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1、1 一次函数综合题选讲及练习 例 1 （2014 秋?海曙区期末）如图所示，直线L：y=mx+5m 与 x 轴负半轴， y 轴正半轴分 别交于 A、B 两点 （1）当 OA=OB 时，求点A 坐标及直线L 的解析式； （2）在（ 1）的条件下，如图所示，设Q 为 AB 延长线上一点，作直线OQ，过 A、B 两 点分别作 AM OQ 于 M，BNOQ 于 N，若 AM=，求 BN 的长； （3）当 m 取不同的值时，点B 在 y 轴正半轴上运动，分别以OB、AB 为边，点B 为直角 顶点在第一、 二象限内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE ， 连 EF 交 y 轴于 P 点，如图 问：当点 B
2、在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不 是，说明理由 变式练习： 1 （ 2014 秋?常熟市校级期末）已知：如图1，一次函数y=mx+5m 的图象与x 轴、y 轴分别 交于点 A、B，与函数y=x 的图象交于点C，点 C 的横坐标为 3 （1）求点 B 的坐标； （2）若点 Q 为直线 OC 上一点，且SQAC=3SAOC，求点 Q 的坐标； （3）如图 2，点 D 为线段 OA 上一点， ACD= AOC 点 P 为 x 轴负半轴上一点，且点P 到直线 CD 和直线 CO 的距离相等 在图 2 中， 只利用圆规作图找到点P的位置； （保留作图痕迹， 不
3、得在图2 中作无关元素 ） 求点 P 的坐标 2 例 2 （2014 秋?宝安区期末）如图1，已知一次函数y=x+6 分别与 x、y 轴交于 A、B 两 点，过点 B 的直线 BC 交 x 轴负半轴与点C，且 OC=OB （1）求直线BC 的函数表达式； （2）如图 2，若 ABC 中， ACB 的平分线CF 与 BAE 的平分线 AF 相交于点F，求证： AFC=ABC ； （3）在 x 轴上是否存在点P，使 ABP 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标； 若不存在，请说明理由 变式练习： 2 （ 2013 秋?靖江市校级期末）如图，直线l： y=x+6 交 x、y 轴分别为A、 B
4、 两点， C 点 与 A 点关于 y 轴对称动点P、Q 分别在线段AC 、AB 上（点 P 不与点 A、C 重合） ，满足 BPQ=BAO （1）点 A 坐标是，BC= （2）当点 P 在什么位置时，APQ CBP，说明理由 （3）当 PQB 为等腰三角形时，求点P 的坐标 3 课后作业： 1 （ 2015 春?宁城县期末）已知，如图直线y=2x+3 与直线 y=2x1 相交于 C 点，并且与 两坐标轴分别交于A、B 两点 （1）求两直线与y 轴交点 A，B 的坐标及交点C 的坐标； （2）求 ABC 的面积 2如图 ，直线 y=x+1 分别与坐标轴交于A，B 两点， 在 y 轴的负半轴上截取
5、OC=OB （1）求直线AC 的解析式； （2）如图 ，在 x 轴上取一点D（1，0） ，过 D 作 DEAB 交 y 轴于 E，求 E 点坐标 3 （2014 秋?雨城区校级期中）如图， 直线 L：y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点， 在 y 轴上有一点C（ 0，4） ，动点 M 从 A 点以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左移动 （1）求 A、 B 两点的坐标； （2）当 M 在 x 轴正半轴移动并靠近0 点时，求 COM 的面积 S 与 M 的移动时间t 之间的 函数关系式； 当 M 在 O 点时，COM 的面积如何？当M 在 x 轴负半轴上移动时， 求COM 的面积 S与
6、 M 的移动时间t 之间的函数关系式；请写出每个关系式中t 的取值范围； （3）当 t 为何值时 COM AOB ，并求此时M 点的坐标 4 参考答案： 例 1【考点】一次函数综合题【分析】（1）当 y=0 时， x=5；当 x=0 时， y=5m，得出 A（ 5，0） ，B（0，5m） ，由 OA=OB ，解得： m=1，即可得出直线L 的解析式； （2）由勾股定理得出OM 的长，由 AAS 证明 AMO ONB ，得出 BN=OM ，即可求出 BN 的长； （3） 作 EKy 轴于 K 点， 由 AAS 证得 ABO BEK ， 得出对应边相等OA=BK ， EK=OB ， 得出 EK=B
7、F ，再由 AAS 证明 PBF PKE，得出 PK=PB ，即可得出结果 【解答】解： （1）对于直线L：y=mx+5m ，当 y=0 时， x=5，当 x=0 时， y=5m， A（ 5，0） ，B （ 0，5m） ，OA=OB ，5m=5，解得：m=1，直线 L 的解析式为： y=x+5 ； （2） OA=5 ，AM=，由勾股定理得： OM=， AOM+ AOB+ BON=180 ， AOB=90 ， AOM+ BON=90 ， AOM+ OAM=90 ， BON= OAM ，在 AMO 和 OBN 中， ， AMO ONB （AAS ） BN=OM=； （3）PB 的长是定值，定值为；
8、理由如下： 作 EKy 轴于 K 点，如图所示： 点 B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF 和 等腰直角 ABE ， AB=BE ， ABE=90 ，BO=BF ， OBF=90 ， ABO+ EBK=90 ， ABO+ OAB=90 ， EBK= OAB ， 在 ABO 和 BEK 中， ABO BEK （AAS ） ， OA=BK ，EK=OB ， EK=BF ， 在 PBF 和 PKE 中， PBF PKE（ AAS） ， PK=PB ， PB=BK=OA= 5= 【点评】 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、 勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中， 需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果 变式练习： 1 【考点】一次函数综合题