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1、指数函数与对数函数 一、实数指数幂 1、实数指数幂：如果 x n=a（nN 且 n1） ，则称 x 为 a 的 n 次方根。当n 为奇数时，正 数 a 的 n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a的 n 次方根只有一个， 记作 n a。 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个， 它们互为相反数， 分别记作 n a， n a。 它们可以写成 n a的形式。负数没有（填“奇”或“偶” ）次方根。 例： 填空： （1） 、 （ 3 8） 3= ； （ 3 8） 3= 。 （2） 33 8= ； 3 3 )8(= 。 （3） 、 44 5= ； 4 4 )5(= 。 巩固练
2、习： 1、将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1） 3 2 a（2） 5 3 b（ b0） 2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） 52 a（2） 35 1 a （a 0） 3、求下列幂的值： （1） 、 （-5） 0； （2） 、 （a-b） 0； (3)、2 -1； （4） 、 （ 4 7） 4。 2、实数指数幂的运算法则 、aa a、 a a a 、)(a a 、)(abba、)( b a b a 例 1：求下列各式的值： 、 2 1 100、 3 2 8 3 2 3 1 88 例 2：化简下列各式： 、 3 aa、 63 3333 巩固练习： 1、求下列各式的值： 、 4 3
3、 3 162 、 4 4 82 553 25.042 2、化简下列各式： 2 )3( x 2 3 2 )( y x 20 3 5 3 2 aaaa （a0） 二、幂函数 1、幂函数： 形如xy（， 0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量， 为常 数。 例 1、判断下列函数是否是幂函数： 、 y 4 x、 y 3 x、 y 2 1 x 、y x 2、s4t 、y x x 2 )1(、y 2 x+2x+1 巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域： 、 yx；、 y 2 1 x； y 1 x； y 2 x； y 4 1 x。 o x1 1 y yx y=x -1 y=x 2
4、三、指数函数 1、指数函数：形如 y x a（a0, 且 a1）的函数叫做指数函数，其中x 为自变量， a 为 常数，指数函数的定义域为R。 例 1：判断下列函数是不是指数函数？ (1) x y)3( (2) 4 3xy（3） 2 1 xy （4） x y 5 2 (5) y x 2 (6) y x ) 2 1 ( 2、指数函数性质归纳 函 数 y x a（a1）y x a（0a1） 图 象 性 质 定义域R 值域(0， ) 过定点（ , ） 单调性是 R上的增函数是 R上的减函数 例 1：已知指数函数y=a x 的图像过点（2，16） 。 求函数的解析式及函数的值域。分别求当x=1，3 时的
5、函数值。 例 2：判断下列函数在（，）上的单调性 y=0.5 x y= x 3 1 四、对数 1、对数： 如果 b a N(a0，a1), 那么 b 叫做以 a 为底 N对数，记作 aNb，其中， 0 x y y=1 y x a （0 a1） 0 y=1 y x y x a （ a1） a 叫做对数的底数，简称底；N叫做真数。aN读作 : “以 a 为底 N的对数”。 我们把 b a N叫做指数式，把aN b叫做对数式。 2、对数式与指数式关系： 例 1：将下列对数式改写成指数式： （1） 381=4；（2）5125=3； 例 2：将下列指数式改写成对数式： （1） 、 3 5=125， （2
6、） 、 4 1 16=2 3、 常用对数： 把以 10 为底的对数叫做常用对数。N(N0) 的常用对数10N可简记为lgN。 例如： 107 可简记为 lg7 4、自然对数：以 e 为底的对数，这里e=2.718281 是一个无理数。N（ N0）的自然对数 eN可简记为N。 例如：e5 可简记为5 5、零和负数没有对数。 6、根据对数定义，可以证明： a1=0；aa=1（a0, 且 a1） 7、对数的运算性质： （1）积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即 a（MN ）=aM aN （） 商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即 a
7、 N M =aM-aN （）幂的对数：一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数，即 a b M b aM其中， a0，a1， M 0，N0 例： 求出下列各式的值： 1、2（ 48） 2 、3（927） 3、2 16 64 4、5 75 25 5、3 24 6、3 2 1 9 对数 底数 指数 b a N a N b 真数幂 五、对数函数 1、对数函数： 函数log a yx（0,a且1a）就是对数函数。 是指数函数 x ya（0,a 且1a）的反函数。 2、对数函数的图象和性质 性质 对数函数log a yx1a01a 性质 1.对数函数log a yx的图像都在轴的右方. 性质 2.
