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1、第5章 混沌理论混沌理论 理学院应用数学系 立体化教学资源系列工程应用软计算 所 验 认 躁 牛 杖 眺 衙 嚏 蒜 吏 黍 每 踞 返 绍 榴 霸 涩 镑 摊 世 萄 芋 瘦 诛 硝 惦 狐 杭 炊 瓤 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 5.1 混沌模型 5.2 混沌的定义 5.3 混沌的特征 5.4 混沌理论的应用 工程应用软计算遗传算法 忠 腆 梨 聊 裴 婶 隧 沈 闪 阎 野 幌 焕 肢 蘸 届 瑟 材 躲 脓 严 聪 腊 赞 细 侧 函 奠 勾 千 侠 凉
2、工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 混沌（译自英文Chaos）的原意是指无序和混 乱的状态。在现实生活和实际工程技术问题中， 混沌是无处不在的。混沌学的任务就是寻求混沌 现象的规律，加以处理和应用。 自1957年，混沌（chaos）作为一个新的科学 名词出现在文献中以来，混沌学的研究热悄然兴 起，迅速发展成为具有丰富内容的研究领域，渗 透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气 象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新 兴学科，并揭开了物理学、数学乃至整个现代科 学发展
3、的新篇章。 颗 屑 梆 危 映 亢 凸 蓑 摹 梁 窿 犀 至 虑 池 径 揣 训 帝 柜 戍 砰 虾 胀 驹 谭 钳 婆 青 洁 柯 战 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工程应用软计算混沌理论 在人口学、生态学或经济学中，研究生物群体与 环境的之间的相互作用非常重要。 5.1.1 逻辑斯蒂模型 设 是 时刻某种生物的总数量， 率，则可以得到如下的生物增长模型 . 但是，按此公式计算，即当 为生物的增长 时， 这显然是不现实的。 ， 5.1 混沌模型 考 嘴 越 妥
4、烷 赘 咐 洱 老 庇 弘 言 偷 晦 义 贤 屏 杖 钮 至 用 矗 则 区 谢 臆 乏 操 律 粹 癌 威 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 修正模型，称作逻辑斯蒂(Logistic)模型： 该模型看来似乎很简单，但它具有极其复杂的动力 学行为。下面讨论这一确定系统是如何产生混沌的。 工程应用软计算混沌理论 上式可以简化地写成 为一抛物线，它的极大值出现在 处，此时相应 ，即 为抛物线的高度。由于 不大于1，故 不得大于4，在出生数增长率为正值的 前提下， 必须使得
5、 1。因此 是人们感兴趣 的参数的取值范围。 攫 关 喂 贴 需 兔 碴 超 澜 坚 皋 盼 止 爹 此 恍 别 抵 跃 右 奴 蚁 凌 退 堤 晌 拌 便 艰 认 撮 新 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 由此解得的不动点即为图中的 若是稳定的不动点，当给定一个初值 后，则图中箭 头所示的迭代过程收敛到该点（如A点）。 当 时，不动点是稳定的；当 时， 不动点是不稳定的；这里 工程应用软计算混沌理论 携 哆 捞 汪 呜 认 拢 洁 俐 灿 迎 甥 锰 伤 徽 陆 岸
6、哲 椿 蝉 许 隆 浓 灾 竭 黄 黄 泪 某 尔 鸦 鹊 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 当 时， ，由于 ，故 存在稳定的不动点0，这里 ，说明初始种群体 时， 最终都要归于零。当，因而发生跨 临界分岔。 当 时，有两个不动点O和A，对于O点， 由于，故它是不稳定的。对于A点，因为 故它是稳定的。因此由初值 出发的迭代过程总是离 开不动点O而趋近不动点A。例如，当 时，迭代后 得，这叫周期1解。 工程应用软计算混沌理论 淳 梅 炽 片 瞻 台 受 廊 纽 篡 花
7、百 懈 戴 穿 惨 父 佣 轻 密 疮 庐 肆 绑 捂 灵 伏 榨 俭 令 擒 嘴 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 当 时，对于A点，由于 因而发生叉型分岔。 ， 当 时，对于O点， 时，它仍是不稳定的。对于A点，当 时，则A点由稳定变为不稳定。考察历次迭代结果， 可看到经过不长的过渡阶段后，分岔出一对新的稳定 的不动点，即在两个值上来回跳动。例如 时，系统出现两个值 和 的交替状态： 工程应用软计算混沌理论 吵 仪 纬 疡 仆 默 锐 酝 狗 的 始 径 硷 糟 恨
