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1、第三讲：函数的奇偶性、周期性 一?奇偶性 1 . 定义: 若函数定义域关于原点对称，则 对于定义域内的任意X,都有f(x) -f(-x)=o成立o f(x) =f(-x) Of(x)为偶函数 ; f对于定义域内的任意X,都 有(x)+f(-x)=0成立 o f(x) =-f(-x) of(x)为奇函数。 2. 判别方法：定义法，图像法，复合函数法 3. 性质: (0) f(x)与一f(x)有相同的奇偶性；/ 与一有相同的奇偶性；奇奇=奇；偶偶 =偶；奇X /(X) 奇=偶；偶 0 ),则T =2 a ；若对任意的x, 则T=2a ； 若对任意的 “卄册，则T=4a；若f(x)的图像关于x=a和
2、x = b对称，则T=2 a-b；若f(x)的图像 关于(a, 0)和(b, 0) 对称，则； 若f(x)的图像关于x= a和(b, 0)对称，则T=4p-/?|o 三. 函数图像的对称性问题： 定理1若对于任意x都有f (a x) = f (b+x),则函数f (x)的图像关于直线对称。 特别的，若对于任意x都有f(a x)=f ( a +x)( 或者f ( x ) = f (2 a x),则函数f (x) 的图像关于直线x=a 対称。 定理2若若对于任意x都有f ( a x ) + f (a + x) =2b ( 或者，则函数f (x)的图像关于点(a,b) 对称。 特别的，若对于任意x都
3、有f(a x)+(a +x) =2b (或者f (2 a x ) +(x) =2b), 则函数f (x)的图像关 于点(a,b)対称。 五?练习 : 1.判断下列函数的奇偶性: n(y/l-X + V-x)(x 0,X v 0,/. f( x) 1/?( J1 + x + yfx) In 尸Iny/x +1 y/x) f (x)； y/ X + I j X 饮兀 0,f(-x) = 1刃(J-尢 +1 一J-兀)=1“ j= =- 兀+ J-兀)=一f(x) +Q- X 当x=0 时/(x)=0,也满足/(-x)=-f(x)； 由、知 , 对xWR有f( 一x)=f(x), ：.f(x)为奇函
4、数 ; (3)1 X _ = x 2 = 1, /. 函数的定义域为兀=1, % 2 -10 ?VW=log2l=0(x= l),即f(x)的图象由两个点A (-1, 0)与B (1, 0)组成，这两点既关于y轴 对称，乂关于 原点对称，?J(x)既是奇函数，乂是他函数； 2. 函数y = Jl-x + 厶-1 是(D ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 3. 已知/(x) = ax 2 +bx + 3a + b 是偶函数，定义域为a - 1,2a.则a = 是奇函数 1 才 解析解法1 f (-A)= R +心刁+宀 3 = 一/ 5. 设函数y = f(x)是
5、奇函数 . 若/(-2)+ /(-!)-3 = / + /(2) + 3,则f + f =_. -3 6. 己知函数 /( 兀) 是定义在(-co, +oo)上的偶函数 . 当xe(-a), 0)时，f(x) = x-x 4 , 则当 XG(0, +CO)时，/(X)= _ -X-X 1. 7. _ 已 知函数/(x)为R上的奇函数，当兀0时，/( 兀)=兀( 兀+ 1).若/?) = 2,则实数d= _ -1 8. 若函数f(x) = x 2-(aeR) f则下列结论正确的是() x A.Vtze/?, /( 兀) 在(0,+00)上是增函数B.0QW/?, /( 兀) 在(0,+OO)上是
6、减函数 C.BaeR, f(x ) 是偶函数D.Ba e R f TO)是奇函数 9已知偶函数 / 在区间0,+oo)单调增加，则满足/(2x-l)0，都有门兀 + 2) = /(x),且当xe0,2)时, (A) B.珀 |) C.-) D . 3 A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 11? 已知定义域为R的函数 /( 兀) 在区间(8,+oo)上为减函数 , 且函数y = /(x + 8)为偶函数 , 则 (D ) D. /(7)/(10) /(/(5)=冷。 13. 定义在 /? 上的函数/(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数，则 /(!)+/ +/(7)等于(B ) A.-l B. 0 C. 1 D. 4 14. 设f(x)是定义在R上的函数，且在( , +-) 上是增函数，乂F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x) 定是 (A ) A.奇函数，且在(-8, +8)上是增函数B.奇函数，且在 (-8, +8)上是减函数 C.偶函数，且在 (- 8, + ) 上是增函数D.偶函数，且在 (-8, +OQ)上是减函数 A. / /(7)B. / / C. /(?)/ 12.函数/ ( 兀) 对于任意实数x满足条件 /( 兀+ 2)= , x) 若/(1) = 一5,则