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1、中考数学压轴题专题解析-二次函数中三角形面积问题 例 1. 如图，抛物线y 1 4x 2x3 与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC.点 P为第一象 限的抛物线上的一个动点，设P点的横坐标为m. (1) 请问当 m为何值时， PCB的面积最大，求出最大面积 (2) 过点 P作 PM BC于 M ，求 PM的最大值 (3) 过点 P作 PQ y轴，交 BC于点 Q，若 CPQ为等腰三角形，求m的值 1如图，直线l ：y 3x 3 与 x 轴、 y 轴分别相交于A、B两点，抛物线yax 22axa4(a0) 经过点 B. (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) 已知点 M是
2、抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM 、BM.设点 M的横坐标为m ， ABM的面积为S.求 S关于 m的函数表达式，并求出S的最大值 2如图，抛物线顶点为点C(1，4) ，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B. (1) 求抛物线、直线AB的解析式和 CAB 的铅垂高CD及 SCAB； (2) 点 P是抛物线上的一个动点，连接PA ，PB ，若 SPAB 7 8S CAB，求出 P点的坐标 3如图，在平面直角坐标系中，直线y 1 2 x2 与 x 轴交于点A ，与 y 轴交于点C.抛物线 y 1 2x 2bx c 经过 A、C两点，与x 轴的另一交点为点B. (1)
3、求抛物线的函数表达式； (2) 点 D为直线 AC上方抛物线上一动点连接BC 、CD.设直线 BD交线段 AC于点 E，CDE的面积为S1， BCE的面积为S2，求 S1 S2的最大值 4将直角边长为6 的等腰直角三角形AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点 B(3，0) (1) 求该抛物线的解析式； (2) 若点 P是线段 BC上一动点，过点P作 AB的平行线交AC于点 E，连接 AP ，当 APE的面积最大时，求 点 P的坐标； (3) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与 (2) 中APE
4、的最大面积相等？若存在，请 求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由 答案 例 1. 解： (1) 方法一：由抛物线y 1 4x 2x3，得 A( 2，0) ，B(6 ，0) ，C(0 ，3) ，直线BC的解 析式为y 1 2x 3. 过点P作PQy轴，交BC于点Q， SPCB1 2PQ (xBxC) 1 26( 1 4m 23 2m ) 3 4( m3) 227 4 ， 当m3 时，最大面积为 27 4 . 其实，三角形的面积就等于铅垂高乘以水平宽再除以2. 方法二：连接OP， SPCBSPCOS PBOSBCO 1 2CO xP 1 2BO yP 1 2OB OC 3 4( m3) 227
5、4 . 当m3 时，最大面积为 27 4 . 方法三： 要使PCB的面积最大， 可以把BC当作底边， 由于底边BC固定， 当BC边对应的高最大时，PCB 的面积最大 把BC平移到与抛物线仅有一个交点的位置，此时抛物线上动点P到BC距离最远，即BC边对应的高最大 设直线BC平移后的解析式为y 1 2x b， 因为BC平移后的直线与抛物线仅有一个交点， 所以由方程组 y 1 4x 2 x3， y 1 2x b， 得到的方程 1 4x 2 x 3 1 2x b只有一个实数根 由判别式等于0，可求出b21 4 ，此时P(3 ， 15 4 ) ，可求得PCB面积的最大值为 27 4 . 经验小结：方法二
6、中转换面积的方法很好，好处在于PCO，PBO，BCO都有一边在x轴或者y轴上， 把它们作为底，那么高就可以用点的横纵坐标表示了，其实，这三个三角形的面积也是由铅垂高乘以水平 宽除以 2 得到的 铅垂高不仅在求面积时用处很大，在求一些倾斜线段的长时也能提供很大的帮助请看第(2) 问 方法一：面积法： SPCB 1 2BC PM，PM2S PCB BC 5 10 (m3) 29 5 10 . 当m3 时，PM的最大值是 9 5 10 . 方法二：转换到铅锤高： cosMPQPM PQ 2 5 5 ， PM2 5 5 PQ 5 10 (m3) 29 5 10 . 当m3 时，PM的最大值是 9 5
7、10 . 解：分以下三种情况进行讨论：QPQC时， 1 4m 23 2m 5 2 m， 解得：m162 5，m2 0( 舍) ， CPCQ时，过点C作CHPQ于H， HQ 1 2PQ ，cosCQP HQ CQ 1 2（ 1 4m 23 2m ） 5 2 m 1 5 ，m2. PCPQ时，过点P作PGCQ，GQ 1 2CQ ， cosCQPGQ PQ 1 2（ 5 2 m） 1 4m 23 2m 1 5 ，m1. 综上所述，当CPQ为等腰三角形时，m 62 5或m2 或m1. 针对训练： 1. 解： (1) 直线l：y 3x3 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当y0 时，x1；当x 0 时，