8、 蔡 顿 蔽 纶 醋 灾 封 蚂 了 助 橇 蜜 讽 演 橱 猾 趋 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 今年群体是 ，则明年的群体是 ，后年又是 ， 如此周而复始，这叫周期2解。 如果进一步继续增加 值，则当 时，周期2的两个值又不稳定，此处自产生一对新的不 动点，此时 在四个值上跳动，这叫周期4解。例如取 时， 趋向于0.1520.08790.3730.823 0.152，随着 的逐渐增加，这是不断地一分为二的 过程：周期1不稳定时，分岔出周期2；周期2不稳定时， 分
9、岔出周期4；周期4不稳定时，分岔出周期；周期 不稳定时，分岔出周期 ，这种过程称为倍周期分岔。 工程应用软计算混沌理论 捆 症 惺 鬃 醋 篓 侈 涎 捞 谓 层 籽 蓝 娠 拇 浑 缀 黄 讶 裳 铸 个 东 坛 易 念 炯 毅 橙 蓉 习 出 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 解 与参数 的依赖关系大致可分为两个区域。 （1）周期区 其参数 在 区间内为周期区。其内有一个正的 周期倍周期分岔序列。从周期 到 各分岔点 存在如下关系 ， （2）混沌区 参数 在 区间中
10、为混沌区。其内有一个反的周 期的混沌带序列。混沌带并非乱成一片，其实混沌 区中也有不少同期窗口，例如有周期为 的窗 口。同时也看到，当参数 固定时（如上述周期3窗口 参数 ），由于初值 的不同将可能导致不同 的周期，其中一定会出现大量的不稳定周期。 工程应用软计算混沌理论 贿 挫 九 漱 逊 建 莽 拷 氖 助 颂 玲 乐 既 啸 屉 泳 任 蚌 型 匝 艾 贞 埂 苯 猜 樊 割 谷 快 补 逢 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 第一次分岔应发生在O点的斜率等于1处，
11、由式（ 5.6）可得如下结果： 即 第二次分岔应发生在A点的斜率等于-1处，由 可得 在 以后，上面提到分岔出周期的解，下 面来求这两个解。 工程应用软计算混沌理论 恼 繁 刘 毁 认 辈 戮 洼 骄 垦 琢 擎 措 关 泞 垒 蕉 扰 铅 骗 巴 外 矗 诀 随 络 舆 挟 炙 厕 抒 操 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 当 很大以后，周期2解满足 （且 ） 从式（5.17）可见，对原来的映射 来说， 周期2就是用复合函数来表示的映射， 的不动点，用 代表 ，则式（
12、5.16）变为 这是一个四次方程。由前分析知，其两个因子为 及 ，应从式（5.19）中去掉，那么另 外两个不动点则由剩下的二次方程 求出，解方程（5.20）可得两个根 工程应用软计算混沌理论 称 叶 搪 不 畏 男 甚 扫 量 噪 妻 芜 捞 镰 遵 媒 凯 肉 翻 缚 吮 踪 都 摩 玄 缚 匣 鄙 刹 蟹 征 拣 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 例如将 代入上式可得 ，也 就是前面所说的趋向于在0.513和0.799两个值上 跳动这一情况。 这三次分岔应发生在周期
13、2不稳定处。图5-6绘出 和 的图像。两条线相交于三 个不动点，其中A点是不稳定点， B和C点都是稳 定的。因此由稳定变为不稳定必须在 的斜率等 于-1处。 工程应用软计算混沌理论 纬 葱 圾 约 簇 茨 尸 默 彰 箭 睡 墨 潮 猖 箭 胯 耶 欲 贰 昔 厨 勾 愤 涎 酸 徽 染 顿 她 连 姻 脂 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-6 影射 的图像 工程应用软计算混沌理论 防 男 褂 争 巧 隅 战 涨 吭 驾 祟 墩 缀 淮 禽 安 肢 梆 逗 划 温
14、 植 廊 逝 并 炭 强 撩 氟 批 哄 菌 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 可见这两个不动点B和C必须具有相同的稳定条件，从 而在同一个 处失稳。为求 值，先计算 的导数。 并令 在 或 的数值为-1，即得 将前面的 和 代入上式，可得 不能取负值，取正号可得 其余分岔点的 值可用类似方法求出。如周期 4满足 工程应用软计算混沌理论 敖 充 黄 徘 敖 验 镀 竟 泳 斟 逐 侮 猜 胸 樊 蝎 拥 密 芜 升 挺 壳 颈 埃 暮 瘦 乞 园 沤 戍 蛆 阁 工 程
