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1、一次函数中考命题趋势及考点分析 安徽张雷 近儿年來，在全国各地的中考题中，涉及正比例函数、一?次函数的知识较多，尤其是 求函数的解析式的考题. 利用函数的图象及性质解题等经常出现，儿乎每年都冇，各种题型 都有. 尤其是随着课程改革的深入，本节知识仍是中考命题的热点，不乏有创新题、探究题 出现，综合型大题也屡屡出现，因此，平时应多加训练，重点是与几何知识、方程（组）和 不等式知识的综合应用. 涉及本节知识考点冇： （1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数 （正 比 例函数）图彖及根据图象收集相关的信息； （3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题； （4）利用待定系数法求函数的表达式
2、. 例 1 （南京）某地举办乒乓球比赛的费用y （元）包括两部分： 一部分是租用比赛场地 等固定不变的费用b （元），另一部分与参加比赛的人数x （人）成正比例，当x=20 时 y 二 1600；当 x=30 时，y 二 2000. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）动果有 50名运动员参加比赛，且全部费川由运动员分摊，那么每名运动员需 耍 支付多少元？ 分析：设举办乒乓球比赛的费用y （元）与和用比赛场地等固定不变的费用b （元）和参 加比赛的人数x （人）的函数关系式为y=kx+b （kHO）. 把 x=20, y=1600； x=30, y=2000 代入函数关系式，求出k
3、, b 的值，进而求出y 与 x 之 间的函数关系式 , 当 x=50 时, 求出 y 的值，再求得y 一 50的值即可 . 解：（ 1）设 yi=b, y2=kx （kHO, x0）,所以 y 二 kx+b. 又当 x=20 时，y 二 1600；当 x 二 30 时，y=2000, J1600 = 20k+伏 尹二40, 贝（j 2000 = 30R + “,所以jb 二800. 故 y 与 x 之间的函数关系式为y=40x+800 （x0）. （2）当 x=50 时, y=40X50+800=2800 （元） . 所以每名运动员需支付280050=56 （元）答：每名运动员需支付56元.
4、 例 2 （广东）已知一次函数y 二 kx+b,当 x4 时, y 的值为 9；当 x=2 时, y 的值为 -3? （1）求这个断数的解析式。 （2）在直角坐标系内画出这个函数的图象. 分析：求函数的解析式，需要两个点或两对x, y 的值，把它们代入y 二 kx+b 小，即可 求出 k 在的值，也就求出这个函数的解析式，进而画出这个函数的图象. 解：（ 1）由题意可知 j9 = -4k+b, k = -2 I3 = 2k +b, A b = 1. 所以这个函数的解析式为x=-2x+l. （2）列表如下 : X 0 1 2 y10 描点、连线，如图11-26 所示即为 y=-2x+l 的图象
5、. 图11 - 26 例 3 （吉林）如图2 所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距. 某项 研究表明，一般悄况下人的身高h 是指距 d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组 数据. 指距 d/cm20212223 身高 h/cm160169178187 （1）求出 h 与 d之间的函数关系式；（不要求写出自变最d 的取值范围） （2）某人身高为 196cm, 一般情况下他的指距应是多少？ 分析：设 h 与 d之间的函数关系式是h二 kd+b （kHO） 当 d=20 吋，h 二 160；当 d二 21 时，h=169? 把这两对 d, h值代人 h 二 kd+b 得 所以得
6、出 h与 d 之间的函数关系式，当h=196 时，即可求出d. 解：（ 1）设 h 与 d之间的函数关系式为h二 kd+b （kHO） 由题中图表可知当d 二 20 时, h二 160；当 d=21 时，h=169. Jl60 = 20 + b, #=9, 把它们代入函数关系式,得169 = 21屮,Ab = -20. 所以 h与 d 之间的函数关系式是h 二 9d-20. （2）当 h二 196 时, 有 196二 9d-20.则 d=24. 故当某人的身高为196cm时，一般情况下他的指距是24cm. 例 4 四川）汽车由重庆驶往相距400 千米的成都，如果汽车的平均速度是100 千米/
7、时，那么汽车距成都的路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系用图彖（如图11-28 所示）表示应为（） A B C D 图 11J 28 分析：木题主要考杏函数关系式的表达及函数图象的知识，由题意可知， 汽车距成部的 路程 s （千米）与行驶时间t （时）的函数关系式是s二 400-100t,其中自变量 t 的取值范 围 是 0 所以有 0WsW400,因此这个函数图彖应为一条线段，故淘汰掉D.又因为在 S=400-100t 中的 k=-10010x+4800.自变量 x 的取值范围 是 40WxW90. 解：（ 1）由 C 县运往 A 县的化肥为 x 吨，则 C 县运往 B 县的化肥为
8、（ 100-x）吨. D 县运往 A 县的化肥为（ 90-x）吨， D 县运往 B 县的化肥为（ x-40）吨. 由题意可知 W=35x+40 （90-x） +30 （100-x） +45 （x-40） =10x+4800. 自变量 x 的取值范围为40WxW90. 所以总运费 W （元）与 x （吨） Z 间的函数关系式为w=10x+4800 （40WxW90 ）. （2）由 100,所以 W 随 x 的增大而增大 . 则当 x 二 40 时，WM值=10X40+4800=5200 （元） ? 运费最低时 , x 二 40, 90-x 二 50 （吨）， x-40=0 （吨） . 所以当总运
