2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的相似三角形问题.pdf

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1、2018 年中考数学压轴题专题练习-因动点产生的相似三角形问题 例 1 2018 上海市宝山区嘉定区中考模拟第24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0 ）与直线yx2 都经过点A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C， 联结 AB、AC，求 ABC 的面积； （3）在（ 2）的条件下，设直线y x2 与 y 轴交于点D，在射线CB 上有一点E，如 果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标 图 1 例 2 2017 年武汉市中考第 24

2、题 如图 1，Rt ABC 中， ACB90 ，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动， 同时动点Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（ 0t2） ，连接 PQ （1）若 BPQ 与 ABC 相似，求t 的值； （2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值； （3）试证明： PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上 图 1 图 2 例 3 2017 年苏州市中考第29 题 如图 1，已知抛物线 2 11 (1) 444 b yxbx （b 是实数且b 2）与

3、x 轴的正半轴分别交 于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C （1）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ； （2） 请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB 的面积等于2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的 任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如 果不存在，请说明理由 图 1 例 4 2018 年黄冈市中考模拟第25

4、 题 如图 1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)()yxxm m (m 0)与 x 轴交于点B、 C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（ 1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得 BHEH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形 与BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 例 5 2017 年义乌市中考第24 题 如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，

5、0） 、A（2，0） 、B（6， 3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标； （2） 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、 CB 以相同的速度同时向上平移， 分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2 的梯形 O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积 为 S，A1、 B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S的代数式表示 x2 x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒1 个单位长度的 速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点 D 出发，以与点P 相同

6、的速度沿着线段DM 运动 P、 Q 两点同时出发，当点Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设P、Q 两点的运动时间 为 t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、 抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 例 6 2017 年临沂市中考第26 题 如图 1，抛物线经过点A(4，0)、B（1， 0)、 C（ 0， 2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作 PM x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在

7、，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点D，使得 DCA 的面积最大， 求出点 D 的坐标 , 图 1 因动点产生的相似三角形问题答案 例 1 2018 上海市宝山区嘉定区中考模拟第24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0 ）与直线yx2 都经过点A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C， 联结 AB、AC，求 ABC 的面积； （3）在（ 2）的条件下，设直线y x2 与 y 轴交于点D，在射线CB 上有一点E，如

8、果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定24” ，拖动点 E 在射线 CB 上运动，可以体验到， ACE 与ACD 相似，存在两种情况 思路点拨 1直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为45 2求 ABC 的面积，一般用割补法 3讨论 ACE 与 ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方 程 满分解答 （1） 将点 A(2, m)代入 yx2， 得 m4 所以点 A 的坐标为 (2, 4) 将点 A(2, 4)代入 k y x ，得 k8 （2）将点 B(n, 2)，代入 8 y

9、 x ，得 n4 所以点 B 的坐标为 (4, 2) 设直线 BC 为 yxb，代入点B(4, 2)，得 b 2 所以点 C 的坐标为 (0,2) 由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知 A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、 C 两点间的水平距离和竖直距离都是4 图 2 所以 AB2 2，BC42， ABC90 所以 SABC 1 2 BA BC 1 2242 2 8 （3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD2 2，AC2 10 由于 DAC ACD45 ， ACE ACD45 ，所以 DAC ACE 所以 ACE 与ACD 相似，

10、分两种情况： 如图 3，当 CEAD CAAC 时， CEAD22 此时 ACD CAE，相似比为1 如图 4，当 CEAC CAAD 时， 2 10 2 102 2 CE 解得 CE102此时 C、E 两点间的水 平距离和竖直距离都是10，所以 E(10, 8) 图 3 图 4 考点伸展 第（ 2）题我们在计算 ABC 的面积时，恰好ABC 是直角三角形 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法 如图 5，作 ABC 的外接矩形HCNM ，MN/y 轴 由 S矩形HCNM 24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得 SABC 8 图 5 例 2 2017 年武汉市中考第24 题 如

