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1、北京市西城区 2018 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2018.1 第卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列 出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知集合|01AxxR，|(21)(1)0BxxxR， 则AB（） （A） 1 (0,) 2 （B）( 1,1) （C） 1 (, 1)(,) 2 （D）(, 1)(0,) 2在复平面内，复数 5i 2i 的对应点位于（） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3在极坐标系中，已知点(2,) 6 P，则过点P且平行于极轴的直线的方 程是（） （A
2、）sin1（B）sin3（C）cos1 （D） cos3 4执行如图所示的程序框图若输出15S， 则框图中 处可以填入（） （A）2k （B）3k （C）4k （D）5k 5已知函数( )cosf xxbx，其中b为常数那么“0b”是“( )f x为 奇函数”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 6已知 ,a b是正数，且满足224ab那么 22 ab的取值范围是（） （A） 4 16 (,) 55 （B） 4 (,16) 5 （C）(1,16)（D） 16 (,4) 5 7某四面体的三视图如图所示该四面体的 六条棱的长度中，最大的
3、是（） （A）2 5 （B）2 6 （C）2 7 （D）4 2 8将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两 组中各数之和相等的概率是（） （A） 2 21 （B） 4 63 （C ） 1 21 （D） 2 63 第卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 已知向量 (1,3)a，( 2,1)b，(3,2)c. 若向量c与向量kab共线， 则实数k _ 10如图，RtABC中， 90ACB ，3AC， 4BC以AC为直径的圆交AB于点D，则 BD；CD_ 11 设等比数列 n a的各项均为正数，其前n项和为
4、n S 若 1 1a， 3 4a， 63 k S，则k_ 12已知椭圆 22 1 42 xy 的两个焦点是 1 F， 2 F，点P在该椭圆上若 12 |2PFPF，则 12 PF F的面积是 _ 13已知函数 ( )sin(2) 6 f xx，其中 , 6 xa当 3 a时，( )f x的值 域是_；若( )f x的值域是 1 ,1 2 ，则a的取值范围是 _ 14已知函数( )f x的定义域为R若常数0c，对xR，有 ()()f xcfxc，则称函数( )f x具有性质P给定下列三个函数： ( )2 x f x；( )sinf xx； 3 ( )f xxx 其中，具有性质P的函数的序号是 _
5、 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分13 分） 在ABC中，已知3sin21cos2BB （）求角B的值； （）若2BC， 4 A，求ABC的面积 16（本小题满分14 分） 如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平 面PDC， E为棱PD的中点 （）求证：PB/ 平面EAC； （）求证：平面PAD平面ABCD； （）求二面角BACE的余弦值 17（本小题满分13 分） 生产 A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等 于82为正品，小于82为次品现随机抽取这两种元件各100件进行检 测，
6、检测结果统计如下： 测试指标 70,76)76,82)82,88)88,94)94,100 元件 A 81240328 元件 B 71840296 （）试分别估计元件A，元件 B为正品的概率； （）生产一件元件A，若是正品可盈利40 元，若是次品则亏损5 元；生产一件元件B，若是正品可盈利50 元，若是次品则亏 损 10 元 . 在（）的前提下， （）记X为生产 1 件元件 A和 1 件元件 B所得的总利润，求 随机变量X的分布列和数学期望； （）求生产 5 件元件 B所获得的利润不少于140 元的概率 18（本小题满分13 分） 已知函数 2 ( ) x f x xb ，其中bR （）求)(
7、xf的单调区间； （）设0b若 1 3 , 4 4 x，使( )1f x，求b的取值范围 19（本小题满分14 分） 如图，已知抛物线 2 4yx的焦点为F过点(2,0)P的直线交抛物线 于 11 (,)A xy， 22 (,)B xy两点， 直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N （）求 12 y y的值； （）记直线MN的斜率为 1 k，直线AB的斜率为 2 k. 证 明： 1 2 k k 为定值 20（本小题满分13 分） 如 图 ， 设A是 由n n个 实 数 组 成的n行n列 的 数 表 ，其 中 ij a ( ,1,2,3, , )i jn表示位于第i行第j列的实数，且1, 1 i
