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1、第 1 页（ 共 6 页） 中考数学专题复习 第四讲因式分解 【基础知识回顾】 一、因式分解的定义： 1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。 2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是 否为的形式。】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 【名师提醒： 1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取 系数的，相同字母的。2、提公因式时，若有一项被全部提 出，则括
2、号内该项为，不能漏掉。 3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是 一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。 】 2、运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 平方差公式：a2-b2= , 完全平方公式：a 2 2ab+b2= 。 【名师提醒： 1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与 b。如： x2-x+ 1 4 符合完全平方公式形式，而x2- x+ 1 2 就不符合该公式的形式。】 三、因式分解的一般步骤 1一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。 2二用：如果各项没有公因式，那么可以
3、尝试运用法来分解。 3 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【名师提醒： 分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两 步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】 考点一：因式分解的概念 例 1 （ 2015? 临 沂 ） 多 项 式 mx 2 -m 与 多 项 式 x 2 -2x+1的 公 因 式 是 （） Ax-1 Bx+1 Cx 2-1 D （x-1） 2 思 路 分 析 ：分 别 将 多 项 式 mx 2 -m 与 多 项 式 x 2 -2x+1进 行 因 式 分 解 ，再 寻 找 它 们 的 公 因
4、 式 解 ： mx 2 -m=m （ x-1 ） （ x+1 ） ， x 2-2x+1= （ x-1 ）2， 多 项 式 mx 2 -m 与 多 项 式 x 2 -2x+1的 公 因 式 是 （ x-1 ） 故 选 ： A 点 评 ：本 题 主 要 考 查 公 因 式 的 确 定 ，先 利 用 提 公 因 式 法 和 公 式 法 分 解 因 式 ，然 后 （） （） 第 2 页（ 共 6 页） 再 确 定 公 共 因 式 跟踪训练 1 （ 2015? 海 南 ） 下 列 式 子 从 左 到 右 变 形 是 因 式 分 解 的 是 （） Aa 2+4a-21=a（a+4） -21 Ba 2+4a
5、-21=（a-3） （a+7） C （a-3） （a+7）=a 2+4a-21 Da 2+4a-21=（a+2）2-25 考点二：因式分解 提公因式法和公式法 例 2 （ 2015? 济 南 ） 分 解 因 式 ： xy+x= 思 路 分 析 ： 直 接 提 取 公 因 式 x， 进 而 分 解 因 式 得 出 即 可 解 ： xy+x=x（ y+1 ） 故 答 案 为 ： x（ y+1 ） 点 评 ： 此 题 主 要 考 查 了 提 取 公 因 式 法 分 解 因 式 ， 正 确 找 出 公 因 式 是 解 题 关 键 例 3 （ 2015? 岳 阳 ） 分 解 因 式 ： x 2-9= 思
