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1、B单元函数与导数 口录 B1函数及其表示. 1 B2反函数 . 6 B3函数的单调性为最值. 6 B4函数的奇偶性与周期性. 9 B5二次函数 13 B6指数与指数函数 13 B7对数与对数函数 14 B8幕函数函数的图象 15 B9函数与方程 16 B10函数模型及具运算. 19 B11导数及其运算. 22 B12导数的应用 . 26 B13定积分与微积分基本定理. 53 B14单元综合 . 54 1函数及其表示 【数学理卷 ?2015届山西省山大附中高三上学期中考试试题（201411） 16.已知数列? 的通项公式为an=-n + p,数列仇的通项公式为bn = 2 n 5, 设 cn=y
2、 an “，若在 心 仇 数列 _中，则实数 “的取值范围是 . 【知识点】函数及其表示数列的单调性Bl D1 【答案】（12，17）【解析】解析：由题意可得“是色 “中的较小者，an是递减数 列；bn是递增数列，因为（心8）,所以是c”的最大者，则尸 ,2, 3, .7, 8时， “递 增，n=8, 9, 10,.时，” 递减，因此，n=l, 2, 3, .7 时，2“总成立，当n=7 时,2J 5V-7 + 0. ?.pll，n=9, 10, 11,时,2心-“+ 总成立，当沪9 时, 295-9 + p成立， ?叩p-8,所以p=2 ,p12,故12 V/? 516,若。8仇 即P 82
3、* 5 所以p16, 那么= a9 , 即8p?9,?叩C”（“H8）,所以是 - 的最大者，则口 =1, 2, 3,7, 8吋，”递增，n=8, 9, 10,时，”递减 , ，进而可知an与bn的人小关系，且二兔或5=2,分两种情况讨论，当 5=仮时 asb 7 , 当5 =如时比隔,分别解出p的范围 , 再取并集即可 ; 【数学理卷 ?2015届山西省山大附中髙三上学期中考试试题（2024H）】12.己知函数pv p0 p p /O） = ln上一，若f（J）+f（）+?+f（-）=503（d + b）,则a 2b2 的最小 值e-x 2013 2013 2013 为（） A. 6 B.
4、8 C. 9 D. 12 【知识点】函数的性质基本不等式Bl E6 所孟）+f（益骼上警 ?2,即”一，由不等式可得 a 2 +b2 A （d+b） * 2 , 当且仅当a=b吋，等号成立，故选择B. e 2。2（） 12。 【思路点拨】根据已知函数的特征结合所求f（J）+f（l）+f（吐上），可得 2013 2013 2013 /（x） + /（e-x） = 2,即可得a+b = 4,再利用不等式 /+ 护, 即可求得 . 【数学理卷 ?2015届山西省山大附中高三上学期中考试试题（201411）】3.已知函数 X 2 Y 0 /(X)= / ，则 /(-4)=() (-)xl =() 5
5、5 5 5 A? B?C?D? 16 8 4 2 【知识点】分段函数的函数值.B1 【答案】【解析】C解析：?2vlog2 5v3,?/(10色5) = 2呃5-2 = 2呃5.2-2= 扌， 故选C. 【思路点拨】先分析log? 5在哪两个整数之间，利用xNl时的条件，把其变换到xvl的情 况，再用x2 或 (2x + l) + (2x-3)2等价于log2 ( 2 3 ) + 2 v | 2x + 11 + | 2兀 一3 |, f(x) 的最小值为4,于是log2(a 2 一3a) + 2 v 4即可求解 . 【数学文卷 ?2015届山西省山大附中高三上学期期中考试（201411）】12
6、.已知函数昨心 “ V 若关于兀的函数二厂_和） * 有 若/W= 1W , _ X ? ? 应有2, 解得2f (xj =1,不满足f(x()W . 故错误 . xx -x2 思路点拨】利用对数函数的单调性性质求解即nJ-. 【数学理卷 ?2015届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试(201411)】13. 函数 /(X)二兀sinx + cosx + x 2,贝怀等式 /(lnx)0时，f (x) 0,故函数在(0, +8)上是增函数， 当xVO时，f (x) 0*p.成立，求实数a的取值范围； (2)若对于任意l,l,/(x)? 0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若对于任意0?
