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1、1 中考数学中的“新概念数学” 近年来，各地中考出现了一类在新定义下求解的试题，即所谓“新概念数学题”，本 文列举如下，供读者练习参考 一、以平行四边形、菱形为载体的“n 阶准菱形” 例 1 ）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一 次操作； 在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作； , 依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形 如图 1(1)，ABCD 中，若 AB 1， BC2，则ABCD 为 1 阶准菱形 (1)判断与推理： 邻边长分别是2 和 3 的平行四边形是_阶准菱形； 小明为了剪去一个菱形
2、，进行如下操作：如图1(2)，把ABCD 沿 BE 折叠（点E 在 AD 上） ， 使点 A 落在 BC 边上的点F，得到四边形ABFE 请证明四边形ABFE 是菱形 (2)操作、探究与计算： 已知ABCD 的邻边长分别为1，a(a1)，且是 3 阶准菱形，请画出ABCD 及裁 减线的示意图，并在图形下方写出a 的值； 已知ABCD 的邻边长分别是a，b(a6)，满足a6br，b5r，请写出ABCD 是几阶准菱形 解 (1)2 阶； 由折叠知 ABE EBF， ABBF， 四边形ABCD 是平行四边形， AEBF， AEB EBF， ABE AEB ， 2 AB AE，AEBF 四边形ABFE
3、 是平行四边形， 四边形ABFE 是菱形 (2) 评析此试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过 阅读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学生 自主学习为主体的新课程理念，很好地引导师生转变教与学的方式，问题的设置简洁而内 涵丰实，试题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学习的研究模式：定义 问题推理判断操作探究抽象概括试题以能力立意，要求学生灵活运用分 类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式 二、以函数、正方形为载体的“伴侣正方形” 例 2 已知点 A、B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点
4、C、D 是某个函数图像上的点，当 四边形 ABCD(A 、B、C、D 各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴 侣正方形 例如：如图 3，正方形 ABCD 是一次函数yx1 图象的其中一个伴侣正方形 (1)若某函数是一次函数y x1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； (2)若某函数是反比例函数y k x (k0) ，它的图象的伴侣正方形为ABCD ，点D(2， m)(m2) 在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式； (3)若某函数是二次函数yax 2c(a0)，它的图像的伴 侣正方形为ABCD ，C、D 中的一个点坐标为(3，4)写出伴侣 3 正方形在抛物线上的另一个
5、顶点坐标_，写出符合题意 的其中一条抛物线解析式_，并判断你写出的抛物线的 伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？_ 解(1)当点 A 在 x 轴正半轴，点B 在 y 轴负半轴上时，正方形ABCD 的边长为 2； 当点 A 在 x 轴负半轴、点B 在 y 在半轴上时，设正方形的边长为a，易得 3a2，解得 a 2 3 ，所以正方形边长为 1 3 2； (2)如图 3，作 DE，CF 分别垂直于x、y 轴， 易知 ADF BAO CBF 此时， m2， DEOA BFm， OBCFAE2 m OFBFOB2 C 点坐标为（ 2 m，2） ， 2m2(2m，)，解得 m 1 反比例函数的解析式为y 2 x (3)(1， 3)； （7， 3） ； （ 4，7） ；(4，1) 对应的抛物线分别为： 所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数 评析此试题以一次函数、反比例函数、二次函数和正方形等核心知识为载体，以能 力立意，要求学生灵活运用分类讨论、数形结合等数学思想，以及从易到难、正逆向并用 的思维方式进行推理学生对函数概念的理解有一个逐步发展的过程，此题对函数内容的 编排体现了螺旋上升的、不断深化的过程， 三、以抛物线、等腰三角形、中心对称为载体的“抛物线三角形”