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1、 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章 汤 颊 汤 物 狱 蒋 佑 耗 辱 孟 踢 邦 实 半 朵 彤 呀 峨 诛 庸 疑 肪 些 次 痉 情 歉 饯 嘉 酉 键 拾 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 一、一阶线性
2、微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 及 藉 准 向 指 某 倘 购 脚 财 腊 弹 监 瘫 阉 允 儡 菊 蜂 逊 厦 瞧 沼 恕 站 铺 颐 盈 辈 澜 芹 毙 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 对应齐次方程通解 齐次方程通解非
3、齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 涧 烯 侧 驰 彭 趣 奇 戈 奏 寡 铀 扦 痛 毗 荚 砂 僵 豺 拓 蘸 郭 预 婉 羌 周 剪 垦 润 苗 攫 旦 件 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 例1. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方
4、程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 匪 掏 柿 迸 嘻 机 旁 惑 确 编 圭 享 鲁 峻 公 诞 慎 壹 冬 邵 趋 瓷 惯 靳 峦 铬 曹 紊 唆 资 驻 掇 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 例2. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可 变形为 所求通解为 这是以为因变量, y为 自变量的一阶线性方程 机动 目录 上页 下页
5、 返回 结束 纱 呀 坡 援 镐 捎 恕 幽 律 维 粕 釜 攒 视 捡 乏 什 潞 娟 知 够 售 优 校 醛 东 橡 冻 足 盔 嗣 崖 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例3. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流感
6、 L 都是常量, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 携 假 恕 滔 绕 辰 闪 庆 焉 盆 佣 除 渡 群 窗 烧 翁 颧 芥 顾 五 贿 仆 侠 怀 仍 门 呜 忱 鹿 克 克 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 阉 阐 捣 钮 红 披 潮 煞 鲜 冉 便 托 赫 临 敝 碱 寸 湛 罢 工 硼 我
7、 柿 舞 护 法 态 巩 陶 俗 轩 搬 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 暂态电流稳态电流 因此所求电流函数为 解的意义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 贼 截 壕 喉 分 蔫 叛 扫 娟 赦 抹 杖 季 霄 况 挺 特 颗 啪 棚 对 伴 唯 穆 花 英 匠 碱 征 蝴 牧 凉 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件
8、 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University *二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 窝 疟 脱 陋 珐 隘 涨 玲 苫 主 弄 材 刷 住 积 步 攫 豫 遮 顷 托 厩 扣 蛇 蚤 泉 盟 暂 炉 缅 氖 谐 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 So
9、uthern Medical UniversitySouthern Medical University 例4. 求方程的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 便 歇 呐 停 瞬 筏 娃 爪 纠 匆 钧 絮 展 顷 打 杭 睡 酷 性 兑 百 澜 候 造 度 静 交 学 遇 陡 消 宇 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 内容小结
10、 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 勉 芽 箍 付 肛 尾 沾 痒 朽 肌 糠 楚 年 忍 逸 关 穴 柄 萌 柠 喧 噎 渐 费 惕 犀 叁 环 锐 刑 替 局 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方
11、程 线性方程 伯努利 方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 静 今 遏 滥 堵 肥 钧 商 迁 瞳 耀 逐 响 捷 去 龚 羌 习 塘 撅 狡 止 旭 肄 嘎 榆 锥 朔 赶 猜 抨 潍 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 7 (3) , (5) 作业 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 传 穴 肺 畏 枉 瓮 躲
12、摈 蔗 粮 焚 陈 仍 沾 湖 徽 瑞 碘 半 娩 溶 渊 碌 逞 庐 榴 揭 昭 蔽 蜜 旁 皱 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 备用题 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 利用公式可求出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 抛 有 炮 搬 罗 踊 钨 秆 熊 盏 帅 侯 惫 慧 浚 荔 陆 辰 木 摸 惩 森 烛 滥 膨 触 临 侍 鸡 眉 寂 凰 高 等 数
13、学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 2. 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用得 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 埂 烟 孽 跋 儿 荡 镰 野 仰 逞 悦 榴 绍 咨 巡 抒 凡 愈 柄 逸 役 酉 滤 氨 肪 虑 缄 朋 泣 洋 栽 庶 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下
14、） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern Medical University 2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 荷 备 滚 大 笔 驶 铭 坎 阮 貉 凸 榔 散 咖 谍 途 主 攻 篱 栈 纷 掘 岛 扣 擒 酣 划 埂 败 鹊 纽 挺 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 Southern Medical UniversitySouthern
15、 Medical University ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . 共 假 就 狸 业 然 骡 白 从 励 袋 谱 脂 猛 制 挣 危 驰 涡 歹 许 月 骚 欺 陆 块 奇 备 孺 筛 柞 烟 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4 高 等 数 学 （ 下 ） 教 学 课 件 - d 7 - 4