7、-1,1,/+20￥-。+ 20恒成立，求实数x的収值范围。 【知识点】函数的单调性与最值B3 2 【答案】(1) (2) -30恒成立，需满足人 =4亍一4(d + 2)W0 得- 2l 时,/(x)inin = /(-l) = 3-3tz0, a0,-3 0 ,-1 0 恒成立，等价于g(a)=(2x-l)a+ x 2 +20 所以X的范围-1。 【思路点拨】利用函数的单调性求岀范围。 【数学文卷 ?2015届山东省实验中学高三上学期笫二次诊断性考试(201411)】4. 下列函数 屮既是奇函数又在区间-1,1上单调递减的是 + 2x 1 + 2 0 2x +1 + 2 0 【知识点】函数
8、的奇偶性单调性B3 B4 【答案】C 【解析】根据定义可得： 1 既不是奇函数又不是偶函数； 2 是偶函 数，只有 =SbX 与“工是奇函数，由此可排除B、D. 而y x 在区间一人1】上单调递增，也可排除，故选c 【思路点拨】先判断奇偶性，再利用单调性求出。 【数学理卷 ?2015 W黑龙江省大庆市铁人屮学高三12月月考（期屮）（201412） 4.若 奇 函数沧）（用R）满足.0=1，沧+3）=心）+/ （3），则. 彳另等于（） A. 0 B? 1 C.i D. 一1 【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C 33 3 【解析】 :Vf (x+3) =f (x) +f (3),令x=-,贝
9、Uf ( ? 一+3) =f ) +f (3), 2 2 2 3 3 3 1 即f( )=f( - ) +f ( 3 ) 9 f ()= 2 2 2 2 3 【思路点 拨】由f (x+3) =f (x) +f (3) , .FL函数f (x)为奇函数，我们令x=, 2 3 1 易得f(?)=上. 2 2 【数学理卷 ?2015届河北省唐山一中高三12月调研考试（201412）】6.现有四个函数： y = x-sinx :y = x-cosx ； ?y = x-|cosx|；?y = x -2 x 的图象（部分）如下： 函数的奇偶性与周期性 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
10、A.B.C.D. 【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】B 【解析】分析函数的解析式，町得： y二x?sinx为偶函数;y二x?cosx为奇函数；y二x?|cosx|为奇函数，y二x/为 非奇非偶函数II当x .f(l) + .f(2)+ .f(3) + .f(2014)的值为 A.2 BC.O D.-2 【知识点】函数的周期性B4 【答案】B 3 3 【解析】由f (x)满足/(- + %) =/(x一一), 即有f (x+3) =f (-x), 2 2 由f (x)是定义在R上的偶函数，贝ij f (-x) =f (x),即有f (x+3) =f (x), 则f (x)是以3为周期 的函数，
11、 由f (-1) =1, f (0) =-2,即f (2) =1, f (3) =-2, 由f (4) =f (-1) =1,即有f (1) =1. 则f (1) +f (2) +f (3) +.+f (2014) = (1+1-2) +.+f (1) =0x671+1=1. 3 3 【思路点拨】由f (x)满足/(- + x) = /(x ),即有f (x+3) =f (-x),由f (x)是定 义在R上的偶函数 , 贝ijf (-x) =f (x),即冇f (x+3) =f (x),则f (x)是以3为周期的函数，求出 一个周期内的和，即可得到所求的值. 【数学文卷 ?2015届黑龙江省大
12、庆市铁人中学高三22月月考 ( 期中)(201412)】14.已知 /(Q 是定义在R上的偶函数，并且f(x + 2) = - 一 ，当20,排除D. 【思路点拨】根 据函数的奇偶性排除D. 【数学文卷 ?2015届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试(201411)】4?下列函 数 中既是奇函数又在区间上单调递减的是 【思路点拨】由/(x + 2) = - 1 7 w _ “=LII- 数，只有y =imx 与2+X是奇函数，由此口J排除B、D. 而y x 在区间 一人口上单调递增，也可排除，故选c 【思路点拨】先判断奇偶性，再利用单调性求出。 5二次函数 【数学理卷 ?2015届重庆市
