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1、2018 年上海市长宁区中考数学二模试卷 一、选择题 1在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（） A BCD 2如果一次函数y=kx+b 的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么（） Ak0， b0 Bk0，b0 Ck0，b 0 Dk0，b0 3如果关于x 的方程 mx 2+mx+1=0 有两个相等的实数根，那么 m 等于（） A4 或 0 B C 4 D 4 4一组数据1、 2、3、4、5、15 的平均数和中位数分别是（ ） A5、5 B5、4 C5、3.5 D5、3 5在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A等边三角形B等腰梯形 C平行四边形D圆 6下列命题中
2、，真命题是（） A两个无理数相加的和一定是无理数 B三角形的三条中线一定交于一点 C菱形的对角线一定相等 D同圆中相等的弦所对的弧一定相等 二、填空题 73 2= 8因式分解： x29y2= 9方程的根是 10函数 y=的定义域是 11把直线y= x+2 向上平移 3个单位，得到的直线表达式是 12如果抛物线y=ax 2+2a2x1 的对称轴是直线 x=1，那么实数a= 13某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众 数是 14在 ?ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，设，如果用向量、表示向量， 那么= 15如图， OA 是 O 的半径， BC
3、是 O 的弦， OA BC，垂足为D 点，如果 OD=3 ，DA=2 ，那么 BC= 16如图，在2 2 的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A 和 B，在余下的格 点中任取一点C，使 ABC 为直角三角形的概率是 17已知 AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC 的度数是 度 18如图， 在ABC 中，AB=AC=5 ，BC=8 ，将 ABC 绕着点 B 旋转的 A BC ，点 A 的对应点A ， 点 C 的对应点C 如果点 A 在 BC 边上，那么点C 和点 C 之间的距离等于多少 三、解答题 19（ sin45 ） 2+（ ） 0 ?+co
4、t30 20解方程组： 21在平面直角坐标系xOy 中，点 A（2，0），点 P（1，m）（ m0）和点 Q 关于 x 轴对称 （1）求证：直线OP直线 AQ ； （2）过点 P作PB x轴，与直线AQ 交于点 B，如果APBO，求点P的坐标 22如图，在RtABC 中， C=90 ，斜边 AB 的垂直平分线分别交AB、BC 于点 E 和点 D，已知 BD ：CD=2 ： （1）求 ADC 的度数； （2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15 的值（结果保留根号） 23如图， BD 是ABC 的角平分线，点E、F 分别在边BC、AB 上，且 DEAB， DEF= A （1）求证： BE
5、=AF ； （2）设 BD 与 EF 交于点 M，联结 AE 交 BD 于点 N，求证： BN ?MD=BD ?ND 24 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴相交于点 A 和点 B， 已知点 A 的坐标为（ 1， 0），与 y 轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）如果点D 在此抛物线上，DF x 轴于点 F，DF 与直线 PB 相交于点E，设点 D 的横坐标为t （t3），且 DE：EF=2：1，求点 D 的坐标； （3）在第（ 2）小题的条件下，求证：DPE=BDE 25如图，已知在RtABC
6、中， ACB=90 ， AB=5 ， sinA= ，点 P 是边 BC 上的一点， PEAB ， 垂足为 E，以点 P为圆心， PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q，线段 CQ 与边 AB 交于点 D （1）求 AD 的长； （2）设 CP=x，PCQ 的面积为y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）过点 C 作 CFAB，垂足为F，联结 PF、QF，如果 PQF 是以 PF 为腰的等腰三角形，求CP 的长 2018 年上海市长宁区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（） A B C D 【考点】 同类二次根式 【分析
7、】 直接利用同类二次根式的定义分析得出答案 【解答】 解： A、，无法化简，故与不是同类二次根式； B、=2，故与不是同类二次根式； C、=2，故与，是同类二次根式； D、=2，故与不是同类二次根式； 故选： C 【点评】 此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键 2如果一次函数y=kx+b 的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么（） Ak0， b0 Bk0，b0 Ck0，b 0 Dk0，b0 【考点】 一次函数图象与系数的关系 【分析】 因为一次函数ykxb 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，即函数y=kx+b 的图 象经过第一、三、四象限，即可确定k，