8、对数函数log ayx的图像都经过点（ 1，0） 性质 3.当1x时，0y；当1x时，0y； 当01x时，0y. 当01x时，0y. 性质 4.对数函数在0,上是增函数 . 对数函数在0,上是减函数 . 例 1：求下列函数的定义域： 2 1logayx； （ 2） 2 log (4) a yx； （3）log 4 a x y x 例 2：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1） 3log 5和3log 7; (2) 0.5log3和0.5log； （3） 1 log 2 a 和 1 log 3 a ， 其中0,1aa 综合练习 1、下列各式中正确的是( ) A. 10 0 B.
9、 74 4 7 1 a a C. 11- 1- ）（ D. 5 5 1 1 a a 2、下列等式中能够成立的是（） A. 33 39 B. 5 5 1 5 )(ba b a C. 3 2 3 22 )(yxyx D. 3 6 2 3)3( 3、设 0b ，化简式子 6 1 5 3 1 22 2 1 33 )()()(abbaba 的结果是（） A. 1 ab B. a C. 1 a D. 1 )(ab 4、在式子 2 3 )32(x中，x的取值范围是（） A. Rx B. 3 2 x C. 3 2 x D. 3 2 x 5、幂函数 3 1 xy必经过点（） A. )2,2( B. )1 , 1
10、 (和)0,0( C. ) 2 1 , 2 1 ( D. )3 , 1( 6、幂函数 3 xy的奇偶性为（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 减函数 7、下列函数中，为指数函数的是（） A. x y1 B. x y2 C. x y D. )10( 1 aaay x 且 8、计算 2 1 2 )4(的结果是 9、 842 422 , 3 2 ) 8 3 3( 10、比较下列各题中两个实数的大小 （1） 4-5 5 1 5 1 与（2） 5. 3-5 22与 课后练习 一、选择题 1、函数 1 23 x y x 的定义域是（） A. 3 1 2 x xx或B. 3 1 2 x
11、 xx且C. 3 1 2 x xx或D.1x x 2、定义在R 上的偶函数( )f x，在(0,)上是增函数，则（） A(3)( 4)()fffB()( 4)(3)fff C(3)()( 4)fffD( 4)()(3)fff 3、式子 1 2 4 1 ()16 2 的值为（） A -2 B 2 C4 D-4 4、式子 2 (lg5)lg 2lg50的值为（） A 6 B4 C3 D1 5、已知 34 12 )( x x xf(x R,x 4 3 ) ,则)2( 1 f的值为 ( ) A. 10 7 B. 5 3 C. 5 3 D. 10 7 6、已知( )logaf xx的图象过点(5,3)，
12、则a（） A5B3C 3 5D 3 5 7、若 1 4( )16 2 x ，则的取值范围是（） A24xB42xC42xD24x 8、对于10a,给出下列四个不等式: ) 1 1(log)1 (log a a aa ) 1 1(log)1(log a a aa a a aa 1 1 1 a a aa 1 1 1 其中成立的是( ) A.与B.与C.与D.与 9、已知 2 0.3a， 2 log 0.3b， 0.3 2c，则下列正确的是（） AabcBcabCcbaDbca 10、已知 lg2=a，lg3=b，则 15lg 12lg 等于（） A ba ba 1 2 B ba ba 1 2 C
13、ba ba 1 2 D ba ba 1 2 11、当1a时，函数 1 1 x x a a y是（） .A奇函数.B偶函数.C既奇又偶函数.D非奇非偶函数 12、 3log 9log 2 8 的值是（） A 3 2 B1 C 2 3 D2 13、若 a2 322,82 b ab则（） A. 2 B4 C8 D16 14、函数 1 2 log (21)yx的定义域为（） A( 2 1 ， ) B 1，)C( 2 1 ， 1D (， 1) 15、 34873 log 4log 8log 7loglog 18m，那么m（） A27 B18 C9 D 9 2 二、填空题 16、二次函数 2 ( )21f
14、 xxx，则( )f x的图像的对称轴是直线 17、函数0.(1 2 aay x 且)1a的图像必经过点 18、函数1 3 xy的反函数是 19、4102160 xx 的解集是 20、 222 loglog (log)1x，则x 三、解答题 21、计算 （1） 11 00.75 32 7 0.064()160.01 8 （2） 2222 3 log (log 32loglog 6) 4 22、解不等式与方程 （1）解不等式： 2 221 21 ( )3 3 xxx （ 2）解方程： 222 log (1)loglog 6xx 23、已知函数( ) x f xab的图象过点(1,3)，其反函数 1( ) fx 的图象过(2,0)，求函数 ( )f x的解析式。 24、函数 22 lg4-21f(x)=(a -)x +ax +（）的定义域为R,求a的取值范围。