13、巴蜀中学高三12月月考(201412)】13已知于 ( 兀) 是定义在R 上的奇函数。当兀0时，f(x) = x 2-4x ，贝怀等式f(x)x的解集为 _ 【知识点】二次函数的性质.B5 【答案】【解析】-5, 0U5, +8)解析:Vf (x)是定义在R上的奇函数， ?f (0) =0. 设x0, f (-x) =X 2+4 X, 乂f (-x) =x 2+4x=-f (x) , Af (x) =-x“4x, x0 时，由f (x) ? x 得X 2-4XX,即 X 25 X0,解得X、5或XX,即X 2+5 X5?故答案为：-5, 0 U 5, +8)? 【思路点拨】根据函数的奇偶性求岀
14、函数f (x)的表达式，然后解不等式即可. B6指数与指数函数 【数学文卷 ?2015届四川省成都外国语学校高三12月月考（201412）】11.已知 Q A. y = sin x B. y = - x +1| 【知识点】函数的奇偶性单调性B3 B4 【答案】C C. y = In 2-x 2 + D?y 冷(2“) 【解析】根据定义可得：1T“ 1! 既不是奇函数乂不是偶函数 ; 是偶函 2A = 3, log4 - = y,贝吹+ 2y的值为 _ . 【知识点】指数与对数的互化对数的运算B6 B7 【答案】【解析】3 Q O 1 Q 解析：由2 = 3,log4- = y得x = log2
15、 3,y = logG = Tlog2,所以 J J 厶J 8 X + 2y = log2 3 + log2 - = log2 8 = 3. 【思路点拨】由已知条件先把x,y化成同底的对数，再利用对数的运算法则进行计算. 7对数与对数函数 【数学理卷 ?2015届黑龙江省大庆市铁人中学高三12刀刀考（期中）（201412） 9. 函 数y =lo(2) 2 解析：(1)函数f (x) =e x - ax - 2 的定义域是 R, f z (x) =ex - a, 若aSO,则f (x) =c x - a0,所以函数 f(x)=eX?ax?2在( ? 上单调递增 . 若a0,则当xG ( - o
16、o, Ina)时，f (x) =e x - a0；所以，f (x)在(-co, Ina)单调递减，在(Ina, +oo)上单调递增 . (2)由于a=l,所以，(x - k) f (x) +x+l= (x - k) (e x - 1) +x+l 故当x0 时，(x - k) f (x) +x+l0 等价于k0) e x - 1 x+1 -xex-l e x ( e x-x-2 ) 令g (x)亠么+K，则(x) = - +1 二- 厂 -I (e x-l) (e x-l) 由 知，两数h (x) =e x - x - 2 在(0, +8)上单调递增，而h (1) 0, 所以h (x) =e x
17、 - x - 2在(0, +8)上存在唯一的零点，故(x)在(0, +-)上存在唯一的零点，设此零点为ct, 则冇aG (1, 2) 当xG (0, a)吋，才(x) 0；所以g (x)在(0, +)上的最小值 为g(a)?乂山g (a) =0,可得ca=a+2 所以g (a) =a+16 (2, 3) 由于式等价于k0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值, e x - 1 即可得出k的最人值 . 【数学文卷 ?2015届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12月)(201412)】13. 若函数 /(x) = sinx + cosx,厂 是/(X)的导函数，则函数F(x) = /(x)厂
18、+厂( 尢) 的最大 将不等式 ,(x - k) f (x) +x+l0在x0时成立转化为k0)成立, 值是 【知识点】函数的值域；导数的运算.B3B11 【答案】【解析】1 +血解析 ?“) =sinx + cosx , ?/“(%)= cos 兀 ?sin 兀, F(x) = + f 2(x) = (sin x +cos x) (cos x- sin x) +(sin x +cos xy =cos 2%- sin2x+2sirircosx + 1 =cos2x+sin2x+l =/2sin + +1， 稱4 vsinSx+ l时，函数 /(Q 的最小值是3a 2 当。1时， +1,即可求出