6、 路 分 析 ： 本 题 中 两 个 平 方 项 的 符 号 相 反 ， 直 接 运 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 解 ： x 2-9= （ x+3 ） （ x-3 ） 故 答 案 为 ： （ x+3 ） （ x-3 ） 点 评 ：主 要 考 查 平 方 差 公 式 分 解 因 式 ，熟 记 能 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 的 多 项 式 的 特 征 ， 即 “ 两 项 、 异 号 、 平 方 形 式 ” 是 避 免 错 用 平 方 差 公 式 的 有 效 方 法 例 4（ 2015? 菏 泽 ） 把 代 数 式 ax 2-4ax+4a 分 解 因 式 ， 下 列 结 果
7、 中 正 确 的 是 （） Aa（x-2） 2 Ba（x+2） 2 Ca（x-4） 2 Da（x+2） （x-2） 思 路 分 析 ： 先 提 取 公 因 式 a， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 分 解 即 可 解 ： ax 2 -4ax+4a =a（ x 2-4x+4 ） =a（ x-2 ） 2 故 选 ： A 点 评 ：本 题 先 提 取 公 因 式 ，再 利 用 完 全 平 方 公 式 分 解 ，分 解 因 式 时 一 定 要 分 解 彻 底 例 5 （ 2015? 潍 坊 ） 因 式 分 解 ： ax 2-7ax+6a= 思 路 分 析 ： 原 式 提 取 a， 再 利 用 十
8、字 相 乘 法 分 解 即 可 解 ： 原 式 =a（ x 2-7x+6 ） =a（ x-1 ） （ x-6 ） ， 故 答 案 为 ： a（ x-1 ） （ x-6 ） 点 评 ： 此 题 考 查 了 因 式 分 解 - 十 字 相 乘 法 ， 以 及 提 取 公 因 式 法 ， 熟 练 掌 握 因 式 分 解 的 方 法 是 解 本 题 的 关 键 跟踪训练 2 （ 2015? 龙 岩 ） 分 解 因 式 ： a 2+2a= 3 （ 2015? 新 疆 ） 分 解 因 式 ： a 2 -4b 2 = 4 （ 2015? 贺 州 ） 把 多 项 式 4x 2y-4xy2 -x 3 分 解 因
9、 式 的 结 果 是 （） A4xy（x-y ）-x 3 B-x（x-2y） 2 Cx（4xy-4y 2-x2） D-x（-4xy+4y 2+x2） 5 （ 2015? 菏 泽 ） 若 x 2 +x+m= （ x-3 ） （ x+n ） 对 x 恒 成 立 ， 则 n= 第 3 页（ 共 6 页） 考点三：因式分解的应用 例 6 （ 2015? 重 庆 ） 如 果 把 一 个 自 然 数 各 数 位 上 的 数 字 从 最 高 位 到 个 位 依 次 排 出 的 一 串 数 字 ，与 从 个 位 到 最 高 位 依 次 排 出 的 一 串 数 字 完 全 相 同 ，那 么 我 们 把 这 样
10、的 自 然 数 叫 做 “ 和 谐 数 ” 例 如 ：自 然 数 64746从 最 高 位 到 个 位 排 出 的 一 串 数 字 是 6， 4， 7， 4， 6， 从 个 位 到 最 高 位 排 出 的 一 串 数 字 也 是 ： 6， 4， 7， 4， 6， 所 以 64746 是 “ 和 谐 数 ” 再 如 ： 33， 181 ， 212 ， 4664 ， ， 都 是 “ 和 谐 数 ” （ 1） 请 你 直 接 写 出 3 个 四 位 “ 和 谐 数 ” ， 猜 想 任 意 一 个 四 位 数 “ 和 谐 数 ” 能 否 被 11 整 除 ， 并 说 明 理 由 ； （ 2）已 知 一
11、 个 能 被 11 整 除 的 三 位 “ 和 谐 数 ” ，设 个 位 上 的 数 字 为 x（ 1x4 ，x 为 自 然 数 ） ， 十 位 上 的 数 字 为 y， 求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 思 路 分 析 ： （ 1） 根 据 “ 和 谐 数 ” 写 出 四 个 四 位 数 的 “ 和 谐 数 ” ； 设 任 意 四 位 数 “ 和 谐 数” 形式为：abba（a 、b为自然数） ，则这个四位数为 a 10 3+b102+b10+a=1001a+110b ，利用整数的整除得到 1001110 9110 11 ab ab， 由 此 可 判 断 任 意 四 位 数 “ 和 谐