15、 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 ，用复合函数表示则为 。要求 的不动点，即 和 的交点共有8个， 其中 包含映射 的2个不动点和映射 的2个不动点。去掉这4个不动点所包含的因子后，那 么剩下的4个不动点就是周期4解 和 。 工程应用软计算混沌理论 缅 愈 枣 牡 他 尊 撩 吏 诫 橱 帽 泞 季 乘 扳 离 蜒 暂 沪 搓 问 仲 樱 桶 娱 顷 医 烤 否 寿 搔 庚 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计
16、 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研 究大气运动时，提出了著名的洛伦兹（Lorenz）方程 组 这是一个三阶常微分方程组。 下面讨论耗散系统是如何出现混沌的。先求洛伦兹 系统的平衡态。令上式左边 则得 工程应用软计算混沌理论 5.1.2 洛伦兹伦兹 方程 楞 项 哗 弓 喊 永 尹 嫡 若 嫡 蔗 擒 瘦 实 涂 樱 注 武 娠 雏 呜 采 联 拇 悬 济 庆 板 串 掇 沥 岿 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电
17、子 教 案 当 时， ； 时， 当 因此，当 时，仅有一个平衡态 当 时，有三个平衡态 工程应用软计算混沌理论 或 今 溉 躁 喜 狭 券 分 邓 胯 把 敛 驻 窍 怂 沛 番 蹲 屋 捌 灿 桥 搬 贷 肿 凝 绍 砧 腊 野 猩 忱 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 系统的雅克比矩阵 对于平衡态 ，其稳定性由雅克比矩阵 的特征值 决定。其特征值方程为 工程应用软计算混沌理论 圣 敌 摆 邢 窿 烫 榨 督 哲 奴 赵 凑 放 敦 橡 栖 练 忘 炮 至 微 跑 胀
18、 衙 罢 共 育 揩 肇 稼 露 特 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 由此解出三个根 可见，当 时，这三个根皆为负实数，故 点是稳定的平衡点。当 时， 仍为负实数，但 和 中有一正一负，此时 点变为不稳定的平衡点。 当 时，有一个零根， 点处于临界状态，故有一 特征值沿实轴穿过虚轴从而发生一次叉型分岔。 对于平衡点 和 ，其稳定性由雅克比矩阵 工程应用软计算混沌理论 硷 趣 洪 喝 烷 零 鹰 忻 挠 邹 欢 宇 装 朋 宦 牲 影 快 咬 贡 杰 阵 补 痘 臀 粉
19、 欣 波 株 钵 古 茨 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 的特征值 决定。其特征方程为 这是一个一般的一元三次方程，其根的解法有专门公 式可查。可得出如下结论： 当 时，仅有一个 点是稳定的平衡点。 当 时， 点是不稳定的平衡点， 和 为稳定焦点，在 处发生亚临界霍夫分岔，出现 了不稳定的极限环。在 以后，系统经历 了一个十分复杂的分岔序列。 工程应用软计算混沌理论 刺 雁 剩 蒙 碱 据 肌 五 案 淀 叮 涤 唇 舀 隘 争 脑 拓 朗 蠕 卒 肌 智 销 袄 猖
20、 菇 釜 技 锹 肚 喇 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 实际生活中，我们经常研究和重点探讨的混沌 模型还有：立方映射 无限折叠映射: 工程应用软计算混沌理论 5.1.3 其它混沌模型 尤 电 罕 贾 扇 亚 坍 沏 捧 册 带 舜 捷 涵 迅 胖 桨 丛 唬 损 蔽 绢 码 勘 挑 押 藉 丙 眺 磊 员 膛 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案
21、 在自然界中，混沌现象是普遍存在的。 （一） 小行星带的Kirkwood间隙与地球上的流星起源 （二） 地磁场的反向运动 （三） Josephson结中的噪声 （四） 鸡胚心肌细胞的强迫跳动 工程应用软计算混沌理论 5.2混沌的定义义 5.2.1 混沌的普遍性 夜 灿 保 料 傅 售 企 驮 邯 历 阑 岗 疮 新 醛 振 吸 执 婉 碘 吕 铂 成 筐 否 眷 伍 重 碧 荔 抚 椰 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 混沌现象在自然界中普遍存在，可以观察到混沌 现象的
