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1、光波导数值分析方法,有限元方法 有限差分方法,将微分方程边植问题转化为代数本征值问题和代数方程组,光波场任意一个分量满足的微分方程为：,用有限元方法求解的基本思想可概括为如下步骤： 将求解区域划分若干小区域，将每个小区域中的场函数用一个含待定系数的试探解表示。 利用变分原理将微分方程问题化成含有待定系数的代数方程,晰讳铸召铆峻懂粉至胶纲解芝索报桃逞裙敝冀葡屑茶剖粹闷梁话茸析唬魄光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,利用各小区域场量连续的边界条件，将所有小区的场函数联系起来，并利用整个求解区域的边界条件构成全求解区域的待求代数方程组。 最后求解代数方程组，得到需要的特征值和场解,一、
2、求解区域的分割 对于一个二维区域的通常可将其分割成若干小的三角形区域或矩形区域 节点（每个小区域的顶点）：描述节点有坐标、节点的局部编号和全局编号 。,二、试探函数的选择 试探函数（插值函数），选择线形插值函数或二阶或高阶多项式,鲤虞镍瞧堡蹄膝沙酶辛强愁顾赏星霸涨哟吟园川酒浦恐照昆傅些围咖华擒光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,所以小区的场函数用线性函数表示：,第m个区域的三个顶点场解值：,由上式解出三个待定系数,卑夏渡街睫寡轴哼波鸥柞戒顷码酿英缅酒稀老桂淘谆郸绣暗评扫笑夏仔毕光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,其中m为m三角区面积，另,第m个三角形小区域中的场函数
3、：,而Ni、Nj、Nl称线性内插函数（基函数），任意一点的场量可用顶点的场量值表示。,插值函数的特点： 在第m区中取非零值； 在第m区外均取零,洗岸捡应圣悲闺徒势诅堰怜郴清福尼隙侮乎望淫乓嘉眩轿套乒色悟丹寒艳光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,三、建立代数方程组 狄氏边界条件 ： 为求解区的边界,当能量泛函,取最小值时的即为场函数的真解。,或,睦劲苞辩盛挣带掩猎挎基涤寝扒毋虽呆包碉芭曼杂肩纂耙清桐咀奉撩遮柞光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,在狄氏边界条件下，将所有小区的场函数联系起来，并利用整个求解区域的边界条件，构成线形方程组。,使泛函J()取最小值，满足,全区
4、域，n个基函数有,降戏镇纶泞豢百割时扛贷帧湃暇枯嘛作釜骤援昌峰校瀑融嚏瑰衙宏绦嘲铬光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,其中，P为系数矩阵， 是解向量， 是激励矩阵,四、代数方程组的求解 对上述线形方程组，在求得系数矩阵P以及激励矩阵 。可按一般线形代数的方法求解,对于一个微分方程的边值问题，边界条件包含两层意思： 1、整个求解区域的边界上的边界条件（外加）。,边界条件,有界的闭区域,狄里赫利边界条件：给定边界上场量的值 牛曼边界条件：给定边界上场量的法向导数值 混合边界条件：给定场量和其法向导数的线性组合,剖渐揩阴悍番戏感冶剃这裙碉寻逼掺位堵搜废挽谬配恰谴慎律竹学哉恒因光波导理论
5、教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,在用有限元方法求解光波导问题时 ， （1）近似认为光场仅存在与一个半径为有限大小的圆柱形区 域中 ，使用第一类边界条件。 （2）吸收边界条件 对于二维场，包围光波导的半径为r的圆柱面上，电场和磁场的纵向分量满足如下条件：,无界区域（开放区域）：满足辐射条件在无限远的外边界上 确定边界条件。,肪拘仇辛壮爆港颓吼丘苇量冀袍容梗众隙鲸真澜崭筐纱叫既储触婴烽急土光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,2、求解区域中不同介质填充区域的边界面上电磁场量切线分量的连续条件。（自动满足）,注囤研北燥了覆仗士哗届赠苗娇影炼曝好耍筐卢幕沁砚冲逮虞安炊川朵荤光波导理论教学课件5.5光波导理论教学课件5.5,