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1、代数式专题集结号 号式：整式 知识点归纳： 一 有关定义： 1 单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的 系数； 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。特别地， 单独一个数或者一个字 母也是单项式。 温馨提示：是一个数，不能把它当成字母。 2 多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中 不含字母的项叫做常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。 温馨提示：像 3 yx 这样的代数式也是多项式； 多项式的项数指的是合并完同类项后的项数。 3 整式：单项式与多项式统称为整式。 4 升（降）幂排列：把一个多项
2、式按某一个字母的指数从小到大( 或从大到小 ) 的顺序排列 起来叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。 5 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项。 6 分解因式：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种恒等变形叫做分解因式。 二 整式的运算： 1 整式的加减： 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。合并法则： 把同类项中 的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 去括号法则：括号前面是“+”, 把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的各项都不 改变符号；括号前面是“”, 把括号和它前面的“”号去掉，括号里面的各项都改变 符号；即babab
3、aba)(,)( 添括号法则：所添括号前面是 “+” ，括到括号里面的各项都不改变符号；所添括号前面 是“”，括到括号里面的各项都改变符号；即)(),(babababa 2 整式的乘法： 幂的运算公式： nmnm aaa， mnnm aa )(， nnn baab)( 零指数幂和负指数幂运算公式：)0( 1 0 aa p p a a 1 单项式乘以单项式：将系数与同底数的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为 积的因式； 单项式乘以多项式：根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加。 特
4、殊的多项式乘以多项式用以下乘法公式： 平方差公式： 22 )()(bababa； 完全平方公式： 222 2)(bababa 3 整式的除法： 单项式除以单项式：将系数与同底数的幂分别相除；对于只在被除式中出现的字母连 同它的指数保留在商中。 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 同底数幂相除，底数不变，指数相减，；即 nmnm aaa（0a，nm,都是整数） 温馨提示： 整式的混合运算步骤是先乘方，后乘除，最后加减，如有括号，就先算括号里面的。 三分解因式的基本方法： 1 提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写
5、成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是这个多 项式除以公因式所得的商，即：)(cbammcmbma 温馨提示： 提公因式法的关键是确定公因式，而找公因式的方法，一看系数， 二看字母。 2 运用公式法： 平方差公式：)()( 22 bababa 完全平方公式： 222 )(2bababa 立方差公式：)()( 2233 babababa 立方和公式：)()( 2233 babababa 温馨提示：运用公式法首先观察项数，若是二项式，应考虑平方差或立方和差公式；若 是三项式，则考虑完全平方公式，然后再观察各项的次数、系数是否符合公式的特征。 3 分组分解法：)()()(nm
6、babanbamnbnambma 温馨提示：分组分解的目的是分组后能提公因式或运用公式法分解因式。 4 十字相乘法：)()( 2 bxaxabxbax 温馨提示：运用此方法的前提是把待分解的多项式整理成左边的二次三项式。 方法小结：分解因式的一般步骤：“一提二套三分组” 即先看有没有公因式，若有，立即提出；然后看看是几项式，若是二项式，看能否用平 方差或立方和（差）公式；若是三项式，看能否用完全平方公式或十字相乘法；若是四 项及以上的式子则考虑用分组分解法，要注意分解到不能再分解为止，还要注意题目要 求在什么范围内分解；如：) 3)(3(9 224 xxx（在有理数范围内分解） )3)(3)(
7、3()3)(3(9 2224 xxxxxx（在实数范围内分解） 一般没有作说明，都只分解到有理数范围内即可。 四 典题训练 1 下列式子中与 2 )( a计算结果相同的是（） A 12 )(a B 24 aa C 24 aa D 24 )( aa 2 填空：)()(baba_ )()( 22 bababa_ )()( 2223 babbaaba_ )()( 432234 babbabaaba_ 观察以上四个小题的规律，要使计算结果与上面的结果相类似，下面的括号内要填的多项 式是： 77 )()(baba 3 若 3 3 2 210 3 )2(xaxaaax，则 2 31 2 20 )()(aa