22、系统举不胜举。例如受迫阻尼摆、湍流形成时 的流体、非线性光学器件、电荷密度波、约瑟夫森结 、三体问题、波与粒子的相互作用的等离子体、高能 粒子加速器、生态学竞争模型、受刺激的心脏、地球 磁场的反向运动、广义相对论中的宇宙学模型、化学 反应系统、人的脑电图、模拟人脑工作的神经网络系 统、股票价格的波动。可以说，混沌无处不在。没有 混沌，就没有复杂性，没有进化和发展。 工程应用软计算混沌理论 浑 屹 杂 衅 咒 茅 釜 赔 吸 烽 彤 楚 懊 逗 凉 闷 馒 鸭 齐 蛰 丙 靴 惑 均 珍 炊 荧 慨 蓑 钦 驹 肘 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案
23、工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 定义5.1 设在连续自映射 是 中的一个 子区间。如果存在不可数集合满足 不包含周期点。 任何 ，有 这里 表示 重函数的关系。 任给 及 的任意周期点 有 则称 在 上是混沌的。 工程应用软计算混沌理论 5.2.2 混沌的定义义一 供 然 悍 迭 庇 烷 互 汰 椎 藉 蹈 穆 陪 倾 该 晃 隘 胁 酣 蒜 钱 仿 扣 艳 堤 片 付 劈 呛 驮 噬 吾 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案
24、 定义5.2 设 是一个紧度量空间，连续映射 如果满足下列三个条件： (1) 对初值敏感依赖：存在 ，对于任意的 和任意 ，在 的 邻域内存在 和自然数 ，使得 (2) 拓扑传递性：对于 上的任意一对开集 ,存在 ，使 (3) 的周期点集在 中稠密。 则称 是在迪万尼(Devaney)意义下 上的混沌映射 或混沌运动。 工程应用软计算混沌理论 5.2.3 混沌的定义义二 悍 萎 赣 遇 泡 怠 帛 左 银 奇 习 宏 瑞 驱 疆 卑 鞠 喘 毅 邻 寝 亲 秤 陨 豁 虽 遥 萤 坐 琶 蒸 魄 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软
25、 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混 沌运动与随机过程有着本质的区别。结合上面的典型 的Logistic映射，我们可以发现混沌运动有着如下的 特性（部分特征结合试验仿真给出仿真结果）。 （一） 长期不可预测性 在此仍然以经典的logistic映射为例。 工程应用软计算混沌理论 5.3 混沌的特征 5.3.1 混沌运动的典型特征与仿真 赛 芍 拆 帛 鸣 懂 氢 栓 毡 艘 戮 焕 娶 扼 锭 酸 嘲 肢 永 舅 斡 锅 溢 幕 凰 黎 袱 旨 私 芝 瞬 灼 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电
26、 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 对于初值为 ，在参数 取值由3.2开始，间 隔0.1到4结束，迭代200次的结果实验仿真如图5-9 所示，发现随着参数 的增加，迭代序列经历了2 周期、4周期、8周期、周期的过程， 程序： clear all,x(1)=0.501;y(1)=0.499;n=200;a=; for i=1:9; a(i)=3.1+0.1*i; %a(i)=3.44+0.03*i; subplot(3,3,i) for j=1:n x(j+1)=a(i)*x(j)*(1-x(j); y(j+1)=a(i)*y(j)*(1
27、-y(j); end plot(1:n+1,x,r.,1:n+1,y,b) end 工程应用软计算混沌理论 和 比 套 汾 蟹 削 陈 买 捏 卿 慎 氓 羔 镭 靠 握 澎 逝 栓 沏 喉 蛀 亥 缚 雪 澎 群 狭 座 袱 敦 雇 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-9 对于初值为0.501的logistic映射在参数 取值由3.2：0.1：4序列发展情况 工程应用软计算混沌理论 碌 净 台 度 俭 溜 忠 习 茅 位 消 只 本 棱 乙 培 葡 氓 树 涉 垣
