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1、初中数学中非负数的应用 零和正数统称为非负数.初中数学中常见的非负数有: (1)实数的绝对值 :若 a 为任意实数，则0a. (2)算术平方根 : 0(0)aa . (3)实数的偶次幂 :若a为自然数，则 2 0 n a. (4)任何数的平方 ; 2 0s. 非负数的重要性质有: (1)若干个非负数的和为0，则其中的每一个数都为0.即: 1 0a， 2 0a，0 n a， 且 12 0 n aaa，则 12 0 n aaa. (2)非负数的积、商(除数不为零 )仍是非负数 . 在初中数学中，非负数在解题时有着广泛的应用，现举例如下: 一、利用非负数性质求值 例 1 已知 2 6955720aa
2、bc，求3 24abc的值 分析由已知，得 2 (3)55720abc 2 (3)0a，50b，20c 由非负数性质知 30a，50b，20c 于是 30 50 20 a b c 解得 3 5 2 a b c 32427abc 例 2 已知： 22 592 918 3 xx y x 求x、y的值 分析根据二次根式的被开方数为非负数，得 2 90x， 2 90x 2 9x，且 2 9x 2 9x 3x 30x 3x 把3x代入已知，得3y 二、利用非负数性质解方程 1.解无理方程 例 3 解方程 : 1 33254(40) 2 xyzxyz 分析这是一个无理方程，并且一个方程里有三个未知数，显然
3、用一般的方法不能 求解 .仔细观察方程特点，不难发现，原方程可以化为: 222 (31)(23 )(45 )0xyz 由非负数性质，得 310 230 450 x y z 解得 2 11 21 x y z 2.解绝对值方程 例 4 解方程 : 11aab( a，b为自然数 ). 分析这是一个含有绝对值的方程，从表面上看无从下手，认真观察方程的特点，容易发 现: 10a，0ab 由自然数性质，得 11 0 a ab ，或 10 1 a ab 解得 2 2 a b 或 1 1 a b 3.解二元二次方程 例 5 解方程 : 22 2652210xxyyxy 分析将方程的左边配方，得 22 (2 )
4、(1)0xyxy 由非负数的性质，得 20 10 xy xy 解得 2 1 x y 三、利用非负数性质化简 例 6 已知357 1024yxx，化简 22 1684129xyyy. 分析由二次根式的被开方数为非负数，得50x，且1020x, 5x，4y 故有40y，230y 原式423yy 4(23)7yyy 四、利用非负数性质求代数式的最大(小 )值 例 7 设 22 741628mxxyyxy，求m的最小值 . 分析求代数式的最小值的一般方法是通过配方法求解.由已知，得 22 (21)3(2)5mxyx. 由非负数的性质，知 2 2 (21)0 (2)0 xy x 当 210 20 xy
5、x ，即 2 3 x y 时，m有最小值5 五、利用非负数性质判断三角形的形状 例8 已知abc、 、为ABC的三边，且关于 x 的方程 2222 3 ()()0 4 abcxabc x 有实数根试判断 ABC的形状 . 分析由题意，得 22223 ()4()0 4 abcabc 222 ()()()0abbcca 由非负数的性质，得 0ab，0bc，0ca abc 六、非负数在二次函数中的应用 例 9 已知a、b为实数，求抛物线 221 4(21) 4 yxbxaab与x轴的交点个数 分析求二次函数图象与x轴的交点个数， 实质上就是求与之相关的一元二次方程的根 的个数，因此构造一元二次方程
6、221 4(21)0 4 xbxaab 由一元二次方程根的判别式，得 221 164 1 (21) 4 baab 2 (4 )4ab 2 (4 )0ab 2 (4 )40ab，即0 一元二次方程 22 1 4(21)0 4 xbxaab有两个不相等的实数根， 抛物线 22 1 4(21) 4 yxbxaab与x轴有两个交点 七、非负数在一元二次方程中的应用 例 10 设abc、 、为互不相等的非零实数.求证 :三个方程 2 20axbxc， 2 20bxcxa， 2 20cxaxb， 不可能都有两个相等的实数根. 分析本题如果直接用一元二次方程根的判别式来判断很难得出结果，那么不妨采用逆 向思
7、维法来思考.假设三个方程都有两个相等的实数根，则 2 1 2 2 2 3 440, 440, 440, bac cab abc 三式相加，得 222 ()()()0abbcca, 由非负数的性质，得abc，这与已知相矛盾，所以，方程、不可能都有 两个相等的实数根. 例11 已 知 实 数abc、 、满 足 方 程 组 2 8 824 8 ab abcc ， 试 求 方 程 2 0bxcxa 的根 分析可以通过构造一元二次方程来解.由已知，得 8ab， 2 8 248a bcc 故a、b可视为一元二次方程 22 88 2480xxcc的两个根， 22 ( 8)4 1 (8 248)cc 2 (4 2)0c 2 (4 2)0c 2 (4 2)0c，4 2c 把c的值代入方程，得 2 8160xx，4ab 所求方程为 2 210xx，它的根为