19、F的最大 X0(0, 1)1(1，a)a(a, 2a)2a / (x)+ 00+ f（X）0单调谨増极大值3a? l单调谨减 极小值a? (3a) 单调谨増 4a 3 比较/（o） = 0和/（a） =，（3 Q）的人小可得g（ ）=；异: a（3-a）, a3 当G3 【思路点拨】（1）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f （x）在 点（2, f （2）处的切线方程； （II）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值 【数学文卷 ?2015届四川省成都外国语学校高三12月月考（201412）】4.己知函数 /（X） = X 2+2 COSX,若 厂
20、是于（兀）的导函数, 则函数广（朗在原点附近的图象大致是（） A B C D 【知识点】导数的计算，函数的图像B8 B11 【答案】【解析】 A 解析: 因为/* （x） = 2x-2sinx,/ n（x） = 2-2cosx 0，所以函数 fx ）在R-上单调递增，则选A. 【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函 数值或函数值的符号等进行判断. 12导数的应用 【数学理卷 ?2015届黑龙江省大庆市铁人中学高三12月月考 ( 期屮)(201412) 22. (12 分)已矢f(x) = nx-ax 2 -bx (1)若函数/(X)在其定
21、义域内是增函数，求方的取值范围； (2)当? = -1, 时，证明函数 /( 兀) 只有一个零点； (3)/( 兀) 的图象与x轴交于0),3(兀2,0)( “2)两点，AB中点为CgO), 求证:/z(x0)0,?丄+2月2 2血，当且仅当工?返时取“=“, X2 ? ? 方M2J5，: ? b的取值范围为(Y 2J5 ? (2)当G =?1, b= l 时，fix)=nx+x 2+x f其定义域是(0, +8), ? ? f x)=丄 + 2x + l= 2a V 1 0 - 5分 /(x)在(0, + oo)上单调递增，又f( 丄)=_1 + 4 +丄vOJ=20 e e e ? ? 隊
22、I数/U)只有一个零点 . 两式相减，得lr 芒 (3)由已知得 ill =丄 20 (1) =OX!1,则不等式e-f(x)e x + 1 的解集为 () A. x|x0 B. xxl D. xx1,?g，(x) 0恒成立 即g (x) =e x*f (x) -ex 在R上为增函数 乂Tf (0) =2,?g (0) =1 故g (x) =e x*f (x) ?e x1 的解集为 x|x0 即不等式ex?f (x) e x+1 的解集为x|x0 【思路点拨】构造函数g (x) =e x*f (x) -ex,结合已知可分析出函数 g (x)的单调性，结合g (0) =1,可得不等式 eW (x
23、) e x+1 的解集 . 【数学理卷 ?2015届重庆市巴蜀中学高三12刀刀考(201412)】17?设正项等差数列 色, 。2卫5，%4恰 好是等比数列 亿 的前三项，=3。 (1)求数列 色 、 仇 的通项公式； (2)记数列尙的丽5项和为7；,若对任意的nwN “，k 求实数的取值范围。 【知识点】等差数列；等比数列D2 D3 【答案】【解析】色=2n 1也=3“上巴舟解析：设公差为d,贝IJ冇 /. 3J 2 6d = 0 J = 2或d二0舍，又因为a2 = 3,d = 2,.*. a = 1 an = 2n 1, /. a 2 3,tz5 = 9,d4 = 27 bn = 3“
24、A k A - 对刃 W 恒成立 , 【思路点拨】根据等差、等比数列的概念可列出关系求出公差与公比，再写出通项公式， 第 二问，可变形为与k有关的不等式，再利用通项的性质进行证明. 1 当1 VQV2时,f(x)在(0,1)和( 丄,+oo)单调递减 , a-1 a-1 在(1,丄) 上单调递增； a-1 (3)由(II)知，当aw(3,4)时, 于在1,2上单减，于(1)是最大值 , 才是最小值 . |/( 兀1 )一/( 兀2)| - f (1) /(2) = + In2 /. m + In 2 + ln2 , rfo tz 0 a_3 ci_31 1 经整理得 - 加笃丄，由3vo .
