八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题专练.pdf

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1、八年级数学 全等三角形中的动点问题压轴题专练 教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题 思路： 1.利用图形想到三角形全等 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题 难了，可以反过去看看前面问题的结论. 【典型例题】 例 1. 如图 1，在 ABC 中， ACB 为锐角，点D 为射线 BC 上一点，连接AD ，以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形AD

2、EF 解答下列问题： （1）如果 AB=AC ， BAC=90 ，点 D 在射线 BC 上运动时（与点B 不重合），如图，线段CF，BD 之 间的位置关系为_， 数量关系为 _ 请利用图2 或图 3 予以证明（选择一个即可） 例 2. 如图，在等腰Rt ABC 中， ACB=90 ，AC=CB ，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，点D、E 分别在 AC 、 BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，连接 DE、DF、EF. （1）求证：ADF CEF. （2）试证明 DFE 是等腰直角三角形. （3）在此运动变化的过程中，四边形 CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由（4）求 CDE 面积

3、的最大值 变式如图，在等腰Rt ABC 中， C=90 ，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，点D、E 分别在 AC、BC 边上 运动，且保持AD=CE 连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：DFE 是等腰直角三角 形； DE 长度的最小值为4；四边形CDFE 的面积保持不变；CDE 面积的最大值为8其中正确的 结论是（） ABCD 例 3. 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一公共点A，点 GE 分别在线段AD 、AB 上（如图（ 1）所示）， 连接 DF、 BF （1）求证： DF=BF （2）若将正方形AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（

4、2）所示）， 在旋转过程中，请猜想线段DG、BE 始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想 例 4.如图，已知 ABC 中， AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点 D 为 AB 的中点 . （1）如果点P在线段 BC 上以 3cm/秒的速度由B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动 . 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与CQP 全等？ （2）若点 Q 以中的速度从点C 出发，点 P 以原来的

5、运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边 运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？ 变式如图，在等边 ABC 中， AB=9cm ，点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 点以 2cm/s 的速度移动，点Q 点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动 P、 Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟 （1）你能用t 表示 BP 和 BQ 的长度吗？请你表示出来 （2）请问几秒钟后，PBQ 为等边三角形？ （3）若 P、 Q 两点分别从C、B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC 三边运动，请问经过几秒钟 后点 P 与点 Q 第一

6、次在 ABC 的哪条边上相遇？ 【拓展提高】 1两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同 一条直线上，连结DC （ 1）请找出图2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （ 2）证明： DC BE 2.如图，在Rt ABC 中， BAC=90，AC=2AB ，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为45 的直角三角板如图 放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，连结BE、EC试猜想线段BE 和 EC 的数量及位置关 系，并证明你的猜想 3. 已知 Rt ABC 中， AC=BC ， C=90 ，D 为

7、AB 边的中点， EDF=90 ， EDF 绕 D 点旋转，它的两边 分别交 AC 、CB（或它们的延长线）于E、F. 当 EDF 绕 D 点旋转到DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 1 2 DEFCEFABC SSS 当 EDF 绕 D 点旋转到DE 和 AC 不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，S DEF、SCEF、S ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 4. 如图， AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为 DA 边延长线上的一点，连接BE，在 BE 上取一点F， 使 BF=BC ，过点 B 做 BKBE

8、 与 B，交 AC 于点 K，连接 CF，交 AB 于点 H，交 BK 于点 G. （1）求证： BH=BG ； （2）求证： BE=BG+AE. 5.正方形四条边都相等，四个角都是90 如图， 已知正方形ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上， 点 E 是直线 MN 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG （1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上（不与点B、 C 重合）时： 判断 ADG 与 ABE 是否全等，并说明理由； 过点 F 作 FHMN ，垂足为点H，观察并猜测线段BE 与线段 CH 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，当点 E 在射线 C

9、N 上（不与点C 重合）时： 判断 ADG 与 ABE 是否全等，不需说明理由； 过点 F 作 FHMN ，垂足为点H，已知 GD=4，求 CFH 的面积 6.如图 1，若 ABC 和 ADE 为等边三角形，M、N 分别为 EB、 CD 的中点，易证：CD=BE ， AMN 是等 边三角形 . （1）当把 ADE 绕点 A 旋转到图2 的位置时， CD=BE 是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理 由； （2） 当 ADE 绕点 A 旋转到图 3位置时，AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明， 并求出当 AB=2AD 时， ADE 与 ABC 及 AMN 的面积之比；若不是，请说明

10、理由. 7.在ABC 中， AB=AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与B、C 重合） ，以 AD 为一边在AD 的右侧做 ADE ， 使 AD=AE ， DAE= BAC ，连接 CE. （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果 BAC=90 ，则 BCE=_ 度； （2）设 BAC= ， BCE= . 如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点 D 在直线 BC 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论. 8.思考与推理如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6cm ，CB=CD，AB BC，CD AD ，BCD=1

11、20. PCQ=60 ，两边分别交线段AB 、AD 于点 P、 Q，把 PBC 绕点 C 顺时针旋转120 得到 MDC. 请在图中 找出一对全等的三角形并加以证明（ PBC 与MDC 除外） . 探究与应用在上边的条件下，若PCQ 绕顶点 C 在 BCD 内转动，两边始终与线段AB 、AD 相较于 点 P、Q，试探究在转动过程中 APQ 的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由. 9. 问题情境：如图1，在直角三角形ABC 中， BAC=90，AD BC 于点 D，可知： BAD= C（不需要 证明） ； 特例探究： 如图 2， MAN=90 ， 射线 AE 在这个角的内部，

12、点 B、 C 在 MAN 的边 AM 、 AN 上，且 AB=AC ， CFAE 于点 F，BD AE 于点 D证明： ABD CAF ； 归纳证明：如图3，点 B，C 在 MAN 的边 AM 、 AN 上，点 E，F 在 MAN 内部的射线AD 上， 1、 2 分别是 ABE 、CAF 的外角已知AB=AC ， 1=2=BAC 求证： ABE CAF ； 拓展应用：如图4，在ABC 中， AB=AC ，AB BC点 D 在边 BC 上， CD=2BD ，点 E、F 在线段 AD 上， 1=2=BAC 若 ABC 的面积为15，则 ACF 与 BDE 的面积之和为_. 10. 如图，已知 AB

13、C 是等腰直角三角形，BAC=90，BC=2 ，AD 是 BC 边上的高作正方形DEFG， 使点 A、C 分别在 DG 和 DE 上，且 DE=BC ，且连接AE、BG （1）试猜想线段BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0 ，或小于90 ） ，DG、DE 分别 交 AB、AC 于点 M 和 N（如图），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立， 请说明理由 11. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10 厘米，点E 在 AB 边上， BE=6 厘米 （1）如果点P 在线段 BC

14、 上以 4 厘米 /秒的速度由B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后， BPE 与 CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPE 与 CQP 全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？ 12.（1）操作发现：如图，D 是等边 ABC 边 BA 上一动点（点D 与点 B 不

15、重合），连接 DC，以 DC 为 边在 BC 上方作等边 DCF ，连接 AF你能发现线段AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论 （2）类比猜想：如图，当动点D 运动至等边 ABC 边 BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想 AF 与 BD 在（ 1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： 如图，当动点D 在等边 ABC 边 BA 上运动时（点D 与点 B 不重合）连接DC，以 DC 为边在 BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边 DCF ，连接 AF、BF ，探究 AF、BF 与 AB 有何数量关系？并证明你 探究的结论 如图，当动点D 在等边三角形边BA 的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成 立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论