8、b 的符号 【解答】 解：由题意得，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，k0，b0 故选 B 【点评】 一次函数y=kx+b 的图象有四种情况： 当 k0， b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大而增大； 当 k0， b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而增大； 当 k0， b0 时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限， y 的值随 x 的值增大而减小； 当 k0， b0 时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小 3如果关于x 的方程 mx 2+mx+1
9、=0 有两个相等的实数根，那么 m 等于（） A4 或 0 BC 4 D 4 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式 =b24ac=0，建立关于m 的方程，求出m 的 取值，同时还要考虑二次项的系数不能为0 【解答】 解：关于 x的方程mx 2+mx+1=0 有两个相等的实数根， =b 24ac=0，即 m24 m 1=0， 解得： m=0 或 m=4， 又二次项的系数不能为 0， m=4， 故选： C 【点评】 本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关 系： 0? 方程有两个不相等的实数根； =0? 方程
10、有两个相等的实数根； 0? 方程 没有实数根且注意一元二次方程的二次项系数不为0 4一组数据1、 2、3、4、5、15 的平均数和中位数分别是（ ） A5、5 B5、4 C5、3.5 D5、3 【考点】 中位数；算术平均数 【分析】 根据平均数和中位数的定义结合选项选出正确答案即可 【解答】 解：这组数据按从小到大的顺序排列为：1、2、3、4、5、15， 故平均数为：（1+2+3+4+5+15 ） 6=5； 中位数为：（ 3+4） 2=3.5 故选： C 【点评】 本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念 5在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
11、 A等边三角形B等腰梯形 C平行四边形 D圆 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【专题】 常规题型 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 故选 D 【点评】 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴 对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 6下列命题中，真命题是
12、（） A两个无理数相加的和一定是无理数 B三角形的三条中线一定交于一点 C菱形的对角线一定相等 D同圆中相等的弦所对的弧一定相等 【考点】 命题与定理 【分析】 根据菱形的性质、无理数的性质、三角形中线的性质以及同圆中相等的弦所对的弧不一定 相等即可判断 【解答】 解： A、错误例如1+与 1都是无理数，它们的和是有理数 B、正确 C、错误菱形的对角线不一定相等 D、错误应该是同圆中相等的弦所对的劣弧或优弧相等 故选 B 【点评】 本题考查命题与定理、无理数的性质、三角形中线的性质、菱形的性质、圆的有关知识， 解题的关键是正确理解概念，记住这些基本性质，属于中考常考题型 二、填空题 73 2=
13、 【考点】 负整数指数幂 【专题】 计算题 【分析】 根据幂的负整数指数运算法则计算 【解答】 解：原式 = 故答案为： 【点评】 本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的 进行计算 8因式分解：x29y2= （x+3y）（x3y） 【考点】 因式分解 -运用公式法 【分析】 直接利用平方差公式分解即可 【解答】 解： x 29y2=（x+3y）（ x3y） 【点评】 本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键 9方程的根是x=1 【考点】 无理方程 【分析】 把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x 的值，然后进行检验
14、即 可 【解答】 解：两边平方得：2x=x2， 整理得： x2+x2=0， 解得： x=1 或 2 经检验： x=1 是方程的解，x=2 不是方程的解 故答案是： x=1 【点评】 在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法 10函数 y=的定义域是x 2 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据分母不等于0 列式计算即可得解 【解答】 解：由题意得，2 x 0， 解得 x 2 故答案为： x 2 【点评】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）