25、a 2- a 2 15 15 【思路点拨】(1)确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函 数 - ) ( 兀_1) 的极值；(2)求导函数 /*(%)= - 心 - ，分类讨论，利用导数的正负，确 x 定函数的单调性；(3)由(2)矢口，当aG (3, 4)时，f (x)在1, 2上单调递减，从而可 得.?.|/(x1)-/(x2)| - + ln2,等价于加巴 工，求出右边函数的值域，即可求得结论. 2 2 力一1 (l_d)( 丄)(1) X 【数学理卷 ?2015届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12月)(201412)】14. 已知 a.b e R.b 0 ,曲
26、线y = % 3 - ax2 一/? 尢和直线y = ax + b有交点in,n G Z),则 满足的等量关系式为_ .( 不能含其它参量 ) 【知识点】函数与方程.B12 【答案】【解析】2a-b + 8 = 0m ：由题意可得 :Q( 计) 在曲线y = x 3-ax2-bx 和直 . n = in -am 2 -bm 3m 线y = + 上，所以 $ 二H = m run 二 斤= n = am + b (m +1) 1 ?1 、 =n = - = m“ +1 - , Tm,neZ, /.m=0 或?2, m +1 m +1 当m=0时，n=0代回原方程得b=0不成立； 当m=?2时，n
27、=8代回原方程得8=?2a+b,即2db+ 8 = 0。故答案为2d b + 8 = 0。 17 ,7? H H1? 一/? ,77 m彳 , 化简整理得斤 =上一，分离常数后有 n - am + bm + 1 n = m 2-m , 然后分类讨论即可。 m +1 【数学理卷 ? 2015届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411)】21.( 木小题满分 12分) 设函数/(x)= nx- ax -bx. (1)当a=h= 1 时，求函数 /( 无) 的单调区间； 2 (2)令尸( 兀)=/( 兀)+丄处2+加+兰(ovxW3),其图像上任意一点P(兀o，y )处切线的 2x 斜率*
28、m =【答 案】（1） /（X）的单调增区间为（0,1）,减区间为（1，+ ）；（2） 2 ；（3） 或 ) 【解析】解析：（1）依题意，知/（X）的定义域为（，+ ） a =h = f *(x) = lnx- x 2 - x 当2 时，八丿4 2 厂(x)_L 丄一7+2)(x-l) x 2 2 令f（x） = ,解得x = l或兀=_2（舍去） 当Ovxvl 时，厂(x)0 当xl 时，?厂（x） 所以2. (3)当Q = O,b = _1 吋，/(x) = lnx+x 由 / (x) = fnx得In 兀 + 兀= .nx m = 1 + - 乂x ,所以X 要使方程/（X）= mx在区
29、间1上有唯一实数解 . .lnx m = 1 d- 只需*有唯一实数解 . / 、1 Inx 1-lnx g(X)= 1 + (X 0), g(x)= 令兀 由g(x)0 得Ovxve g*(x) 2 ?g(x)在区间l，e上是增函数 , 在区间e，e 上是减函数 . 2x g(l) = l,g(e 2) = l + -,g(e) = H- e e , /. m = 1 + 1 ). 【思路点拨】(1)先根据函数f (x) =ax 4+bx3+cx2+dx+e 的图象关于y轴对称 , 求出b和 d的值，再根据函数的图象经过点(0,?1)求出e,然后根据在x二0,求证：ga + l)“_g(+l
30、)n2 “_2(MwM) 解析： ：?关于x的不等式f (x) V (2ml) x+1-m 2 的解集为(m, m+1),即不等式x+ (a+l _2m) x+m2+m0吋，k取任意实数，函数1,则xe (1, X2)时,0(兀) 0 , 2 + k -yjk 2 +4m 2 1,兀2 2 + k +4/n 2 1，则xe (1, xi)时，0(x)O； （其中西 2 + k y/k 2 +4/?7 2 _ 2 + k + lk 2 +4m 2 (3)- 证 明：Tni二1, .g (x) =x-l H - ( 、“ ?： g(x +1)“ 一g( 兀“+1)=兀 + l兀丿 二兀“?丄+ C
31、；厂?丄+ . X X- +c;7_ x“(2 + )兀+ ITI + 1 Cx n2 + C；兀“一 4 + + C“ x 2-n , 令T= Cx n2 + Cx“-4 +. + Cx2-n, 则 T= ? 2T二C* (x n2 + x2_/, ) + C； (x z,_4 + -“)+ ?.+ C ：7 (x 2n + xM_2 ) $ ； ?冷严宀 _C J叫工十 - ?-c汀?2品-计 2 = 2(C：+C ； + + C：J = 2(CAC： +C； + + C：“ +C： -C： -C ：)=2 (2-2). AT2 n-2, BPg (x+1) n-g (xn+l) 2-2.