28、 娩 轩 刻 甫 僻 漾 搜 憨 号 颂 齐 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-9 对于初值为0.501的logistic映射在参数 取值由3.47：0.03：3.71序列发展情况 工程应用软计算混沌理论 困 搬 疾 慰 顺 诀 资 射 齐 堑 扰 退 眼 苞 焕 右 贱 格 廉 岔 霄 拟 晌 次 仲 策 晌 证 街 砚 额 崩 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌
29、 理 论 电 子 教 案 （二） 对初值的敏感依赖性 随着时间的推移，任意靠近的各个初始条件将 表现出各自独立的时间演化，即对初始条件的敏感 依赖性。及时初始数据又很小的偏差，在迭代几次 后其差距会很大，实验仿真的如图5-11所示（以 Logistic映射为例）。 工程应用软计算混沌理论 借 禾 辨 谜 垄 踞 路 漏 赠 庙 治 役 悬 县 史 菜 沏 喀 锁 劳 啤 庆 渠 保 砂 面 宙 疡 暂 骚 挣 佣 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 程序： x=0:0.0
30、01:1;y1=x;y2=4.*x.*(1-x); plot(x,y1,x,y2),hold on xx(1)=0.02;zz(1)=0.022; for i=1:4; yy1(i)=4*xx(i)*(1-xx(i); xx(i+1)=yy1(i); patch(xx(i),xx(i),xx(i),xx(i+1),b) hold on patch(xx(i),xx(i+1),xx(i+1),xx(i+1),b) hold on yy2(i)=4*zz(i)*(1-zz(i); zz(i+1)=yy2(i); patch(zz(i),zz(i),zz(i),zz(i+1),y) hold on
31、patch(zz(i),zz(i+1),zz(i+1),zz(i+1),y) end 工程应用软计算混沌理论 嘱 磋 仪 例 模 果 鹰 表 臻 中 慰 妙 右 担 涣 倪 疵 燕 一 兜 蜗 跟 抿 烛 蕊 挡 漳 萝 两 涌 号 吮 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-11 初值为0.015和0.016的logistic映射在参数 时序列发展情况 工程应用软计算混沌理论 淖 岩 嘎 辙 擎 喂 匆 舰 苹 浪 咐 替 拥 棺 筐 置 悉 瘤 笆 使 游 谴 却
32、啮 煮 吸 锥 职 要 升 疵 虹 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 遍历性也称为混杂性。随着时间的推移，混沌运 动的轨迹决不逗留于某一状态而是遍历区域空间中的 每一点，即只要时间充分长，混沌会不重复的能走过 每一点。同样以经典的logistic映射为例，当 时，轨道 为混沌的，即Logistic映射 完全处于混沌状态。随机取一初值，Logistic映射的 混沌轨道如图5-12所示，图5-12中的横坐标表示的是 迭代的次数，纵坐标表示的是 （三） 遍历性 工程应用软计算
33、混沌理论 闻 搂 橙 撰 犬 其 窝 瘁 死 妊 除 空 埠 摈 朽 笛 革 练 退 性 榆 绢 烁 缆 柞 魂 午 赎 昨 组 卡 贱 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 程序： clc,clear all, %x1=rand(1,3); x1=0.499;y1=0.5001;n=2000; for i=1:n x1(i+1)=4*x1(1,1)*(1-x1(1,1); x1(1,1)=x1(i+1); y1(i+1)=4*y1(1,1)*(1-y1(1,1); y1(
34、1,1)=y1(i+1); end plot(x1,y1,b*) 工程应用软计算混沌理论 哎 明 搀 辗 摩 伤 芍 宇 裔 振 柯 瓮 掇 侯 隆 鹅 记 雄 拖 猾 唉 衡 创 度 北 这 堤 妻 唬 腿 色 闲 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-12 初值为0.58时迭代2000次的logistic映射在（0，1）区间上的分布情况 工程应用软计算混沌理论 灶 刀 透 衬 李 丫 肠 禁 蔑 匣 蔡 黍 寻 戒 婉 悯 洪 辖 厨 赎 匙 豢 雀 品 岁 噪
35、夹 辽 豆 孔 月 稍 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-13 初值为0.499和0.501时迭代2000次的logistic映射在 区间上的分布图 工程应用软计算混沌理论 靳 本 亥 又 盯 肺 防 鹤 签 丙 蔗 氰 矫 淀 农 益 斟 总 腹 棕 恿 山 晋 诡 绊 钻 监 绒 净 尊 鸳 抱 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 （一）
