1、第四节一、几种常见的曲面及其方程一、几种常见的曲面及其方程二、二次曲面二、二次曲面 三、曲线三、曲线曲面与曲线 第七七章 由两点间距离公式1.空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为定值为R，定点表示上(下)球面.定点叫球心，定值叫半径。例例2.研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.2、柱面、柱面.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.抛物柱面抛物柱面,椭圆柱面椭
2、圆柱面.经过z 轴的平面平面.以上的柱面母线都平行于Z轴 C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.圆柱面圆柱面一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线一条平面曲线3 3、旋转曲面、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到思考：思考：当曲线
3、C 绕 y 轴旋转时，方程如何？例例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例4.求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)
4、1 1.椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双
5、叶双曲面图形图形4.椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P316)内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:1 1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的
6、交线 C.C三、曲线又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.2 2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.例例1.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为3 3、空间曲线在坐标面上的投影、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.(2)(1)几种常见的曲线及在坐标平面上的投影(3)P324 题2(1)作业作业 P32 3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
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