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1、. Word 资料 第一章、因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数 ：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的 因数。 例：12 是 6 的倍数， 6 是 12 的因数。 （1）数 a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。因数和倍数是相互依存 的，不能单独存在。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 （4）2
2、、3、5 的倍数特征 1） 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数 。 2）一个数各位 上的数的和是 3 的倍数，这个数就是3 的倍数。 3）个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。 4）能同时被 2、3、5 整除（也就是2、3、5 的倍数）的最大的两位数是90，最小的三 位数是 120。 同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求2 3 5=30 的倍数。 5）如果一个数同时是2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 3、完全数： 除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数 。 如：6 的因数有： 1、2、3（6 除外） ，刚好 1+2+3=6 ，所以 6 是完
3、全数， 小的 . Word 资料 完全数有 6、28 等 4：自然数按能不能被2 整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被 2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9 的数。 偶数：能被 2 整除的数叫偶数 （0 也是偶数） ，也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数。 最小的奇数是 1，最小的偶数是 0. 关系： 奇数+偶数=奇数奇数+ 奇数=偶数偶数+偶数=偶数。 奇数- 偶数=奇数奇数- 奇数=偶数偶数- 偶数=偶数 5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、 1、0 四类. 质数（或素数） ：只有 1 和它本身两个因数。 合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、
4、它本身、别的因数）。 1： 只有 1 个因数。 “ 1”既不是质数，也不是合数。 0： 最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 20 以的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100 以的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100 以找质数、合数的技巧： 看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数奇数 =奇数质数质数 =合数 6
5、、最大、最小 . Word 资料 A 的最小因数是： 1；最小的奇数是： 1； A 的最大因数是： A；最小的偶数是： 0； A 的最小倍数是： A；最小的质数是： 2； 最小的自然数是： 0；最小的合数是： 4； 7、分解质因数： 把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法 分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。 比如： 30 分解质因数是：（30=2 3 5） 8、互质数：公因数只有1 的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数： 5 和 7 两个合数的互质数： 8 和 9 一质一合的互质数： 7 和 8 两数互质的特殊情况 ： 1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质
6、数一定互质； 2 和所有奇数互质；质数与比它小的合数互质； 9、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 用短除法 求两个数或三个数的最大公因数（除到 互质为止，把 所有的除数连乘 起来） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时， 那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的 最小公倍数。 如果两数互质时，那么1 就是它们的最大公因数。 10、公倍数、最小公倍数 . Word 资料 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数 。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数 。 用短除法求两个数 的最小公倍数（除到 互质为止，把 所
7、有的除数和商连乘 起来） 用短除法求三个数 的最小公倍数（除到 两两互质 为止，把所有的 除数和商 连乘起来） 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 11、求最大公因数和最小公倍数方法 用 12 和 16 来举例 1、 求法一： （列举求同法） 最大公因数的求法： 12 的因数有： 1、12、2、6、3、4 16 的因数有： 1、16、2、8、4 最大公因数是 4 最小公倍数的求法： 12 的倍数有： 12、24、36、48、 16 的倍数有： 16、32、48、 最小公倍数是 48 2、求法二：（分解质因数法） 12=2
8、 2 3 16=2 2 2 2 最大公因数是： 2 2=4 （相同乘） 最小公倍数是：2 2 3 2 2= 48 （相同乘不同乘） 二分数的意义和性质 . Word 资料 1、分数的意义 ：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份， 这样的一份或几份都可以用分数来表示。 2、单位“ 1”： 一个整体可以用自然数1 来表示，通常把它叫做单位“ 1”。（也就是把什么平 均分什么就是单位“1”。） 3、分数单位： 把单位“ 1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 5 4 的分数 单位是 5 1 。 4、分数与除法 A B= B A （B0，除数不能为 0，分母也不