8、 y3. 点A，B的坐标分别为(1，0) 、(0 ，3) 点B(0 ，3) 在抛物线yax 22ax a4(a0) 上， 3a4，a 1. 该抛物线的解析式为：yx 22x3. (2) 方法一：设M的坐标为 (m，m 22m 3) ， 连接OM，如图. SABMS四边形OAMBSAOBSOBMSOAMSAOB 1 23 m 1 21( m 22m 3) 1 213 1 2m 25 2m 1 2( m 5 2) 225 8 . 点M在第一象限，0m 3， 当m 5 2时， S有最大值 25 8 . 方法二：过M作MNy轴，交直线AB于N，如图. 设M的坐标为 (m，m 22m 3) ，N(m，
9、3m3) ， MNm 2 2m 3 ( 3m 3) m 25m ， SABMSMNBSMNA 1 2MN (xNxB) 1 2MN (xNxA) 1 2MN (xAxB) 1 2( m 25m )(1 0) 1 2m 25 2m 1 2( m 5 2) 225 8 . 点M在第一象限，0m3， 当m 5 2时， S有最大值 25 8 . 方法三：令y0 代入yx 2 2x3， 0x 22x3， x 1 或 3， 抛物线与x轴的交点横坐标为1 和 3， M在抛物线上，且在第一象限内，0m3， 过点M作MEy轴于点E，交AB于点D， 如图. 由题意知：M的坐标为 (m，m 2 2m 3)， D的纵
10、坐标为：m 22m 3， 把ym 22m 3 代入y 3x3， x m 2 2m 3 ， D的坐标为 ( m 22m 3 ，m 22m 3) ， DMmm 22m 3 m 25m 3 ， S 1 2DM BE 1 2DM OE 1 2DM (BEOE) 1 2DM OB 1 2 m 25m 3 3 m 25m 2 1 2( m5 2) 225 8 . 0m3，当m 5 2时， S有最大值，最大值为 25 8 . 2. 解： (1)y1x 2 2x3， y2x3. C点坐标为 (1 ， 4)，当x1 时，y14，y22， CD42 2，S CAB 1 232 3. (2) 设P点的横坐标为x，P
11、AB的铅垂高为h， 若P在直线AB上方，则hy1y2( x 2 2x3)( x3) x 23x，由 SPAB 7 8S CAB， 得： 1 23 ( x 2 3x) 7 83，化简得： 4x 212x7 0，解得 x 32 2 . 将x3 2 2 代入y1x 22x3， 得 y1 13?2 2 4 ， 即P1( 32 2 ， 132 2 4 ) ，P2( 32 2 ， 13 2 2 4 ) ； 若P在直线AB下方，则hy2y1( x3) ( x 22x3) x 23x，由 SPAB 7 8S CAB得： 1 23(x 2 3x) 7 83， 化简得： 4x 212x70，解得 x1 7 2，
12、x2 1 2. 将x1 7 2，x 2 1 2代入 y1x 22x3，得 y3 9 4，y 4 7 4， P点坐标为P3( 7 2， 9 4) ， P4( 1 2， 7 4) 综上 所述，存在满足条件的点：P1( 32 2 ，13 2 2 4 ) ，P2( 32 2 ，132 2 4 ) ，P3( 7 2， 9 4) ， P4( 1 2， 7 4) 3. 解： (1) 在y 1 2x2 中，当 x0 时，y2；当y0 时，x4. C(0 ，2) ，A( 4，0) 代入y 1 2x 2 bxc， 得 2c， 0 1 2（ 4） 2 b（ 4）c， 解得b 3 2， c2. 抛物线的函数表达式为y
13、 1 2x 23 2x 2. (2) 如图，过点C作CHBD于点H， 则S1 1 2DE CH，S2 1 2BE CH. S1 S2 DE BE . 过点D作DMy轴交AC于点M、过点B作BNx轴交AC于点N，则DMBN. DE BE DM BN . 在y 1 2x 23 2x2 中，当 y0 时， 1 2x 23 2x20， 解得x 4 或 1. B(1 ，0) ，A( 4，0) 易求直线AC的解析式为y 1 2x2，当 x1 时，y1 2x2 5 2. N(1 ，5 2) ， BN 5 2. 设D(t， 1 2t 23 2t 2)，则M(t， 1 2t 2) DM 1 2t 23 2t 2
14、( 1 2t 2) 1 2t 22t . S1 S2 1 2t 2 2 t 5 2 1 5( t2) 24 5. 当 t 2 时， S1 S2取最大值 4 5. 4. 解： (1)y 1 3x 2 x6. (2) 设点P的坐标为 (m，0) ，如图， 则PC6m，SABC1 2BC AO 1 296 27. PEAB，CEPCAB. S CEP S CAB ( PC BC ) 2，即S CEP 27 ( 6m 9 ) 2. S CEP1 3(6 m) 2. SAPC1 2PC AO1 2(6 m) 6 3(6 m) ， SAPESAPCSCEP3(6 m) 1 3(6 m ) 21 3( m
15、3 2) 227 4 . 当m 3 2时， SAPE有最大面积为 27 4 ；此时，点P的坐标为 ( 3 2，0) (3) 如图，过G作GHBC于点H， 设点G的坐标为G(a，b)，连接AG、GC， S梯形AOHG1 2a( b6)，SCHG 1 2(6 a)b， S四边形 AOCG 1 2a( b6) 1 2(6 a)b3(ab) SAGCS四边形AOCGSAOC， 27 4 3(ab) 18. 点G(a，b) 在抛物线y 1 3x 2 x6 的图象上， b 1 3a 2 a6. 27 4 3(a 1 3a 2 a6) 18， 化简，得4a 224a27 0，解得 a13 2， a2 9 2. 故点G的坐标为 ( 3 2， 27 4 ) 或( 9 2， 15 4 )