8、j a. 记( ,)S n n 为所有这样的数表构成的集合 对于( ,)AS n n， 记() i rA为A的第i行各数之积，( ) j cA为A的第j列 各数之积令 11 ()()() nn ij ij l ArAcA （）请写出一个 (4, 4)AS，使得()0l A； （）是否存在(9, 9)AS，使得( )0l A？说明 理由； （）给定正整数n，对于所有的( ,)AS n n，求( )l A的取值集合 北京市西城区 2018 2018 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1D； 2B； 3
9、A； 4C； 5C； 6B； 7 C； 8B 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 91； 10 16 5 ， 12 5 ； 116； 12 2； 13 1 ,1 2 ，, 6 2 ； 14 注：10、13 题第一问 2 分，第二问 3 分;14 题结论完全正确才给分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同， 正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13 分） （）解法一：因为 3sin 21cos2BB， 所以 2 2 3 sincos2sinBBB 3 分 因为0B， 所以sin0B， 从而 tan3B， 5 分 所以 3 B
10、 6 分 解法二：依题意得 3sin 2cos21BB， 所以2sin(2)1 6 B， 即 1 sin(2) 62 B 3 分 因为0B， 所以 13 2 666 B， 所以 5 2 66 B 5 分 所以 3 B 6 分 （）解法一：因为 4 A， 3 B， 根据正弦定理得 sinsin ACBC BA ， 7 分 所以 sin 6 sin BCB AC A 8 分 因为 5 12 CAB， 9 分 所以 562 sinsinsin() 12464 C， 11 分 所以ABC的面积 133 sin 22 SAC BCC 13 分 解法二：因为 4 A， 3 B， 根据正弦定理得 sinsi
11、n ACBC BA ， 7 分 所以 sin 6 sin BCB AC A 8 分 根据余弦定理得 222 2cosACABBCAB BCB， 9 分 化简为 2 220ABAB，解得 13AB 11 分 所以ABC的面积 133 sin 22 SAB BCB 13 分 16（本小题满分14 分） y z O E P C BA D x （）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO 因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点 因为E为棱PD中点 所以EOPB/ 3 分 因为PB平面EAC，EO平面EAC， 所以直线PB/ 平面EAC 4 分 （）证明：因为PA平面PDC，所以 CDPA 5 分
12、 因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD， 所以CD平面 PAD 7 分 所以平面PAD平面 ABCD 8 分 （）解法一：在平面PAD内过D作直线DzAD 因为平面PAD平面ABCD，所以Dz平面ABCD 由 ,Dz DA DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzD 9 分 设4AB，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)DABCPE 所以) 1,0 ,3(EA，)0,4 ,4(AC 设平面EAC的法向量为= ()x,y,zn，则有 0, 0. EA AC n n 所以 044 ,03 yx zx 取1x，得 y z N
13、M O E P C BA D x (1,1,3)n 11 分 易知平面ABCD的法向量为 (0,0,1)v 12 分 所以 |3 11 |cos,| |11 n v n v n v 13 分 由图可知二面角BACE的平面角是钝角， 所以二面角BACE的余弦值为 11 113 14 分 解法二：取AD中点M，BC中点N，连结PM，MN 因为ABCD为正方形，所以CDMN / 由（）可得MN平面PAD 因为PDPA，所以PMAD 由,MP MA MN两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系 xyzM 9 分 设4AB， 则(2,0,0),(2,4,0),( 2,4,0),( 2,0,0),(0,0
14、,2),( 1,0,1)ABCDPE 所以) 1,0 ,3(EA，)0,4 ,4(AC 设平面EAC的法向量为= ()x,y,zn，则有 0, 0. EA AC n n 所以 044 ,03 yx zx 取1x，得 n)3, 1 , 1( 11 分 易知平面ABCD的法向量为 v)1 ,0,0( 12 分 所以 |3 11 |cos,| |11 n v n v n v 13 分 由图可知二面角BACE的平面角是钝角， 所以二面角BACE的余弦值为 11 113 14 分 17（本小题满分13 分） （）解：元件A为正品的概率约为 403284 1005 1 分 元件B为正品的概率约为 4029
