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1、中考数学压轴题专题解析 - 平行四边形动点问题 这节课我们学什么 1.动点平行四边形三定一动 方法； 2.动点平行四边形两定两动 方法； 知识框图 典型例题分析 1、 动点平行四边形三定一动方法； 例1. 已知抛物线 2 (0)yaxbx c a，过点 )0,3(A ， )0, 1(B ， )3, 0(C 三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 P，求 PAC正切值； （3）若以 A、P、C、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标 【答案：（ 1）由题意得： 3 0 039 c cba cba 解得： 3 2 1 c b a 32 2 xxy （ 2）32 2 xxy
2、4)1( 2 x)4, 1(P52PA，2PC， 23AC 222 ACPCPA 0 90PCA 3 1 23 2 tan AC PC PAC （3）直线AC的解析式是：3xy 直线AP的解析式是：62xy 直线PC的解析式是：3xy 当AC是平行四边形的一条对角线时：直线MC的解析式是：32xy 直线AM的解析式是：3xy)1,2(M 当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得)7 ,2(M 当AP是平行四边形的一条对角线时：) 1 ,4(M )1,2(M或)7,2(M或) 1 ,4(M】 例2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 2 4 3 ymxm与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、B，点
3、 C 在线段 AB 上，且2 AOBAOC SS （1）求点 C 的坐标（用含有m 的代数式表示） ； （2） 将AOC沿x 轴 翻 折 ， 当 点C 的 对 应 点C恰 好 落 在 抛 物 线 232 183 yxmxm上时，求该抛物线的表达式； （3）设点 M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M 为顶点的四边形 为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标 【答案：（ 1）(3,2)Cm （2）该抛物线的表达式为 2333 1832 yxx （3）点 M 的坐标为或或】 2、 动点平行四边形两定两动方法； 例3. 如图， 抛物线3 2 bxaxy与 y轴交于点 C， 与
4、 x轴交于 A、 B 两点， 3 1 tanOCA， 6 ABC S （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标； xOy (3,3)( 3, 3)(9,3) O y x C A B （3）设点 E 在 x 轴上，点F 在抛物线上，如果A、C、E、F 构成平行四边形， 请写出点 E 的坐标（不必书写计算过程） 【答案：（1）( 3,0)B （2）把 2 23yxx,顶点坐标( 1,4) （3） AC 为平行四边形的一边时 123 ( 1,0),( 27,0),( 27,0)EEE AC 为平行四边形的对角线时E4(3，0） 】 例4. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系
5、中 ， O 为 原 点 ， 点A、 C 的 坐 标 分 别 为 (2,0),(1,33)将AOC绕 AC 的中点旋转180 ，点 O 落到点 B 的位置，抛物 线 xaxy32 2 经过点 A，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求 a 的值并说明点B 在抛物线上； （3）若点 P 是线段 OA 上一点，且APDOAB，求点 P 的坐标； （4）若点 P 是 x 轴上一点，以P、A、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的 xOy C ABO y x 另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标 【答案：（1）证明：AOC绕 AC 的中点旋转180， 点 O 落到
6、点 B 的位置， CAOCAB ,AOCCBAOB， 四边形ABCO 是平行四边形 （2）解：3a，xxy323 2 点 B 的坐标为（ 3，33）,满足此函数解析式，点B 在此抛物线 上 （3）点 P 的坐标为（ 3 4 ，0） B C D A x y O （4）)0 , 1( 1 P，)0, 1( 2 P，3(3,0)P】 例5. 在平面直角坐标系中，经过点( 1,0)A的抛物线 2 3yxbx与 y 轴交 于点 C，点 B 与点 A、点 D 与点 C 分别关于该抛物线的对称轴对称 （1）求 b 的值以及直线AB 与 x 轴正方形的夹角； （2）如果点 E 是抛物线上一动点，过E 作 EF
7、 平行于 x 轴交直线AD 于点 F，且 F 在 E 的右边，过点 E 作EGAD与点 G，设 E 的横坐标为m，EFG的周长为l， 试用 m 表示 l； （3）点 M 是该抛物线的顶点，点P 是 y 轴上一点， Q 是坐标平面内一点，如果 以点 A、M、P、Q 为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q 的坐标 xOy B C D A x y O E F 【答案：（ 1）2b，夹角为45 o （ 2） 2 ( 21)(21)2 22lmm （ 3） 1234 17 (0,25),(0,25),( 2,),(2,) 22 QQQQ】 例6. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0） ，点 B（0，3
8、） 点 P 从点 A 出发，以每 秒 1 个单位的速度向右平移，点 Q 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位的速度向右平移， 又 P、Q 两点同时出发 （1）联结AQ，当ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标； （2）当 P、Q 运动到某个位置时，如果沿着直线AQ 翻折，点P 恰好落在线段 AB 上，求这时AQP的度数； （3） 过点 A 作ACAB， AC 交射线 PQ 于点 C，联结 BC，D 是 BC 的中点 在 点 P、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D 为顶点的四边形是平 行四边形，若存在，试求出这时ABCcot的值；若不存在，试说明理由 x y C A O 【答案：
9、（ 1） 12 25 (,3),(4,3) 4 QQ （2）45AQP （3）当点 C 在线段 PQ 上时，延长BQ 与 AC 的延长线交于点F， ACAB AOBFHA: FH AO FA AB 即 3 45 FA 4 15 FA /DQAC，DQ=AC，且 D 为 BC 中点 FC= 2DQ= 2AC y x O Q PA B D C y x O Q PA B （备用图） y x OA B 4 5 AC 在Rt BAC中，ABCcot=4 当点 C 在 PQ 的延长线上时， 记 BQ 与 AC 的交点为F， 记 AD 与 BQ 的交点为 G， /CQAD，CQ=AD 且 D 为 BC 中点
10、 AD=CQ= 2DG CQ= 2AG= 2PQFC= 2AF 4 45 AC在Rt BAC中， 9 4 cotABC】 课后练习 练1.如图，抛物线cbxxy 2 经过直线3xy与坐标轴的两个交点A、B，此 抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为 D （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使:5 :4 APCACD SS的点 P 的坐标； （3）点 M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D 为平行四边形的点M 的 坐标 【答案：（1）抛物线的解析式是32 2 xxy （2）点 P 的坐标为 12 (4,5),( 2,5)PP （3）点 M 的坐标为 123 (2,1),( 2, 7),(4,1)MMM】 练2.如图，点 A（2，6）和点 B（点 B 在点 A 的右侧）在反比例函数的图像上，点 C 在 y 轴上，/BCx轴，2tanACB，二次函数的图像经过A、B、C 三点 x y O C B D A 1