32、 【思路点拨】本题主要考查二次函数、一元二次不等式、一?元二次方程、导数的应用、 均值 不等式等，其中利用导数求函数的极值点应注意在英定义域内解答，对于第三问也可 以用数学归纳法证明 . 【数学文卷 ?2015届黑龙江省大庆市铁人中学高三12月月考 ( 期中)(201412)】22.( 本 小 题12 分) 已知函数f(x) = ax-(2a-l)lnx+b. (I)若门兀 ) 在点(1,/(1)处的切线方程为“X,求实数、 “的值； (II)当。0时，讨论几对的单调性； (III)当吋， /(Q 在区间(-,e)恰有一个零点，求实数b的収值范围 . e 【知识点】导数的应用B12 【答案】(
33、I) (II)/ 的单调递减区间为(0,心)，单调递增区间为 ( 如1,+8) b = 1 a a (III) b=-l 或e-l W丄 e 【解析】 (I) /3=心=姒一 (加一1)依题意， X X 解得：p=0 (II)/ 的定义域为(0,+oo) 当时，恒有f x) 0故/(x)的单调递增区间为(0,+oo) (26/-1), 1cix - 当ay 时，f x) = - , 2x 令厂(兀)=() 得，x = -0, Cl 兀对及广(X)的值变化情况如下表: 厂(l) = l_d = f()=a + b fx) = a- x ax-(2a-) x (2a_l) a 兀 - J a x
34、X(0,心) a 2a a /2。一1 、 ( - 严) a ?厂 0+ 极小值 7 故/(x)的单调递减区间为(0,丝二1)，单调递增区间为(2口,+ 呵a a (III)当4 = 1 时，f(x) = x-nx + b ,由(II)知，/(X)在(0,1)为减函数，在(1,+8)为增函 数， /(X)的最小值为/(1) = 1+/2. ?.?/( -) = 1-1-1 + /?, f(e) = e- + b e e ? /(l) -/(e) = - + l- + l = 2 + - 0 e e -1 + /? 0 即l+b=0或丄 +屮l,则了 ( 兀)/+ 1的解集为 ( ) A. (0
35、, +oo) B. (-00,0) C. (-oo,-l) u (1,4-oo) D. (-oo,-1) U (0,1) 【知识点】导数的应用B12 【答案】A 【解析】令g (x) =e x-f (x) -ex,则 g (x) =e x*f (x) +f (x) -1 ? ?对任意xeR, f (x) +f r (x) 1, :.g (x) 0 恒成立 即g (x) =e x*f (x) -ex 在R上为增函数 乂Tf (0) =2,?g (0) =1 故g (x) =e x*f (x) ?e x1 的解集为x|x0 即不等式ex?f (x) e x+1 的解集为x|x0 【思路点拨】构造函
36、数g (x) =e x*f (x) -ex,结合已知可分析出函数 g (x)的单调性，结合g (0) =1,可得不等式3?f (x) e x+1 的解集 . 第 II 卷( 非选择题 ) 填空题 ( 每小题 5 分，共 20 分) 21、【数学文卷 ?2015届重庆市巴蜀中学高三12月月考 (201412 )已知函数 /( 町=” + 心 + 1, g(X)= (其中是自然对数的底数 ) 。 (1)若a = -l ,求函数J = /(x)-g(x)在 一1,2上的最大值； (2)若a=-l ,关于工的方程f(x) = k g(x)有且仅有一个根，求实数上的取值范F弘 (3)若对任意的鬲、乃?0