15、当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 11把直线y= x+2 向上平移 3个单位，得到的直线表达式是y=x+5 【考点】 一次函数图象与几何变换 【分析】 利用上下平移时k 的值不变，只有b 发生变化，由上加下减得出即可 【解答】 解：直线 y=x+2 向上平移2 个单位长度得到了新直线，那么新直线解析式为y=x+2+3= x+5 故答案为： y=x+5 【点评】 本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记直线解析式平移的规律：“ 上加下减， 左加右减 ” 是解题的关键 12如果抛物线y=ax 2+2a2x1 的对称轴是直线 x=1，那么实数a=1 【考点】 二次函数的性质 【分析】 直接利用二
16、次函数对称轴公式求出a 的值 【解答】 解：抛物线y=ax 2+2a2x 1 的对称轴是直线 x=1， 1= 解得： a=1 故答案为： 1 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键 13某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众 数是14 【考点】 众数；条形统计图 【分析】 根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数 【解答】 解：观察条形统计图知：为14 岁的最多，有8 人， 故众数为14 岁， 故答案为： 14 【点评】 考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的
17、定义，难度较小 14在 ?ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，设， ，如果用向量、表示向量， 那么=+ 【考点】 *平面向量 【分析】 首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD 是平行四边形，求得，继而求得答案 【解答】 解：如图，四边形ABCD 是平行四边形， =， AO=AC， ， =+= +， =（+ ）= + 故答案为：+ 【点评】 此题考查了平面向量的知以及平行四边形的性质注意掌握三角形法则与平行四边形法则 的应用是解此题的关键 15如图， OA 是 O 的半径， BC 是 O 的弦， OA BC，垂足为D 点，如果 OD=3 ，DA=2 ，那么 BC=8 【考点】 垂径定
18、理；勾股定理 【分析】 连接 OB，求出 OB，根据垂径定理求出BC=2BD ，根据勾股定理求出BD 即可 【解答】 解：如图， 连接 OB， OABC，OA 过 O， BC=2BD ， ODB=90 ， OD=3，DA=2 ， OA=2+3=5 ， OB=OA=5 ， 在 RtODB 中，由勾股定理得：BD=4， BC=2BD=8 ， 故答案为： 8 【点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理得出BC=2BD 是解此题的关键 16如图，在2 2 的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A 和 B，在余下的格 点中任取一点C，使 ABC 为直角三角形的概率是 【考
19、点】 概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理 【专题】 网格型 【分析】 由取定点A 和 B，在余下的7 个点中任取一点C，使 ABC 为直角三角形的有4 种情况， 直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解：取定点A 和 B，在余下的7 个点中任取一点C，使 ABC 为直角三角形的有4 种情 况， 使 ABC 为直角三角形的概率是： 故答案为： 【点评】 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 17已知 AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC 的度数是15 或 105度 【考点】 正多边形和圆 【分析】有两种情形： 如图 1
20、中， BAC= CAO BAO ， 如图 2 中， BAC= BAE+ EAC ， 分别计算即可 【解答】 解：如图1 中， BAC= CAO BAO=60 45 =15 ， 如图 2 中， BAC= BAE+ EAC=90 +15 =105 ， 故答案为15 或 105 【点评】 本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，不能 漏解，属于中考常考题型 18如图， 在ABC 中，AB=AC=5 ，BC=8 ，将 ABC 绕着点 B 旋转的 A BC ，点 A 的对应点A ， 点 C 的对应点C 如果点 A 在 BC 边上，那么点C 和点 C 之间的距离等于多少
21、【考点】 旋转的性质 【专题】 计算题 【分析】 作 AD BC 于 D，CEBC 于 E，如图 1，先利用等腰三角形的性质得到 BD=CD=BC=4 ， 再利用勾股定理计算出AD=4 ，接着利用旋转的性质得A B=A C=AB=5 ，ABC ABC ，则利用 面积法可求出CE，然后在RtA C E 中利用勾股定理计算C E，于是可在Rt C CE 中利用勾股定 理计算出CC 【解答】 解：作 AD BC 于 D，C EBC 于 E，如图 1， AB=AC ， BD=CD=BC=4， 在 RtABD 中， AD= =4， SABC= 3 8=12， ABC 绕着点 B 旋转的 A BC ， A
22、B=A C =AB=5 ， A BC ABC ， AC=3， SA BC=12， 而 S A BC =?5?CE， ?5?CE=12，解得 CE=， 在 RtACE 中， CE=， CE=3=， 在 RtCCE 中， CC = 故答案为 【点评】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等解决本题的关键是关键RtCC E，利用勾股定理计算CC 的长 三、解答题 19（ sin45 ） 2+（ ） 0 ?+cot30 【考点】 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 依据特殊角的三角函数值、