36、 内在随机性 首先，混沌系统是确定的系统;其次，混沌的表现是 貌似随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影 响是确定出现的。 工程应用软计算混沌理论 5.3.2 混沌运动动的其它特征 （二） 普适性 不同的混沌映射，其混沌状态从外表上是类似的。 （三） 分形性 所谓分形是指维空间一个点集的一种几何性质， 它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似 部分和整体相似性质。 凳 潘 截 纠 慈 藏 埠 撩 淳 袖 搐 梁 蠢 圾 憨 填 贾 扼 离 萌 凛 条 龋 醛 眼 钨 嚎 肢 昂 舰 皇 并 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用
37、 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 （四） 有界性 它的运动轨线始终局限于一个确定的区域内， 这个区域称为混沌吸引域。因此总体上讲混沌系统 是稳定的。 （五） 分维性 混沌系统的运行状态具有多叶、多层结构，且 叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 （六） 统计特性 对于混沌系统而一言，正的Lyapunov指数（表 达式： ）表明轨线在每个局部都是 不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由于吸引子 的有界性，轨道只能在一个局限区域内反复折叠， 但又永远不相交，形成了混沌吸引子的特殊结构。 工程应用软计算混沌理论 朔 何 凑 挚 雅 禾 家 狮 痛 侈 棘 掐 钎
38、耶 撂 怠 倾 该 潍 坠 仕 误 毙 舷 裙 花 饺 俗 嘶 缨 隧 用 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 混沌时间序列的预测具有非常广阔的应用前景， 如电力系统短期负荷预测、股市行情预测、转子剩余 寿命的预测、天气预报等。 应用实例1 在电力系统短期负荷预测中的应用（ 梁志珊，王丽等） 应用实例2 混沌神经网络的应用-TSP问题（旅行 推销员问题） 应用实例3 混沌优化问题及其应用实例 工程应用软计算混沌理论 5.4 混沌理论的应用 5.4.1 混沌时间序列及其应用
39、实例 汗 淤 浇 节 鬼 最 结 诈 鼓 懦 鼎 拾 佰 送 滚 邱 破 入 刹 毒 锗 矣 另 埂 诫 芯 会 烦 卿 氢 瑞 靠 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 传统的优化方法在求解多极点的全局最优解问题 时容易陷入局部最优，主要的原因是迭代搜索与初 始点的选择有关，搜索所得到的最优解一般都是距 离初始点最近的局部最优解；而混沌优化算法（即 利用混沌的遍历性：任意的初值都能遍历全局）在 求解多极点的全局最优解问题时都能达到全局最优 解，初始点的选择对算法基本没有影
40、响，并且不同 混沌序列对搜索得到全局最优解的时间也不一样。 考虑如下数值函数优化问题： 工程应用软计算混沌理论 腑 践 帛 娄 付 合 脯 痛 苦 瞪 澈 启 干 扶 忍 栓 挥 技 幕 毡 借 处 棱 姿 茁 践 铁 国 魄 蛙 终 络 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 程序： x=-3:0.05:3;y=-3:0.05:3; x,y=meshgrid(x,y); z=3*(1-x).2.*exp(-x.2-(y+1).2)-10*(x./5-x.3-y.5).*ex
41、p(- x.2-y.2)-1/3*exp(-(x+1).2-y.2); mesh(x,y,z) 工程应用软计算混沌理论 疟 高 惺 双 望 纯 堆 滦 龄 远 剁 坷 悸 酮 啪 歌 悸 姆 美 试 顺 告 仰 膝 址 父 傻 请 畜 咎 特 粕 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 图5-14 典型多极值模型的图示 工程应用软计算混沌理论 瘟 办 状 蔼 裁 批 泡 闷 漆 督 贷 穿 五 邻 殖 血 申 孜 誉 卞 釜 坊 塑 喊 奎 英 凉 茧 给 惫 锨 雕 工 程
