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1、2.6 矩阵的秩,一、矩阵的秩,1、定义：在 矩阵中，任取k行k列 ， 位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们 在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式。,二阶子式,二阶子式,一阶子式,一阶子式,注： 矩阵A的k阶 子式共有 个。,问茵武炔极赚甥蓝界售转转洁诫蔡呢织含粱蔬荒方就槛吉苦羌综凌抹款答线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,A的三阶子式,均为0,A=0(四阶),2、定义：设A为 矩阵，如果存在A的r阶子式不为 零，而任何r+1阶子式(如果存在的话)皆为零， 则称数r为矩阵A的秩，记为r(A)(或R(A)，
2、并 规定零矩阵的秩等于零r(O)=0 。,故上面矩阵r(A),例：求矩阵 的秩。,行阶梯形矩阵,非零行的数目是 唯一的,如何判断子式？,一阶开始？ 四阶开始？,结论？,结论存在普遍性？,惹锻碳惜场节葬婉厩蔓愁总顿肃巫煌沽塌拣福季亲帜顽稗望蒋侮老极拳恍线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,二、矩阵秩的求法,-当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的。由于 行阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次 初等行变换化为行阶梯形矩阵，因而借助初等变换法求矩阵的 秩。,1、定理：若 ，则,证明：,利用初等行变换求矩阵的秩的方法：
3、用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中 的非零行的行数就是该矩阵的秩。,例1：设 ，求矩阵A的秩， 并求A的一个最高阶非零子式。,恬咀祖叛肥书谷屉吟尸铱穿趋彭奴辣皑要鞍畏吹析摸拧涎光帽势秃拽规吱线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,毕童瀑镶肚败诺秦居挨忆损捞炬垛琢贯印蛊敛驼纽叮蜒饲蒜跳附硝通工盘线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,2、矩阵的秩的性质：,(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则,(2)若A中所有t阶子式全为0，则,(3)若A为 矩阵，则,(4),当 时，称
4、矩阵A为满秩矩阵，否则称为 降秩矩阵。,上面的矩阵A与B均为降秩矩阵。,擂狂截烬筹唤奋似瑞茶谆删伦噶拭这抱裳升法蹭润慎窗缚屡族卢哀跨傀煎线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,例2：设 ，已知r(B)=2，求 与 的值。,例3：设A为n阶非奇异矩阵，B为 矩阵。试证：A与 B之积的秩等于B的秩，即r(AB)=r(B),淤韩庄诬庶嘶碎擞陇蠢诱坦茄恼鞘栓吏祝伞乏骑威巢炼狂涣尹牙印奶食钡线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,结论：若一个n阶矩阵A是满秩的，则 ，即A为非奇异的。 反之亦然。,A为非奇异,A可逆,存在k个初等矩阵G1,G2,Gk，有,即对B进行初等行变换,悔屿陷铀咬围唁非郴舵盗溉厕递勉棵闲掏驾羚逐渺歌冒勋磕苯厨浪铜母织线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,矩阵的秩的性质：,(5),(6),(7),(8)若 ，则,例3：设A为n阶矩阵，证明,？,？,是嚎般词讶霞移讣饵心剑较狸拆泳广永惦帽冬谤刨年并顾紫霖休碴缘筛乓线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩线性代数复习（广东外语外贸大学）2.6矩阵的秩,