23、零指数幂、分数值数幂、负整数指数幂化简各式，再根据分式 的性质、分母有理化进一步化简可得 【解答】 解：原式 =+1+ =+12+ =+ =3+ = 【点评】 本题主要考查分式的混合运算能力，掌握混合运算的运算顺序是根本、前提，准确计算特 殊角的三角函数值、零指数幂、分数值数幂、负整数指数幂是解题的关键 20解方程组： 【考点】 高次方程 【分析】 用代入法求解，将方程 变为 x=2y+3 ，代入到 中解方程可得 【解答】 解：解方程 由方程 ，得： x=3+2y ， 把 代入 ，得：（ 3+2y） 2+（3+2y） y2y2=0， 整理，得： 4y2+15y+9=0 解得：，y2=3 把代入
24、 得：， 把 y2=3 代入 ，得： x2=3 故原方程组的解是：， 【点评】 本题主要考查解高次方程的能力，用代入法把二元二次方程组转成一元二次方程来解是关 键 21在平面直角坐标系xOy 中，点 A（2，0），点 P（1，m）（ m0）和点 Q 关于 x 轴对称 （1）求证：直线OP直线 AQ ； （2）过点 P作 PB x 轴，与直线AQ 交于点 B，如果 APBO，求点 P的坐标 【考点】 菱形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式 【分析】 （1）设直线 OP 和 AQ 的解析式分别为y=k1x 和 y=k2x+b2由题意得出点Q 的坐标为（ 1， m）， k1=m， ，解方程组得
25、出，得出 k1=k2=m 即可， （2）证明四边形POAQ 是菱形，得出PO=AO，由勾股定理得出，得出，即可点 P 的坐标 【解答】 （1）证明：设直线 OP和直线AQ 的解析式分别为 y=k1x 和 y=k2x+b2 根据题意，得：点Q 的坐标为（ 1， m）， k1=m， ， 解得：， k1=k2=m， 直线 OP直线 AQ ； （2）解： OPAQ ，PBOA ，APBO， 四边形POAQ 是菱形， PO=AO ， ， m0， ， 点 P 的坐标是 【点评】 本题考查了菱形的判定与性质、一次函数的解析式、勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌 握菱形的判定与性质，由勾股定理求出m 是解决问题
26、（ 2）的关键 22如图，在RtABC 中， C=90 ，斜边 AB 的垂直平分线分别交AB、BC 于点 E 和点 D，已知 BD ：CD=2 ： （1）求 ADC 的度数； （2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15 的值（结果保留根号） 【考点】 解直角三角形；线段垂直平分线的性质 【专题】 计算题 【分析】 （1）连接 AD，设BD=2k，则CD=k，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2k ，然后 只需在 RtACD 中运用三角函数就可解决问题； （2）当 ACD=30 时，易得 B=15 ，要求 tan15 的值，只需求，只需用k 的代数式分别表示出 AC 和 BC 就可解决
27、问题 【解答】 解：（ 1）连接 AD ，如图 设 BD=2k ，则 CD= k DE 垂直平分 AB ， AD=BD=2k 在 RtACD 中， C=90 ， cosADC=， ADC=30 ； （2） AD=BD ， B= DAB ADC=30 ， B+ DAB= ADC ， B= DAB=15 在 RtACD 中， C=90 ， 在 RtABC 中 C=90 ， ， 【点评】 本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条件 和第（1）小题的结论是解决第（ 2）小题的关键 23如图， BD 是ABC 的角平分线，点E、F 分别在边BC、AB 上，且 DEAB
28、， DEF= A （1）求证： BE=AF ； （2）设 BD 与 EF 交于点 M，联结 AE 交 BD 于点 N，求证： BN ?MD=BD ?ND 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】（ 1）先证明四边形ADEF 为平行四边形得到AF=DE ，再证明 DBE= BDE 得到 BE=DE ， 则 BE=AF ； （2）如图， 根据平行线分线段成比例定理，由 EFAC 得到 AF：AB=DM ：BD ，等线段代换得DE： AB=DM ：BD ，再由 DEAB 得到 DE： AB=DN ： BN，则 DM ：BD=DN ：BN，然后利用比例的性
29、质即可得到结论 【解答】 证明：（ 1） DEAB ， A+ ADE=180 ， DEF= A， DEF+ ADE=180 ， EFAD， 四边形ADEF 为平行四边形， AF=DE ， BD 是 ABC 的角平分线， DBE= ABD ， DEAB ， ABD= BDE ， DBE= BDE ， BE=DE ， BE=AF ； （2）如图， EFAC ， AF：AB=DM ：BD ， AF=DE ， DE：AB=DM ：BD ， DEAB ， DE：AB=DN ：BN ， DM ：BD=DN ：BN ， 即 BN?MD=BD ?ND 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似