15、63 1004 2 分 （ ） 解 ： （ ） 随 机 变 量X的 所 有 取 值 为 90,45,30,15 3 分 433 (90) 545 P X； 133 (45) 5420 P X； 411 (30) 545 P X； 111 (15) 5420 P X 7 分 所以，随机变量X的分布列为 : X90453015 P 3 5 3 20 1 5 1 20 8 分 3311 904530( 15)66 520520 EX 9 分 （）设生产的5 件元件 B中正品有 n件，则次品有5n件. 依题意，得5010(5)140nn，解得 19 6 n 所以4n，或 5n 11 分 设“生产 5
16、件元件 B所获得的利润不少于140 元”为事件A， 则 445 5 31381 ()C ( )() 444128 P A 13 分 18. （本小题满分 13 分） （）解：当0b时， 1 ( )f x x 故 ( )f x的 单 调 减 区 间 为(,0)，(0,)； 无 单 调 增 区 间 1 分 当0b时， 2 22 ( ) () bx fx xb 3 分 令( )0fx，得 1 xb， 2 xb ( )f x和( )fx的情况如下： x (,)b b (,)bb b (,)b ( )fx 00 ( )f x 故( )f x的单调减区间为(,)b，(,)b；单调增区间为 (,)bb 5
17、分 当0b时，( )f x的定义域为|DxxbR 因为 2 22 ( )0 () bx fx xb 在D上恒成立， 故 ( )f x的单调减区间为(,)b，(,)bb，(,)b；无 单调增区间 7 分 （）解：因为0b， 1 3 , 4 4 x， 所以 ( )1f x等价于 2 bxx，其中 1 3 , 4 4 x 9 分 设 2 ( )g xxx，( )g x在 区 间 1 3 , 4 4 上 的 最 大 值 为 11 ( ) 24 g 11 分 则“ 1 3 , 4 4 x，使得 2 bxx”等价于 1 4 b 所以，b的取值范围是 1 (0, 4 13 分 19（本小题满分14 分） （
18、）解：依题意，设直线AB的方程为 2xmy 1 分 将其代入 2 4yx，消去x，整理得 2 480ymy 4 分 从而 12 8y y 5 分 （）证明：设 33 (,)M xy， 44 (,)N xy 则 22 12 343411212 22 23412312344 44 44 yy yyyykxxyy kxxyyyyyyyy 7 分 设直线AM的方程为 1xny，将其代入 2 4yx， 消去x， 整理得 2 440yny 9 分 所以 13 4y y 10 分 同理可得 24 4y y 11 分 故 1121212 234 12 44 4 kyyyyy y kyy yy 13 分 由（）
19、得 1 2 2 k k ，为定 值 14 分 20（本小题满分13 分） （）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 1111 1111 1111 1111 3 分 （）解：不存在(9, 9)AS，使得 ( )0lA 4 分 证明如下： 假设存在(9, 9)AS，使得( )0l A 因为 ( )1, 1 i rA，()1, 1 j cA(19,19)ij， 所以 1( ) rA， 2( )rA， 9( )rA， 1( ) cA， 2( )cA， 9( )cA这18个 数中有9个1，9个1 令 129129 ( )()()( )()( )MrArArAc AcAcA 一 方 面 ， 由 于 这18
20、个 数 中 有9个1，9个1， 从 而 9 ( 1)1M 另一方面， 129 ( )()()rArArA表示数表中所有元素之积 （记这81 个 实 数 之 积 为m） ； 129 ()()()c AcAcA也 表 示m，从 而 2 1Mm 、 相 矛 盾 ， 从 而 不 存 在(9, 9)AS， 使 得 ( )0lA 8 分 （）解：记这 2 n个实数之积为p 一方面，从“行”的角度看，有 12 ()()() n prArArA； 另一方面，从“列”的角度看，有 12 ()( )() n pcAcAcA 从而有 1212 ()()()( )()() nn rArArAc AcAcA 10 分
21、注意到()1, 1 i rA，()1, 1 j cA(1,1)injn 下面考虑 1( )rA， 2( )rA，( ) n rA， 1( )cA， 2( )cA，( ) n cA中1 的个数： 由知，上述2n个实数中，1的个数一定为偶数，该偶数记 为2(0)kkn；则1的个数为22nk， 所以 ()( 1)21 (22 )2(2 )lAknknk 12 分 对数表 0 A：1 ij a( ,1,2,3, )i jn，显然 0 ()2lAn 将数表 0 A中的 11 a由1变为1，得到数表 1 A，显然 1 ()24l An 将数表 1 A中的 22 a由1变为1，得到数表 2 A，显然 2 (
22、)28l An 依此类推，将数表 1k A中的 kk a由1变为1，得到数表 k A 即数表 k A满足： 1122 1(1) kk aaakn，其余1 ij a 所以 12 ( )()()1 k rArArA， 12 ()( )()1 k cAcAcA 所以 ()2(1)()24 k l Aknknk 由k的任意性知，( )l A的取值集合为 2(2 ) |0,1,2, nkkn 13 分 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有