12、 数 ” 都 可 以 被 11 整 除 ； （ 2 ） 设 能 被11整 除 的 三 位 “和 谐 数 ”为 ： xyx ， 则 这 个 三 位 数 为 x?10 2+y?10+x=101x+10y ，由 于 101102 9xy 1111 xyxy ，根 据 整 数 的 整 除 性 得 到 2x-y=0 ， 于 是 可 得 y 与 x 的 关 系 式 解 ： （ 1） 四 位 “ 和 谐 数 ” ： 1221 ， 1331 ， 1111 ， 6666 ； 任 意 一 个 四 位 “ 和 谐 数 ” 都 能 被 11 整 数 ， 理 由 如 下 ： 设 任 意 四 位 数 “ 和 谐 数 ”
13、形 式 为 ： abba（ a、 b 为 自 然 数 ） ， 则 a 10 3 +b10 2 +b10+a=1001a+110b， 1001110 9110 11 ab ab， 四 位 数 “ 和 谐 数 ”abba能 被 11 整 数 ； 任 意 四 位 数 “ 和 谐 数 ” 都 可 以 被 11 整 除 ， （ 2） 设 能 被 11 整 除 的 三 位 “ 和 谐 数 ” 为 ： xyx ， 则 x?10 2 +y?10+x=101x+10y， 101102 9xy 1111 xyxy ， 1x4 ， 101x+10y能 被 11 整 除 ， 2x-y=0 ， y=2x （ 1x4 ）
14、 点 评 ：本 题 考 查 了 因 式 分 解 的 应 用 ：利 用 因 式 分 解 解 决 求 值 问 题 ；利 用 因 式 分 解 解 决 证 明 问 题 ； 利 用 因 式 分 解 简 化 计 算 问 题 灵 活 利 用 整 数 的 整 除 性 跟踪训练 6 （ 2015? 枣 庄 ）如 图 ，边 长 为 a， b 的 矩 形 的 周 长 为 14 ，面 积 为 10 ，则a 2 b+ab 2 的 值 为 （） 第 4 页（ 共 6 页） A140 B70 C35 D24 【备考真题过关】 一、选择题 1 （ 2015? 武 汉 ） 把 a 2 -2a 分 解 因 式 ， 正 确 的 是
15、 （） Aa（a-2）Ba（ a+2）Ca（a 2-2） Da（ 2-a） 2 （ 2015? 海 南 ） 下 列 式 子 从 左 到 右 变 形 是 因 式 分 解 的 是 （） Aa 2+4a-21=a（a+4） -21 Ba 2+4a-21=（a-3） （a+7） C （a-3） （a+7）=a 2+4a-21 Da 2+4a-21=（a+2）2-25 3 （ 2015? 贵 港 ） 下 列 因 式 分 解 错 误 的 是 （） A2a-2b=2（a-b）Bx 2-9=（x+3） （x-3） Ca 2+4a-4=（ a+2）2 D-x 2-x+2=- （x-1） （x+2） 4 （ 20
16、15? 宜 宾 ） 把 代 数 式 3x 3-12x2 +12x 分 解 因 式 ， 结 果 正 确 的 是 （） A3x（x 2-4x+4 ） B 3x（x-4） 2 C3x（ x+2） （x-2）D3x（x-2） 2 二、填空题 5 （ 2015? 盐 城 ） 因 式 分 解 ： a 2 -2a= 6 （ 2015? 赤 峰 ） 因 式 分 解 ： 3a 2 -6a= 7 （ 2015? 大 连 ） 若 a=49 ， b=109 ， 则 ab-9a 的 值 为 8 （ 2015? 温 州 ） 分 解 因 式 ： a 2 -2a+1= 9 （ 2015? 孝 感 ） 分 解 因 式 ： （
17、a-b ） 2 -4b 2 = 10 （ 2015? 巴 彦 淖 尔 ） 分 解 因 式 ： -2xy 2 +8x= 11 （ 2015? 东 营 ） 分 解 因 式 ： 4+12 （ x-y ） +9 （ x-y ） 2 = 12 （ 2015? 南 京 ） 分 解 因 式 （ a-b ） （ a-4b ） +ab 的 结 果 是 13 （ 2014? 南 充 ） 分 解 因 式 ： x 3 -6x 2+9x= 14 （ 2015? 酒 泉 ） 分 解 因 式 ： x 3 y-2x 2y+xy= 15 （ 2015? 甘 南 州 ） 已 知 a 2 -a-1=0 ， 则 a 3-a2 -a+2015= 16 （ 2015? 内 江 ） 已 知 实 数 a， b 满 足 ： 22 11 11ab ab ， 则2015 a b 17 （ 2015? 菏 泽 ） 若 x 2+x+m= （ x-3 ） （ x+n ） 对 x 恒 成 立 ， 则 n=