30、对应角相等，对应边的比相等在 判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图 形的作用解决本题的关键是灵活应用平行线分线段成比例定理 24 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴相交于点 A 和点 B， 已知点 A 的坐标为（ 1， 0），与 y 轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为P （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）如果点D 在此抛物线上，DF x 轴于点 F，DF 与直线 PB 相交于点E，设点 D 的横坐标为t （t3），且 DE：EF=2：1，求点 D 的坐标； （3）在第（ 2）小题的条
31、件下，求证：DPE=BDE 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （1）将 A（1，0）、 C（0，3）代入抛物线的解析式可求得关于b、c 的方程组，解得b、 c 的值可求得抛物线的解析式，最后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标； （2）过点 P作 PG AB，垂足为G先求得点B 的坐标，由点B 和点 P的坐标可知 PBG 为等腰 直角三角形， 从而可证明 BEF 为等腰直角三角形，设点 D 的坐标为 （t，t24t+3），然后求得EF， DF 的长（用含t 的式子表示），最后根据 PF 与 EF 的数量关系列出关于t 的一元二次方程，从而可 求得 t 的值； （3）先求得DE，BE，PE 的长，
32、接下来再证明DE 2=BE?PE，从而可得到 EBD EDP，最后依据 相似三角形的性质可求得DPE=BDE 【解答】 解：（ 1）将 A（1，0）、 C（0，3）代入得：， 解得： b=4，c=3 抛物线的解析式为y=x 24x+3 y=x 2 4x+3=（x2）21， 点 P 的坐标为（ 2， 1） （2）过点 P作 PG AB，垂足为 G 令 y=0得：x 2 4x+3=0，解得x1=1，x2=3， B（3，0） 又 P（2， 1）， PG=BG=1 GBP=45 EBF=45 又 EFB=90 ， EBF= FEB=45 BF=EF 设 D（ t，t24t+3），则 DF=t 24t+
33、3，则 BF=T3 DE：EF=2：1， DF=3EF=3 （t3） t24t+3=3（t3） 解得： t1=4，t2=3（舍去） D（4，3） （3） t=4， EF=BF=4 3=1 点 E 的坐标为（ 4，1） BE= =，ED=DF EF=31=2，PE=2 DE2=22=4，BE?PE= =4 DE2=BE?PE 又 DEB= PED， EBD EDP DPE=BDE 【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要利用了待定系数法求二次函数的解 析式、等腰直角三角形的性质和判定、一元二次方程的解法、勾股定理以及相似三角形的性质和判 定，证得DE 2=BE?PE从而得到 E
34、BD EDP 是解题的关键 25如图，已知在RtABC 中， ACB=90 ， AB=5 ， sinA= ，点 P 是边 BC 上的一点， PEAB ， 垂足为 E，以点 P为圆心， PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q，线段 CQ 与边 AB 交于点 D （1）求 AD 的长； （2）设 CP=x，PCQ 的面积为y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）过点 C 作 CFAB，垂足为F，联结 PF、QF，如果 PQF 是以 PF 为腰的等腰三角形，求CP 的长 【考点】 圆的综合题；勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】 综合题；分类讨论 【分析】 （1）易证 AD=AC
35、 ，只需运用三角函数和勾股定理求出AC 即可； （2）过点 Q 作 QHBC 于 H，如图 1，只需用x 的代数式表示QH 就可解决问题； （3）由于 PQF 是以 PF为腰的等腰三角形，故需分PF=PQ 和 PF=FQ 两种情况讨论，只需将等腰 三角形的性质和三角函数相结合，就可解决问题 【解答】 解：（ 1）在 Rt ABC 中， ACB=90 ，AB=5 ，sinA=， BC=AB ?sinA=5 =4， AC=3 PC=PQ， PCQ=PQC PEAB 即 QED=90 ， EQD+ EDQ=90 ACD+ PCQ=90 ， EDQ= ACD CDA= EDQ， ACD= CDA ，
36、AD=AC=3 ； （2）过点 Q 作 QHBC 于 H，如图 1， PBE+BPE=90 ， PBE+A=90 ， BPE=A， sinHPQ=sinA=， sinHPQ= PQ=PC=x ， QH= x， SPCQ= PC?QH= x? x=x 2（ x4）； （3） 当 PF=PQ 时，则有PF=PQ=x=PC 过点 P 作 PGCF 于 G，如图 2， 则 CG= CF CFAB， SABC= AC ?BC=AB ?CF， CF=， CG= PCG=90 FCA= A， cosPCG=cos A=， cosPCG=， x=PC=CG= =2； 当 PF=FQ 时， FEPQ， PE=
37、PQ= x， cosBPE= ， x= 综上所述：当 PQF 是以 PF 为腰的等腰三角形，CP 的长为 2 或 【点评】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、同角或等角的余角相等、勾股定理 等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有