 2sincossin()BCBC 2sincos(sincoscossin) sincoscossin sin() sin() 1 sin. 2 BCBCBC BCBC BC A A 8. 在ABC中, 内角,A B C对边的边长分别是, ,a b c. 已知2, 3 cC. 若 ABC 的面积等于3, 求,a b; H 1200 O C A 若sinsin()2sin 2CBAA, 求ABC的面积 .