9、能够为0）例如： 4 5= 5 4 5、真分数和假分数、带分数 1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。 2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数 1 3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数 1。 6、真分数 1假分数真分数 1带分数 7、假分数与整数、带分数的互化 （1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子，如： 5 10 =10 5=2 5 21 =21 5=4 5 1 （2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子如： 2= 4 8 ）（ 2 4=8 （8 作分子） （3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，
10、分母不变，如： 5 5 1 = 5 26）（ 5 5+1=26 （4）1 等于任何分子和分母相同的分数。如： 1= 2 2 = 3 3 = 4 4 = 5 5 = = 100 100 = . Word 资料 8、分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。 9、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。 一个最简分数， 如果分母中除了2 和 5 以外，不含其他的质因数， 就能够化成有限小数。 反之则不可以。 10、约分 ：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 如： 30 24 = 5 4 11、通分
11、：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如： 5 2 和 4 1 可以化成 20 8 和 20 5 12、分数和小数的互化 （1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100 如：0.3= 10 3 0.03= 100 3 0.003= 1000 3 （2）分数化为小数： 方法一：把分数化为分母是10、100、1000 如： 10 3 =0.3 5 3 = 10 6 =0.6 4 1 = 100 25 =0.25 方法二：用分子分母 如： 4 3 =3 4=0.75 （3）带分数化为小数： 先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2 10 3 =2+
12、0.3=2.3 13、比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大； 分子相同，分母小的，分数大。 . Word 资料 分数比较大小的 一般方法 ：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。 14、分数化简包括两步 ：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。 2 1 =0.5 4 1 =0.25 4 3 =0.75 5 1 =0.2 5 2 =0.4 5 3 =0.6 5 4 =0.8 8 1 =0.125 8 3 =0.375 8 5 =0.625 8 7 =0.875 20 1 =0.05 25 1 =0.04 。 15、两个数互质的特殊判断方法： 1 和任何大于 1 的自然数互质。 2 和任何奇
13、数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。 不相同的两个质数互质。 当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这 两个数也都是互质数。 16、求最大公因数的方法： 倍数关系：最大公因数就是较小数。 互质关系：最大公因数就是 1 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。 17、分数知识小结： （1）分数的意义：把单位“ 1”平均分为几份表示其中的一份或几份。（如：把一根绳子 平均分为 5 份，其中的一份就是五分之一，两份就是五分之二。） （2）分数与除法：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。 （4）带分数：由整数和真分数组
14、成，带分数一定是假分数。 （5）假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子） . Word 资料 （6）分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不 变。 （7）最简分数分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数） （8）通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同 分母的分数的过程，叫做通分。 通分的方法： 1、先求出原来几个分数的分母的最简公分母； 2. 根据分数的基本性质，把原来分数化成以最简公分母为分母的分数。 【约分】是对一个分数而言的， 求出分子分母的最大公约数， 然后分子分母【同 除】这个最大公约数，约简得到相等的新
15、分数，这个新分数，这个最简分数分子分母必 须是互质。 三长方体和体 1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是形）围成的立体图形叫做长方体 。两个面相 交的边叫做 棱。三条棱相交的点叫做 顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长 方体的长、宽、高 。 长方体特点： （1）有 6 个面， 8 个顶点， 12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 （2）一个长方体最多有6 个面是长方形，最少有4 个面是长方形，最多有2 个面是形。 2、由 6 个完全相同的形围成的立体图形叫做体（也叫做立方体） 。 体特点： （1）体有 12 条棱，它们的长度都相等。 （2）体有 6 个面，每个面
16、都是形，每个面的面积都相等。 . Word 资料 （3）体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体 。 相同点 不同点 面棱 长方体都有 6 个面， 12条棱， 8个顶点。 6 个面都是长方形。 （有可能有两个相对的面是形） 。 相对的棱的长度都相等 体6 个面都是形。12 条棱都相等。 2、长方体、体有关棱长计算公式： (a：长b：宽c:高L：棱长总和S：表面积V：体积) 长方体的棱长总和 =（长+宽+高）4长4+宽4+高 4 L=（abh） 4 长=棱长总和4宽 高a=L 4bh 宽=棱长总和4长 高b=L 4ah 高=棱长总和4长 宽h=L 4ab 体的棱长总和 =棱长12
