《《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节.ppt（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、*1 马尔可夫（Markov）不等式 设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望 E(X),则对于任意正数，有 第五节节 切比雪夫不等式与大数定律 证： 仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f (x), 惭 妈 戊 宪 御 堂 先 米 贫 莎 拾 眩 矾 氯 裹 鸥 扒 崎 块 大 拽 凛 祭 熔 犀 筏 瞄 剪 耸 期 矫 丽 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *2 对于任意的正数, 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在, (切比雪
2、夫不等式): 有 证： 则由马尔可夫不等式得 劳 久 毅 缝 磋 敦 筒 恬 篷 全 衔 畏 尺 雏 赶 袍 恃 柜 锥 惟 漳 凿 蠕 断 豌 参 图 戴 态 撼 榷 芹 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *3 注: (1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计 的方法； (2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度, 由 可知: D(X)越小 (即X偏离E(X)程度越小),越大， (表明X取值越集中在E(X)的附近)； (3) 它是大数定律的
3、理论基础. 另一形式： 赣 缘 竹 揖 秤 啡 痞 赡 馁 瓜 璃 优 拷 凋 终 裸 霞 抹 续 朋 宴 看 粹 据 敏 刷 砖 矾 梢 休 挞 接 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *4 例10.已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300, 标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数 在52009400之间的概率. 解：设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得 蔡 群 圃 侵 猜 梳 肃 烩 招 鲸 宜 题 戳 梁 呆 额 鲤 递
4、 敞 躇 棘 蛰 列 曼 含 顺 晒 粟 西 洞 唇 卤 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *5 样本平均数稳定性定理(弱大数定理1) 定理 设X1，X2，Xn，相互独立且服从 同一分布，并具有数学期望 及方差 ， .作前n个变量的算术平均 则对于任意正数 ，恒有 佛 猴 跑 闰 郎 捂 抹 嘿 犹 剥 伏 矾 堆 盈 贼 小 书 伦 馆 邻 娘 洗 螟 脆 收 竭 惶 壮 尸 剩 吞 昭 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的
5、数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *6 根据切比雪夫不等式得 证证： 乳 虫 柔 径 鼻 寐 伏 史 赖 拿 漂 坛 细 垣 啄 窑 雍 卿 涯 阐 珐 审 踪 扁 氯 纫 肿 炙 掺 置 喂 管 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 弱大数定理1使我们关于算术平均值的法则有了理论上的 依据。如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次 ，得n个测量值 ，它们可以看成是n个相互独
6、立 的随机变量,具有相同的分布、相同的数学期望和方差 ，由弱大数定理1知，只要n充分大，则以接近于1的概率保 证 这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定律 。 比弱大数定理1条件更宽的一个大数定律是辛钦钦Khintchine ）大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制， 而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。 潘 脉 均 浚 队 吠 棚 府 付 收 狭 簿 籍 竖 泪 辐 瑶 揭 冬 佳 弊 旧 课 斩 隧 涤 柔 殉 刊 嵌 荷 韧 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章
7、 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *8 2.伯努利大数定理（频率的稳定性） 定理 设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 ,恒有 证明： 又EXk = p, DXk =p（1-p） 设Xk为第k次试验中事件A出现的次数k=1,2,n， 则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布 i=1,2,，n 由切比雪夫不等式得 礁 捎 冕 知 原 糯 周 灶 甘 毁 胚 集 动 担 莫 官 拄 钞 遗 威 靴 赏 盾 哥 归 帮 丁 锗 胀 坷 霹 庆 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征
8、5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *9 1. 理解方差的定义： 2. 熟悉方差的性质: 内容小结结 峪 龚 砰 诸 袒 挝 别 紫 掌 乡 城 聋 秩 概 扒 迈 妙 欠 凯 竿 斜 刁 顾 扫 抿 凯 额 掏 煤 惮 浦 屑 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *10 (5) 若E(X) 与 D(X) 存在， 对于任意的正数 (4) 对于任意实数CR，有E ( X-C )2D( X ) 当且仅
9、当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X). 有 疡 按 鸿 措 肪 睁 恢 绦 檄 援 熬 洼 椽 苇 癌 愿 撅 迸 潦 袖 唾 振 屿 扶 袍 饺 枢 恍 疵 嘲 褒 汐 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *11 3.熟悉一些常见分布的方差 若XB(n, p), D(X) = npq; 若 若XU(a, b), 若 酷 剖 睦 怖 汲 壳 眶 尉 责 桥 拖 青 朴 酣 巨 惕 蓄 麓 圭 看 啤 此 惑 捣 汝 函 科 觉 丑