9、费最低时，运送方案是：C 县的 100 吨化肥 40 吨运往 A 县，60 吨运往 B 县, D 县的 50 吨化肥全部运往A 县. 例 8 （长沙） 2003年夏天，湖南省由于持续高温和连日无用，水库蓄水量普遍下降， 图 11-29 是某水库的蓄水量V （万米彳）与干旱持续时间t （天）之问的关系图，请根据 此 图冋答下列问题 . （1）该水库原蓄水量为多少万米2?持续干旱 10 天后. 水库蓄水量为多少万米 ？ （2）若水库存的蒂水量小于400万米 3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干 旱多 少天后，将发生严重T 旱警报？ （3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将T 消？ 分析：由函数图
10、象可知，水库的蓄水量V （万米与干旱时间t （天）之间的函数关 系为- ?次函数，设一次函数的解析式是V=kt+b （k, b 是常数，且 kHO） ?由图象求得这个 函数解析式，进而求出本题（1） （2） （3）问即可 . 解：设水库的蓄水量V （万米 J与干旱时间 t （天）之间的函数关系式是 V=kt+b （k, b 是常数 , 且 k=0） ? 由图象可知 , 当 t 二 10时, V 二 800；当 t=30 时, V 二 400. 把它们代入 V=kt+b 中，得 j800 = l（R+b, jk= -20, 400 = 3（U+b, .? ./? = 1000. 所以 V=-20
11、t+1000 （0WtW50）. （1）当 t 二 0 时，V=-20X 0+1000=1000 （万米0 ；当 t 二 10 时，V=-20X 10+1000=800 （万米 3）.所以该水库原蓄水量为 1000万米蔦持续干旱10天后，水库蓄水量为800 万米【 （2）当 VV400 时, 有-20t+100030, 故当持续干旱30天后，将发生严重干旱警报. （3）当 V 二 0 时，有 -20t+1000=0,贝 lj t = 50,所以按此规律，持续干旱50 天时, 水库将 干 涸. 说明：解决本题的关键是求出V 与 t 之间的函数关系式 . 例 9 （黑龙江）图 11-30 表示卬、
12、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千 米） 随时间 x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题. （2）这次比赛全程是多少千米? （3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇? 分析：木题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力. 解决本题的关键是写 （1）当比赛开始多少分 时, 出甲、乙两人在行驶中，路程y （千米）随时间x （分）变化的函数关系式，其中：乙 的两数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段 和第三段是一次函数，需分別求出. 解：（ 1）当 15Wx33 时，设yAB=kIx+b1,把（15, 5）和（ 33, 7）代入， _
13、 w L 12 解得 ki= 9 , bi 二3，所以加二9 x+ 3 . 0 当 y=6 时, 有 6=9 x+ 3 ,则X=24O 所以比赛开始24分吋，两人第一次相遇. 丄丄 （2）设 yoi）=mx,把（4, 6）代入，得m=4 ,当 X=48 时，y D= 4x48=12 （千米）所以 这次比赛全程是12千米. （3）当 33WxW43 时，设yBc=k2x+b2,把（33, 7）和（ 43, 12）代入， 1 19 1 19 解得 k2= 2 , b2=- 2 . 则 yBC= 2 x- 2 . 1 19 y = x - , X 丿2 2 兀=3 & 1 19 y = x.v =
14、? 解方程组得 I 4 得 I 2 所以二 38. 故当比赛开始38 分时，两人第二次相遇. 例 11 （济南）如图11-31所示，己知直线y 二 x+3 的图象与 x 轴、y 轴交于 A, B 两 点, 直线/ 经过原点，与线段AB 交于点 C,把 AAOB 的血积分为 2： 1的两部分，求直线1 的解 析式. 分析：设直线 / 的解析式为 y 二 kx（kHO）,因为/ 分 AAOB 面积比为 2： 1,故分两种情 况：?SAAOC：SABOC =2： 1； SAOC：SB（）C= 1: 2.求出 C 点坐标 , 就可以求出直线/ 的解析 式. 解：因为直线y=x+3 的图象与 x,y 轴
15、交于 A, B 两点. 所以 A 点坐标为（ -3, 0） ,13 点坐标为（ 0,3）.则|0A|=3, |0B|=3. 1 1 9 所以SAAOB= 2 |0A| - |0B| = 2 x3x3= 2 . 设直线 / 的解析式为y 二 kx （kHO） ? 由直线 / 把 AAOB 的面积分为 2： 1,直线/ 与线段 AB 交于点 C 所以分两种情况来讨论： 当SAAOC：SABOC=2：时, 设 C 点坐标为（ Xi, yi ）. 9 2 X 则SAAOB = 2 3 =3. 即 SAAO(F 2 . 10A | ? I yi I = x3x | yi | =3.所以 yi= 2,由图
16、不可知取yi =2. 又点 C 在直线 AB 上， 所以 2=xi+3, 则 xi=-l. 故 C 点坐标为 (-1, 2) ? 把 C 点坐标 (-1, 2)代人 y 二 kx 中，得 2二-1? k, ?k=-2? 所以直线 / 的解析式为 y=-2x? 9 当 SAAOC : SAB0C = 1 ： 2 时，设 C 点坐标为 ( X2, y2) ?又 SAAOC =SAAOC+SABOC= 2 , 9 1 3 1 1 3 X=、 所以SAAOB = 2 3 2 即SAAOC= 2 ? 0A | ? | y21 二2 ? 3 ? I y? I = 2 . 所以 y2= l,由图示可知取y2=l.又点 C 在直线 AB 上， 贝 lj 1=X2+3, Axz=-2.把 C 点坐标 ( -2, 1)代入 y 二 kx 中, 得 1 二- 2k, /.k=-y2. 所以宜线 / 的解析式为 y-2x. 丄 故直线1的解析式为 y=-2x 或 y=- 2 x. 说明：本题是一道综合一次两数与三角形相关知识的综合题，特别注意求正比例函数 的解析式时，点C 的朋标至关重要，要利用分类讨论的数学思想，全而的考虑问题，避免 漏掉解的情况 . 9 乂SAAOB-SAAOC+SABOC- 2 ,