11、图 1，Rt ABC 中， ACB90 ，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动， 同时动点Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（ 0t2） ，连接 PQ （1）若 BPQ 与 ABC 相似，求t 的值； （2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值； （3）试证明： PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 武汉 24” ，拖动点P 运动，可以体验到，若BPQ 可以两次 成为直角三角形，与 ABC 相似当

12、AQCP 时， ACQ CDPPQ 的中点 H 在 ABC 的中位线 EF 上 思路点拨 1 BPQ 与ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程 2作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了BDCQ 3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H 的位置，一目了然 满分解答 （1）Rt ABC 中， AC6，BC8，所以 AB10 BPQ 与 ABC 相似，存在两种情况： 如果 BPBA BQBC ，那么 510 848 t t 解得 t1 如果 BPBC BQBA ，那么 58 8410 t t 解得 32 41 t 图 3 图 4 （2）作 PD

13、 BC，垂足为D 在 Rt BPD 中， BP5t，cosB 4 5 ，所以 BDBPcosB4t，PD3t 当 AQCP 时， ACQ CDP 所以 ACCD QCPD ，即 684 43 t tt 解得 7 8 t 图 5 图 6 （3）如图 4，过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线，垂足为F，交 AB 于 E 由于 H 是 PQ 的中点， HF /PD，所以 F 是 QD 的中点 又因为 BDCQ4t，所以 BFCF 因此 F 是 BC 的中点， E 是 AB 的中点 所以 PQ 的中点 H 在 ABC 的中位线EF 上 考点伸展 本题情景下，如果以PQ 为直径的 H 与 ABC 的边

14、相切，求t 的值 如图 7，当 H 与 AB 相切时， QPAB，就是 BPBC BQBA ， 32 41 t 如图 8，当 H 与 BC 相切时， PQBC，就是 BPBA BQBC ，t1 如图 9，当 H 与 AC 相切时，直径 2222 (3 )(88 )PQPDQDtt， 半径等于 FC 4所以 22 (3 )(88 )8tt 解得 128 73 t，或 t 0（如图 10，但是与已知0t2 矛盾） 图 7 图 8 图 9 图 10 例 3 2017 年苏州市中考第29 题 如图 1，已知抛物线 2 11 (1) 444 b yxbx （b 是实数且b 2）与 x 轴的正半轴分别交

15、于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C （1）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ； （2） 请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB 的面积等于2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说 明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的 任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如 果不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ，拖动点B

16、 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到， 点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻双击按钮“ 第（ 3） 题” ，拖动点B，可以体验到，存在OQA B 的时刻，也存在OQ A B 的时刻 思路点拨 1第（ 2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子 表示 3第（ 3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答 （1）B 的坐标为 (b, 0)，点 C 的坐标为 (0, 4 b

17、) （2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为D、E，那么 PDB PEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为 (x, x) 如图 3，联结 OP 所以 S四边形 PCOBSPCOSPBO 115 2428 b xb xbx 2b 解得 16 5 x 所以点P 的坐标为 ( 16 16 , 55 ) 图 2 图 3 （3）由 2111 (1)(1)() 4444 b yxbxxxb ，得 A(1, 0)，OA1 如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形OAQC，那么 OQC QOA 当 BAQA QAOA ，即 2 QABA OA时， BQA QOA 所以 2 ( )1 4

18、 b b 解得84 3b所以符合题意的点Q 为 (1,23 ) 如图 5，以 OC 为直径的圆与直线x1 交于点 Q，那么 OQC90 。 因此 OCQ QOA 当 BAQA QAOA 时， BQA QOA此时 OQB90 所以 C、Q、B 三点共线因此 BOQA COOA ，即 1 4 bQA b 解得4QA此时 Q(1,4) 图 4 图 5 考点伸展 第（ 3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与 QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据 QOA 与 QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比 例确定点 B 的位置 如图中，圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB4OC 矛盾