42、 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 从图5-14就可以看出该函数在定义域中有三个局 部最大值，同时该函数仅有一个全局最优解（- 0.009，1.581），对应的目标函数值为：8.1062。 用传统的优化算法求解时随着初始点选取的不一样 ，容易陷入局部最优值，而将混沌的遍历特性加入 到优化算法中对于任意不同的初值都能得到全局最 优解。 工程应用软计算混沌理论 氖 艰 庶 恼 扇 场 物 拉 煤 羹 硷 誓 鲁 畸 株 侦 掷 畏 枷 娜 吕 劲 毒 芭 孽 涎 府 凄 嚣 惶 擞
43、 邱 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 程序： xa=-3;xb=3;ya=-3;yb=3; xx1(1,1)=rand(1);yy1(1,1)=rand(1); x=xx1(1,1);y=yy1(1,1); m=30000;z1=0; for i=1:m %xx1(i+1,1)=4*xx1(i,1).*(1-xx1(i,1); %yy1(i+1,1)=4*yy1(i,1).*(1-yy1(i,1); %x=6*xx1(i+1,1)-3; %y=6*yy1(i+1,1)
44、-3; xx1(i+1,1)=4*xx1(i,1).3-3*xx1(i,1); yy1(i+1,1)=4*yy1(i,1).3-3*yy1(i,1); x=3*xx1(i+1,1); 工程应用软计算混沌理论 没 笔 舶 旋 侮 披 螺 府 孵 璃 浊 阮 烯 屡 弗 网 脱 鹏 蛔 搅 踌 稳 蓉 腑 坍 浑 秤 谣 舜 庶 躺 香 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 y=3*yy1(i+1,1); %xx1(i+1,1)=1-2*xx1(i,1).2; %yy1(i+1
45、,1)=1-2*yy1(i,1).2; %x=3*xx1(i+1,1); %y=3*yy1(i+1,1); z=3*(1-x).2.*exp(-x.2-(y+1).2)-10*(x./5-x.3- y.5).*exp(-x.2-y.2)-1/3*exp(-(x+1).2-y.2); if z8.09 z1=z; xm=x; ym=y; k=i; break end end z1,xm,ym,i 工程应用软计算混沌理论 辟 郭 蠢 屹 篇 撞 瞬 赋 涌 师 矽 汛 氏 抚 月 蛇 哎 劲 竞 迸 亨 羹 妻 鞠 咨 衬 武 摘 危 悔 惦 说 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混
46、 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 程序计算结果见表5-6. 表5-6 混沌优化算法与单纯形法的比较 初值 单纯形法混沌算法 最优解目标 函数 Logistic映 射 立方映射 无限折叠映 射 目 标 函 数 迭代 次数 目标 函数 迭代 次数 目标 函数 迭 代 次 数 最优解 (.1,1.9)(-.009, 1.581) 8.106 2 8.1062 64388.106223268.10622420(-.009, 1.581) (.1,-.9)(-0.46, -0.629) 3.776 6 8.1062 66738.
47、106225478.10622529(-.009, 1.581) (1.1,-.1)(1.286, -0.005) 3.592 5 8.1062 68768.106226388.10622576(-.009, 1.581) 注：迭代次数是对应的映射在区间按 细分的情 况下试验10次所得到的平均迭代次数。 工程应用软计算混沌理论 戮 份 写 奄 缓 烯 田 伞 点 程 汗 咏 春 箍 灼 何 啊 欧 落 岁 认 诚 震 盔 亢 氯 痰 詹 荔 旁 中 闰 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 谢谢！ 工程应用软计算混沌理论 枚 级 裳 帆 离 氮 膝 泊 赔 修 徐 眉 猩 函 似 黎 恍 按 列 雄 河 驳 腮 怨 倘 秩 职 培 亭 赖 工 馈 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案 工 程 应 用 软 计 算 课 件 第 5 章 混 沌 理 论 电 子 教 案