17、 L=a 12 体的棱长 =棱长总和12 a=L 12 4、长方体或体 6 个面和总面积叫做它的 表面积 。 长方体的表面积 =（长宽长高宽高） 2 S=2（abahbh） 无底（或无盖）长方体表面积= 长宽（长高宽高） 2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab 无底又无盖长方体表面积 =（长高宽高） 2 S=2（ahbh）贴墙纸 体的表面积 =棱长棱长 6 S=a a 6 用字母表示：S= 6a 2 生活实际： . Word 资料 油箱、罐头盒等都是6 个面 游泳池、鱼缸等都只有5 个面 水管、烟囱等都只有4 个面。 注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增
18、加） 注意 2：长方体或体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。 （如长、宽、高各扩大2 倍，表面积就会扩大到原来的4 倍）。 5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积 =长宽高V=abh 长=体积宽高a=V b h 宽=体积长高b=V a h 高=体积长宽h= V a b 体的体积 =棱长棱长棱长 V=a a a = a 3 读作“ a 的立方”表示3 个 a 相乘，（即 a a a） 长方体或体底面的面积叫做底面积 。 长方体（或体）的体积 =底面积高用字母表示： V=S h （横截面积相当于底面积，长相当于高） 。 注意：一个长方体和一个体的棱长总和相等，但体积
19、不一定相等。 6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和 ml。 1 升=1 立方分米1 毫升=1 立方厘米1 升=1000 毫升 （1 L = 1 dm 3 1 ml = 1 cm 3） . Word 资料 长方体或体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。 但要从容器 里面量长、宽、高。（所以， 对于同一个物体，体积大于容积。 ） 注意：长方体或体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。 （如长、宽、高各扩大2 倍，体积就会扩大到原来的8 倍）。 *形状不规则的物体
20、可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。 排水法的公式： V 物体 =V 现在V 原来 也可以V 物体 =S (h 现在- h 原来) V 物体 = S h 升高 8、 【体积单位换算】 （立方相邻单位进率1000） 大单位小单位 小单位大单位 进率：1 立方米 1000 立方分米 1000000 立方厘米 1 立方分米 1000 立方厘米 1 升 1000 毫升 1 立方厘米 1 毫升 1 平方米=100 平方分米 =10000 平方厘米 1 平方千米 =100 公顷=1000000 平方米 注意：长方体与体关系 把长方体或体截成若干个小长方体（或体）后，表面积增加了，体积不
21、变。 重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率 【单位换算】大单位小单位 小单位大单位 进率 进率 进率 进率 . Word 资料 长度单位 ：1 千米 =1000 米1 分米=10 厘米1 厘米=10 毫米1 分米=100 毫米 1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米（相邻单位进率 10） 面积单位： 1 平方千米 =100 公顷1 平方米 =100 平方分米 1 平方分米 =100 平方厘米1 公顷=10000 平方米 （平方相邻单位进率100） 质量单位： 1 吨=1000 千克1 千克=1000 克 人 民 币： 1 元=10 角1 角=10 分1 元=100 分 第四章分数
22、的加法和减法 （1） 同分母分数加、减法（分母不变，分子相加减） 1、分数数的加法和减法（2） 异分母分数加、减法（通分后再加减） （3） 分数加减混合运算：同整数。 （4） 结果要是最简分数 2、带分数加减法 : 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并 起来。 （一）同分母分数加、减法 1、同分母分数加、减法： 同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。 2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。 （二）异分母分数加、减法 1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。 . Word 资料 2、异分母分数的加减法： 异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分
23、数加减法的方法进行计算。 （三）分数加减混合运算 1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。 在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级 运算，应从左到右依次计算。 2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。 3、 2 1 -1 2 1 3 1 - 2 1 6 1 4 1 - 3 1 12 1 5 1 - 4 1 20 1 第五章简易方程 1、在含有字母的式子里，数字和字母。字母和字母之间的乘号可以记作“”，也可以省略不 写，数通常写在字母的前面。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。 2、a a 可以写作 a a 或 a2 ，a
24、2读作 a 的平方。2a 表示 a+a 3、等式：表示相等关系的式子叫等式。 4、等式的性质：等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0 除外） ，等式依然成立。 5、方程：含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。解方程的格式要求：必须写“解”并打上“：”。所有“ =” 对齐。自觉进行验算。 6、10 个数量关系式：加法：和 =加数+加数一个加数 =和- 另一个加数 减法：差 =被减数 - 减数被减数 =差+减数减数=被减数 -差 乘法：积 =因数因数一个因数 =积另一个因数 除法：商 =被除数除数被除数 =商除数除数=被除数商 . Word 资料 7、所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。 8、方程的解是一个数，解方程是一个计算过程。 9、列方程解决问题的步骤： 弄清题意，假设未知数。分析找出数量之间的等量关系，列方程。解方程，未知数 等号后面结果不带单位。验算，写出答语。 六、折线统计图 5、统计图：我们学过条形统计图、复式折线统计图。 条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。 折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。 注： 画图时注意：一“点”（描点）、二“连”（连线）三“标”（标数据）。 要用不同的线段分别连接两组数据中的数。（复式 5 折线统计图）