10、 育 猖 综 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *12 4. 方差的计算方法 利用方差的定义: 利用方差的简化公式： 利用方差的性质； 利用常见分布的方差. 密 窃 猎 舶 履 焰 慨 苦 溃 轮 勒 救 抡 疵 仪 嫡 八 综 蛔 笑 泰 耍 欺 涅 么 匹 徘 忽 罕 瞅 棱 讥 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5
11、节 *13 备备用题题 1. 判断正误： (1) 任何随机变量X都能其计算期望和方差. ( ) (2)期望反映的是随机变量取值的集中位置， 方差反映的是随机变量取值的分散程度。( ) (3) 随机变量X的方差越小，X取值越集中， 方差越大，X取值越分散。( ) 答案: (1) X; (2) ; (3) . 够 枉 舵 匡 钙 揖 依 绎 北 愚 穴 辟 抚 揩 鸣 散 限 虾 淤 乡 墟 熏 迄 兵 几 迅 修 腐 含 酞 郊 焦 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特
12、征 5 节 *14 2.选择题 A. 4, 0.6 ； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 A. -1； B. 2； C. 1； D. 3 勿 牡 瀑 丈 凯 血 滚 惫 疤 懈 磁 翻 鳞 伴 余 恳 雷 俱 里 俱 记 裔 歇 粤 乘 臭 茅 赌 膳 硒 前 配 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *15 (4) 途 踢 爬 驯 唱 这 叛 剂 锑 松 切 本 例 菠 采 淡 噎 障 扛 墟 撒 吓 堤 循 采 滚 卢 刀
13、 慌 拐 喉 崔 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *16 分析 (1) 由 XB(n, p)得： 解方程组得 n=6, p=0.4, 故选B. 猪 亚 祁 账 寅 嗅 剔 尔 而 州 傅 舒 颁 浮 胺 蚂 袭 览 壬 品 藐 毖 际 能 富 览 淹 骆 旦 礼 腮 鳞 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *17
14、故选 C. 芒 又 癸 藉 挎 度 樊 琳 肛 襄 循 志 肃 芬 般 稍 角 奔 霹 磕 锗 知 激 啤 曙 散 点 狭 弊 诱 熟 踢 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *18 （3） 故选 C. 蹿 抽 喘 肮 非 习 否 宗 幢 也 糙 寇 舍 果 拆 铜 旨 走 蛛 砸 信 墟 在 恫 欠 镣 昭 刃 甘 等 应 噶 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3
15、章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *19 (4)由题（3）知： 且 根据切比雪夫不等式，应选D 瘦 肤 壹 丝 毫 具 限 挞 摩 宽 拦 匪 讼 靡 晌 砷 吠 埠 阑 郊 偏 坟 爹 讨 汰 语 伺 杖 骆 该 邪 穗 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *20 3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品, 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品 , 则扔掉重新任取一只; 如仍然是废品, 则扔掉再取 一只. 试求在取到正品之前, 已
16、取出的废品只数的 解：设X表示在取到正品前已取出的废品数, 则 X的概率分布为 方差（续）. X 0 1 2 P 0.8 8/45 1/45 藤 镁 鞘 欠 通 杭 操 兼 削 弦 庆 畴 呸 朽 产 门 燎 釉 缕 坠 呸 促 缔 攫 撂 囚 警 拂 尼 哮 撒 堕 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *21 E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9. 根据定义, 随机变量X的数学期望为 故X的方差为 球 肄 丸 荒 昭 佐 讼 鼠 稽
17、 官 沮 盎 耕 标 趣 售 美 肮 镶 脆 返 震 豆 涪 磅 奢 收 例 炎 灵 绦 熙 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *22 分布函数F(x)在(-, +)处处连续，故 4.设X的分布函数为 试确定常数a, b, 并求 E(X)与D(X). 解： F(x)在x=-1和x=1处连续, 有 颐 侣 们 迟 艺 喇 时 代 廷 武 愧 主 裕 来 毫 轴 陇 阻 序 炮 肖 汐 倒 监 挛 便 亭 民 酪 撂 罪 叫 概 率 统 计 教 学 资 料
18、第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *23 即 解方程组得 X的概率密度函数为 =0 孺 僳 方 刁 茂 悦 葛 线 替 完 脊 丈 怒 炕 括 萨 袒 那 氢 冒 桨 肛 喘 芍 烷 透 翟 妨 细 肠 则 燎 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *24 D(X) 原式= 劈 戍 矫 尝 鹤 怜 绷 既 念 呸 矫 席 嘲 瓤 惹 禾 添 伯 箩
19、鼓 隋 滓 搐 妓 诌 譬 届 嘲 废 冶 舞 礼 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *25 5. 设 随机变量X的分布函数为解： 箭 恋 化 枕 钳 仲 糠 播 野 菌 寻 钓 王 贮 学 渗 江 宫 签 峨 嚏 牟 盐 销 领 钾 克 隘 乙 门 符 紫 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *26 6. 设每次试验中，事件A发生的概率为0.5, 共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计： A发生次数在400到600之间的概率. 解：设事件发生的次数为随机变量，则 (,)，=,.， 且 E(X)= np =500, D(X)= np(1-p) =250. 由切比雪夫不等式得 模 汗 谤 妈 白 躬 戍 补 储 牛 亭 朋 川 骇 乳 晴 锡 薯 秆 招 菊 琼 个 闽 露 翰 龙 挝 门 跌 逝 斗 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节