8、aa的值为 _ 4 对于正数x，规定 x x xf 1 )(例如 4 3 31 3 )3(f， 4 1 3 1 1 3 1 ) 3 1 (f，计算： _)2010()2009()2008( )3()2()1()1 () 2 1 () 3 1 () 2008 1 () 2009 1 () 2010 1 ( fff fffffffff 5 有 一 列 数 ： 第 一 个 数 为1 1 x， 第 二 个 数 为3 2 x， 从 第 三 个 数 开 始 依 次 记 为 k xxx, 43 ；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半。( 如 2 31 2 xx x) 求第三、第四、第五个数，并写出计
9、算过程；根据的结果，推测_ 8 x 探索这一列数的规律，猜想第k个数_ k x(k是大于 2 的整数 ) 6 下列各式的变形中，属于分解因式的是（） Aaababaa 2 )1(B)4(282 2232 nmnnnm C) 4 11 1( 4 1 2 22 xx xxx D)32)(32(94 22 bababa 7 在实数范围内分解因式： _2 2 aab 8 若25)(2 22 yxayxyx是完全平方式，则a的值为 _ 9 阅读下列材料，你能得到什么结论，并利用中的结论分解因式。 形如 mnxnmx)( 2 型的二次三项式，有以下特点：二次项系数是1；常数项 是两个数之积； 一次项系数是
10、常数项的两个因数之和，把这个二次三项式进行分解因式如 下： )()()( )()()( 222 mxnxmxnmxx mnnxmxxmnnxmxxmnxnmx 因此，可以得到_)( 2 mnxnmx，利用上面的结论，可以直接将某些二 次项系数为1 的二次三项式分解因式。 利用中的结论，分解因式： 187 2 aa；152 2 xx；107 22 xyyx 10 阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 322 )1()1 ()1()1(1)1() 1() 1(1xxxxxxxxxxxx 上述分解因式的方法是_，共应用了 _次。 若分解 20092 ) 1() 1() 1(1xxxxxxx，
11、则需应用上述方法_次，结果 是_。 分解因式： n xxxxxxx) 1() 1()1(1 2 （n是正整数） 五参考答案： 1D 2 22 ba 33 ba 44 ba 44 ba 55 ba 6542332456 babbabababaa 3)()()( 32103210 2 31 2 20 aaaaaaaaaaaa 令1x，则有 3210 3 ) 13(aaaa； 令1x，则有 3210 3 ) 13(aaaa 原式 =1)13)(13() 13() 13( 333 4 2018 利用关系式：1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ()( tt t t t t t t ftf简便运算 5
12、 依题意得：51322 123 xxx；73522 234 xxx 95722 345 xxx15 8 x12kxk 6 D 7 )2)(2(bba 810 9)(nxmx )2)(9(xx)3)(5(xx)2)(5(xyxy 10提公因式法两2018 2010 )1 (x 1 )1( n x 号式：分式 知识点归纳： 一有关定义： 1 分式： 一般地， 设BA,分别表示两个整式， B A BA，如果B中含有字母， 则式子 B A 叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。 温馨提示：只有B中含有字母， B A 才是分式；因为除数为0 没有意义，所以分式的 分母0B；即当0B时，分式 B A 无意
13、义，当0B时，分式 B A 才有意义；0 B A 的 条件是0A且0B。 2 最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。 3 有理式：整式和分式统称为有理式。 二分式的基本性质及其应用 1 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0 的整式，分式的 值不变；即 MB MA MB MA B A (0B,M为不等于0 的整式 ) 。 2 分式基本性质的应用： 分式约分： 将分子， 分母中的公因式约去叫做分式的约分。约分的方法和步骤: 当分子， 分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公约数的积；当分子，分 母是多项式时，应将多项式分解因式，约去公因式。 分
14、式通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫做分式的通分。通分的 方法和步骤： 当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、 相同字母的最高次幂和所有不同字母的积；如果各分母都是多项式，应先把各个分母按 某一字母降幂或升幂排列，再分解因式， 找出最简公分母；通分后的各分式的分母相同， 通分后的各分式分别与原来的分式相等。 温馨提示：分式的约分和通分都是依据分式的基本性质进行，但它们是两种截然不同的 变形。约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；约分是将一个分式化简，而 通分是将一个分式化繁。约分时， 分子与分母不是乘积形式不能约分。如 1 1y x yx 分式的变号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任意两个，分式的 值不变，即 b a b a b a 三分式的运算： 1 分式的加减： 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分 母的分式，再加减。即： c ba c b c a ， bd bcad bd bc bd ad d c b a 2 分式的乘除： 乘法法则：分式乘以分式，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分