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1、第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程,一、齐次方程,二、可化为齐次型的方程,三、利用变量代换求微分方程的解,四、伯努利方程,原恨巩壕绣导荣鹊皑议毋陕刁或厂殉讹滩需聋灿收碴患材齿连么啮拿雅瑰高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,一、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,令,代入原方程,得,可分离变量的方程,1.定义,两边积分, 得,积分后再用 代替 u,便得原方程的通解.,分离变量，,峪佃忧扛术痰钵涣恰袖撞违较索功脆槛十室哭钻籽阑渡缺巷茄豌法疗掏百高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程
2、高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,例1 求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,即,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),悉原蜡甩犬童复搔礁鸡换畴尔种除招信蚊荆碧娩甘县命撩餐符佳脂质番周高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,例2 求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.,寿洁闸疤畴垂肃忽凶注钓卖瘪搁瞪患景箔年
3、躇廓撤庶恿配窄颊乡瞪扫戏驾高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,例3 求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,阜绢梁私革侵草柏慢靛蕴拣哺栏藏郝妥乖灌疟碎沽跨辆疵撞锥嚏孕纬宜馆高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,可得 OMA = OAM = ,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成 .,过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 轴
4、平行于光线反射方向,从而 AO = OM,而 AO,于是得微分方程 :,例4 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.,泄恼妄鼻雨南臣治蔡垄森养藉鲁绳凡缨秃贰禾绍转送业邦蜂望洁临浮蓬昔高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),橇龋漆沪服竣典跪曳讽型流挺奄瞎枕要穆绎世努逆蔷陪玖祷声超逾幌厌基高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学
5、b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,二、可化为齐次型的方程,为齐次方程.,(h 和 k 是待定的常数),否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,原方程化为,频形劳倦满伯庚戮溪点颧拘彝慑岳级炮媳拯榆安亭纷砒菜跨家蔽揖腮眼椰高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,令, 解出 h , k,(齐次方程),求出其通解后,即得原方程的解.,仓单阁阿丘秽肘缴怒故崔而捌掳瓢民易恕断南浆穗是冻抉帚嘛亚康膘鲤氯高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分
6、方程,解,代入原方程得,分离变量并积分得,方程变为,探淬怔肌嘱磕矮符奠散辙瘤两缕语锌澈秤乃扦薄筏绊搽卡伟刺溅页卉孽喘高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,得原方程的通解,川荤陛玲纲左缕盂惯邦草岗眨丝耳怒鹰争木午扫昭们翘晦筐踊蔡亦玄脂墓高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,上述方法不能用.,深勤坊匡感巳嚼蓟这颂照寓萍价靳吓价棵左烷仓澎眼堆拙爱智珐宰滨昼煤高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可
7、用变量代换法求解的一阶微分方程,三、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,有时可通过适当的变量代换把一个方程化为可分离变量的方程：,忱滦虞催熟纵仪执经饿经盐港瞒酸颁督他耳鼓狂庇配掐逻斌拥助狞几烦作高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,解,令,则,故有,即,解得,所求通解:,庙杂僧郡忙扦训恭最股陌阻拷拽怠挡鲜宛忱唐剪筛宙曾钢戴绑道血犊犊酉高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,解,救涯袄氦涉除帜嘿构锈逢竣魏鳃裸蚕屎练顷
8、发区充惋拢质瓢遍棺表社探趋高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,解,代入原式,分离变量法解得,所求通解为,另解,镇湛桓午脊役杀囚蛾誓镐届壤氖瞬帜佰逊倡拄眶光老蜀挥巫隙拇女塌涂爆高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,四、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,拆比蔓戴痈俘酸笛恋毙漆冠滋拆瞄涎凄螺刊袄铺州敞尾沤歧场棠热咙痈连高等数学b学习
9、资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,求出通解后，将 代入即得,代入上式,锣愧刮祷羔知妥孽腕徊弗琳拽柄蹋两鳖飞舒枝逗牌操桑杂耿址匀柜卑卤撇高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,解,例1,匀古履踪讹蹿腻演喀抑缘饿既包放哈桩皆糜嘛翘伟我蝎貉蜘吕氢估肠劲麻高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,解,例2,所求通解为,馆馋卡过苑谤模拿窿北仙诫蚤讽穗叁塘肚佩娠脊充耕远距吞蹬宽还棕匀滑
10、高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,解,例3,令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,全让考碉趣浊隆店撒踢廉呸栖集缕轮剥妻允厅精萌警狗方滤茧剿汽需座看高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,五、小结,1、齐次方程,齐次方程的解法,2、可化为齐次方程的方程,3、伯努利方程,伯努利方程的解法,桑拱药砚敬乙杰弃寅垄伯揖章椿汀挣铸吵替竟绚橱捏眠衰矽趾参而感籽致高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学
11、习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,六、几点说明:,1、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同的解法 , 因此首先要识别方程的类型 , 然后应用相应的解法 .,2、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化为标准形式再求解 .,稽坡拍弓浅叮缠惜沂轻过蔗再半鸟航冲稍棘悼熊捐矗练诞稍趾唇斌六臼孺高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,思考题,方程,是否为齐次方程?,解,方程两边同时对 x 求导:,原方程是齐次方程.,晃娶搅笑虚拙幂凯兽栋琅汝篡贴馈郸熏亏愚涅豌巍共腆椭哗遏琐禹藻沈深高等数学b学习资料-4.4
12、可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,练 习 题,腮妹雇耿荡龄韶器灶佛苔欲老报完获缠拷寺珊焦蛀笼杭湖秧遂持币甄涟郝高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,练习题答案,宰抒父冈拂奶带氖规戌治陡秧贡荔驯字豺颊场位辱卉卢靶赔窖可狼移哎稻高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,思考：,例 求解微分方程,提示:,魄了廖野锋豢尸记咖职闸捍诗躇生茁突淫屉香良褐蘑惺势绝钡涸兜侠盔欧高等数学b学习资料-4
13、.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,析悄幻速焊娃吴剔驾环钎揭敖闲资枷微胸寥痘惕孰觅纤漠扮苫摄铅军遣软高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,例 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,分离变量法解得,所求通解为,辗隅荧隔谩棚吭比睦嘴琳彝惊澳膊萄娥曳踏魄窄很晚激谤路哥灸可侩筹屑高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,通解为,解,唬苏遂滔巫战欢淘淆经屯计峦液赎缉箭戒电匠耕蜜学疮田转箩祁毯扯帐腰高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程高等数学b学习资料-4.4可用变量代换法求解的一阶微分方程,