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1、高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何. 数列型解答题 班级 _ 姓名 _ 时间：45分钟分值 :72分总得分 _ 1?(12 分)(2011 ?成都市高中毕业班第二次诊断性检测) 设厶 ABC 的三内角 / 、B、C 所对应的边长分别为a、b、c,平面向量 m = (cos, cosQ, n = (Cy a)f p=(lb9 0),且 m-(np)=0. (1) 求角力的大小； (2) 当时，求函数jx)= sinxcosx+sinx 解：(l)zn? ( )=( ：0 曲，cosQ*(c 2A, a) =(c2b)cosA + acosC= 0 =4(sinC 2sinB)cos
2、/ + sin/cosC= 0 今 2sinBcos4 + sinB=0. (2)/(x) = sinxcosx + sinxsin x =Tsinxcosx 算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力. 解： 证明：设 /C 与 BD 交于点 G,则 G 为/C 的中点 . 连接 EG、 GH,由于 H 为 BC 的中点， 故 GH 統如 B? 又 EF AB, . .EFGH, ?四边形 EFHG 为平行四边形， ：.EG /FH, 而 EGU 平面:.FH / 平面 (2)证明：由四边形ABCD 为正方形， ABLBC. 又EFAB, . FFlBC.lTn EFA_FB y?EF
3、 丄平面BFC, ：.EF 丄FH， ：.ABA_FH.又BF=FC、H 为C 的中点，：.FH_BC. 2- (12 分)(2011-正定) 如图, 在 多面体 ABCDEF 41,四边形 ABCD 是正方形， AB = 2EF=2, EF AB, EF丄FB, ZBFC= 90 , BF = FC, H 为C 的中点 . (1)求证：阳平面 (2)求证： /C 丄平面 求四面体 BDEF 的体积 . 分析 : 本题 考查空间线面平行 . 线面垂直、面面垂直. 体积的计 E A B ：.FH 丄平面 ABCD? . .FHLAC.又FHEG,? AC丄EG.又/C 丄D, EGQBD=G,
4、. .AC 丄平面 EDB. ? EF 丄Z BFC= 90 , .BF 丄平面CDEF? ?为四面体 B-DEF 的高. .BC=AB=2, . BF= FC=並又EF= 1， B-DEF = 22 1X 迈 X 迈=亍 3?（12 分）（ 2011 ?预测题）小王参加一次比赛，比赛共设三 关，第 一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一 关, 第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功. 每过 一关 可一次性获得价值分别为1000 元，3000 元，6000 元的奖品 （不重复 4 3 2 得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为刍京f,且每 个问题回答正
5、确与否相互独立. （1）求小王过第一关但未过第二关的概率； （2）用 X 表示小王所获得奖品的价值，写出X 的概率分布 列，并求 X 的数学期望 . 解：（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为P1, Y1 3 则 B = 1 4 入 4 厂 25? （2）X 的取值为0,1000,3000, 6000, 14 19 则 P（X=0）=尹存旷亦， 3 7 P（X=1000）=y +4X 4F25 P(X=3000) X 01000 3000 6000 P 9 25 7 25 7 75 4 15 9 7 7 4 ?.X 的数学期望E(X)=0 X+1000 X+3000 X+ 6000 X =
6、2160. 4. (12 分)(2011-天津卷 ) 已知 a0,函数 J(x)=nx-ax 2f x0.(/(x) 的 图象连续不断 ) (1)求 金) 的单调区间； 当 a=+时，证明：存在x0(2, + ), (3)若存在均属于区间1，3的弘卩,且 一么$1,使的=m， 分析: 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调 性、 解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思 想、 分析解决问题的能力. 丫 2 0? 所以存在 x0?(2, x),使 g3o) = O,即存在也 ?( 2, + ),使 /(M)=/|) ? ( 说明：的取法不唯一，只要满足兀 2，且 gX