37、2,无兴可，不等式1/50=)3)|都成 立，求实数a的 取值范围。 【知识点】导数的应用；绝对值不等式的性质.B12 N4 1 3 【答案】【解析】 (1)3/ ；(0,-)U( ,+oo)(3) (-1,1) e 解析：当a=?l 时，y = (x 2 -x + ey r = (x 2 + xe x, 由 y = 0 得：x=0 或x= -1,经 检验xw (-1,0)时，yvO, xe (0,2)时，y0,所以函数y = /()*g(x) 3 _ 在(-1, 0)上递减，在(0,2)上递增 . 乂当x= -1时y=7 , X=2 时 尸曲所以函数y=/W-gW在72上 的最大值为3/.
38、F 丫+ (2)当a=?l时，关于X的方程为兀2兀+ 1 = 0,即比=_二_ 令/?(x) = -= /(X)= 7-，经检验得h(x)在(YO,1),(2,+OO)一上递减 , e e 1 3 在(1,2)上递增 , 所以函数h(x)在x=l处有极小值h(l)=_,在x=2处有极大值h(2)=, e / 1 3 而x趋向于+00时,h(x)趋向于0,所以实数k的取值范围是(0，一)U( F+OO)? e e h(x) = e x-x2 f则h r (x) = q(x) = e x-2x f fi qx) = e x-2 = 0 Wx = ln2,经检验x = ln2 时/(x)有极小值 ,
39、 也是最小值2-2In2 0 ,所以h(x)是0,2上得增函数 , 而 迪，皆U宁汀所以问 c 【思路点拨】(1)利用导数确定函数y = (/-x + l)以的单调性、极值性，从而求得此函 数的最大值；(2)采用分离常数法求k的収值范围；(3)利用绝对值不等式的性质，转化为 求函数h(x) = e x-x2 在0,2上，任意两点确定自线的斜率的最小值，同小于此最小值即 可. 0时，(R)/心)+兀+10, 求k的最人 值. 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.Bll B12 【答案】【解析】(1) f (x)在(- 口Ina)单调递减，在(Ina, +oo)上单调
40、递增；(2) 2 解析：(1)函数f (x) =e x - ax - 2 的定义域是 R, f 1 (x) =ex - a, 若a0,所以函数 f (x) =e x - ax - 2 在(-f +8)上单调递增 . 若a0,则当xG ( - oo, Ina)时，f (x) =e x - a0；所以，f (x)在(-, Ina)单调递减，在(Ina, +oo)上单调递增 . (2)由于a=l,所以，(x - k) f (x) +x+l= (x - k) (e x - 1) +x+l Y-I-1 故当x0 时，(x?k) f (x) +x+l0 等价于k0) e x - 1 z X+1 tI ,
41、- xex - 1 - ex ( ex - x - 2) 令g (x) = - + x，贝Ig (x) = +1 二9_ e X -l (e x-l) (ex-l) 由(I)矢U,函数h (x) =e x - x - 2 在(0, +8)上单调递增，而h (1) 0, 所以h (x) =e x - x - 2在(0, +?)上存在唯一的零点，故g (x)在(0, + )上存在唯一的零点，设此零点为 cx，则有ctG (1, 2) 当xG (0, a)时，g (x) 0；所以g (x)在(0, +)上的最小 值为g (a). 乂由g (a) =0,可得ea=a+2 所以g (a) =a+lG (
42、2, 3) 由于式等价于k0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值, /一1 即可得出k的最人值 . 【数学文卷 ?2015届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12月)(201412)】20.( 木小 题 满分16分) 设函数.f (x) = x 2 +ax-ln x(ci G R). (1)当d = l时，求函数/(x)的极值 ; 将不等式，(x-k) f (x) +x+l0在x0时成立转化为k0)成立, (2)当dl时，讨论函数/(x)的单调性? c D 加 + In 2 |/(西) 一/(x2)| 成 立, 求实数加的取值范围. 【知识点】导数在最大值、故小值问题中的应用.B12 【答