7、 )2，则 g(x f )= 41-9e 2 32 0. 的四个顶点得到的菱形的面积为4. (a,0),点 Q(0,必) 在线段的垂直平分线上，且QA QB=4. 求必 的值. 分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 合的思想，考查运算能力和推理能力. 解：(1)由=￥，得 3/=亿 再由 c2 = a2 b2y得 a=2b? 由题意可知 |X2?X2* = 4, 即 ab = 2. a=2by 解方程组 得 a=2,方=1. ab = 2, 所以椭圆的方程为手+犷=1? (2)由(1 河知/( 2,0),设点的坐标为 ( 劝，口 ) ，直线 / 的斜率 为k,贝! J 直线
8、/ 的方程为 y=k(x+l). 7(2)珈) 冰 1), 加 2)可 3)初 3)? ln2 4aM a, ln2 4a M ln3 9 么 从而普 ln2 T* 连接椭圆 (1)求椭的方程 ; (2)设直线 I 与椭相交于不同的两点B,已知点 / 的坐标为 平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究锥曲线的性质及数形结 5. (12 分) 已知椭 2 由方程组消去丁并整理，得 (1 + 4ZT 2)X2 + 16Ax+(16Zr2-4) = 0. 16 亠 4 由_2 兀 1= + 仏 2 , 侍 2 加4k “ = 1+40 从而“ = 1 + 40 设线段的中点为M, 则 M 的坐标为
9、以下分两种情况： 当力 =0 时，点 B 的坐标为 （2,0）,线段 AB 的垂直平分线为y 轴，于是 “=（一 2, 必），0?=（2, 必） . 由 QA-QB=4, 得为= 2 迈 ? 当*工 0 时，线段的垂直平分线的方程为 2k yl + 4i? 6k 令 X=0,解得必 =一 1+仏 2?由 1 少 1 = ( 一 2, -Jo), QB=(XA, yx- jo), QAQB= 一 2 兀 1 一必 01 - 必) 4(16+15 “一 1) (1 + 4 砂 =4 于是力，两点的坐标满足方程组 y=k(x+l), 亍+“=】? 6k(4k 1 + 4 疋 1 + 4k 2 8A
10、2 1 + 40 -2(2-8k 2) 1 + 4X + 综上，必 = 2 迈或必 = 2 14. 6. （12 分）（ 2011 ?湖北卷）已知数列仏的前项和为脇且 满足: 如=a（aH0）, 1=vSn（n N , rWR, 尸工 1）. 求数列佃的通项公式; 若存在圧 N：使得 S?+i，Sk， +2 成等差数列 , 于任意的 WeN*,且加$2,如 , %,切+2 是否成等差数列，并证明你 的结论 . 分析：本小题主要考查等差数列. 等比数列等基础知识，同时考 查推理论证能力，以及特殊与一般的思想. 解：由已知an x = rSn,可得”卄 2=心卄 1,两式相减可得 an+2 an+
11、x = r（5w+iSn） = ran+x, 即 an+2=（r+l）an+l, X a2 = rax =ra,所以当F=0时, 数列仙为： a,0, , 0,； 当尸工 0,尸工一 1 时，由已知GHO,所以心 H0（? N 二 于是 由 4 卄 2=0+1）爲卄 1,可得严=F+1（?N）, “ 卄 1 ?“ 2, “3, ，心，成等比数歹U, ? ? 当 /1M2 时， an=r（r+Vf 2a? 综上，数列仙的通项公式为aw=f；: 二 1； W+l ） a, （2）对于任意的加 ?N：且加 M2 ，编+ ，伉心切 +2 成等差数 列, 证明如下： 对 当尸=0 时, 由知 , ? ? 对于任意的且加22,仇肌+1,如，如+2成等差数列 . 当/H0,尸 工一1 时，? *+2=3&+做+1 +做+2, S*+i =S&+做+i. 若 存在使得 +1,弘 +2成等差数列，则S“+0+2=2% 25A+ 2?A+ 1 + ?A+2 =2Sk, 即心+2=2a*+i? 由(1)知，血，的，的公比卄1 = 一2，于是 对于任意的且加M2, ant+x = 2am,从而a 亦2 = 4%, ? ”/w+i + Q加+2 2a加, 即Q加+i，cini，仇加+2成等差数列? 综上，对于任意的N*,且加M2,如+i, ant, a卄2成等差数 列.