43、案】【解析】(1)当0 1时，f ( 兀) 0. /(%) 单 调递增， ? ?./( 兀) 极小值于 (1) = 1无极大值 ?(2)当a = 2时，/( 兀) 在(0,+。) 上是 减函 9 数；当67 2吋，子在(0,丄) 和(1,+00)单调递减，在 ( 丄,1)上单调递增；当a-1 1 . a-1 a-1 15 i _ i 解析：(1)函数的定义域为(0,+co).当a = l时，/(%) = %-In x,f(x) = l= - ， 当 0l吋，/ (x)0. f(x)单调递增 ?/极小值亍(Di 无极大值 ? 9 (2) f (x) = (1 cix + a - X X 当丄=1
44、,即a = 2时?，广( 兀)=一上少50, f(x)在定义域上是减函数； d -1 x 当Ov一vl,即a2时，令 / (x) 0, a- 得一- 0, a-1 a-1 得心 2时,/( 兀) 在(0,丄) 和(l,+oo) 单调递减，在 ( 丄,1)上单调递增 ; 当1 VQV2时,f(x)在(0,1)和( 丄,+oo)单调递减 , a-1 a-1 在(1,丄)上单调递增； a-1 (3)由(II)知，当aw(3,4)时, 于在1,2上单减，于(1)是最大值 , 才是最小值 . |/( 兀1 ) 一/( 兀2)| - f (1) /(2) = + In2 /. m + In 2 + ln2
45、 , rfo tz 0 d 3 a 3 1 1 经?整理得加上仝，rh3? a 2- a 2 15 15 【思路点拨】(1)确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函 数 (3)若对任意a? (3,4)及任意和兀2丘lb 2J 恒有 (l-d)(x- )(x-l) a-I (1 _ a)(x- - )( 尢 _ 1) 的极值；(2)求导函数f(x)= - 也 - ，分类讨论，利用导数的正负，确 x 定函数的单调性；(3)由(2)知，当aG (3, 4)时，f (x)在1, 2上单调递减，从而可得? |/(x,) - /(x 2 )| 0, *、15+Q ,15何 解得 -
46、或r v - , 2 2 H15 - V21 从而00：当tW (9, 10)时，v (t) l,求/( 兀)在闭区间0,2|a|上的最小值 . 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 B11B12 【答案】【解析】(I) 6x-y-8 = 0 (II)当al时，函数 /( 兀) 的最小值是3a 2-a3, 当avl时, 函数/( 兀) 的最小值是3a 1. 解析：(I)当。=1时，广(x) = 6兀彳12/ + 6,所以广(2) = 6?/(2)二4,.? . 曲线 y = f(x)在点(2, /(2) 处的切线方程为y = 6x-8； (II)记g(a)为在
47、闭区间0,|2训上的最小值 . 广( 兀)=6x 2 一6(d +1) x + 6d = 6(x-l)(x-a) 令广( 兀) = 0,得到xx = L x2=a 当G1时， X 0(0, 1)1(1，a) (3)若不等式4H 2lnj21n2- 2 【解析】广 =% ? 氐3+如？, 函数/(x)在点(1,/(1)处的切线与2y + l = 0平行X ?广(l)=a=2? C L C 1 (2) f( 兀)=x?a?3+ =丄( 力_2)(兀_( + 1),则禹=2,兀2 =Q + 1 X X 当al 时,a+l2 在(0,2,/z(x)0,f(x)调递增，在2,a+2上广(x)5 0, f(x)单调递减