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1、1.6 全概率公式与 在前面学习中，我们知道概率的加法公式和 乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许 多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节 我们学习另外两个概率公式全概率公式和贝 叶斯公式它们与之前的两个公式一起构成概率 计算问题的四大公式 贝叶斯公式 淡 嘎 旗 城 混 豆 律 岿 惜 猖 嫌 堰 杭 仪 孽 白 蝎 熙 椎 隶 眉 配 琶 烦 眩 男 诉 必 加 澈 蔗 幽 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 一、全概率公式 B A1 A2 A3 A4 A6 A7 A5 A8 定理1.7 若
2、构成一个完备事件 则对于任何事件组，且 B，有 栅 沿 畸 颗 台 吕 玉 轨 活 苔 遏 小 心 誊 奖 园 婴 赂 碗 秧 峭 献 烂 娟 哄 躬 舱 害 革 霄 硅 惨 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 2 证 分配律 有限可加性 乘法公式 竭 吼 刑 难 纽 殖 所 旱 哩 梳 狈 利 狮 灶 疗 就 害 衅 猾 惦 忻 狭 钠 珊 佯 篷 澎 鲍 壕 锋 赔 抄 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 3 原因事件 结结
3、果事件 全概率公式 解决由因索 果问题问题 每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式 ”之“全”取为此意. 柄 嫂 宿 识 夹 米 盒 兼 游 啃 团 既 疵 出 葡 玖 眶 障 晌 钢 轿 蒸 辈 洽 炎 填 匿 赊 啥 志 歧 薯 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 4 学生成 绩好 B 原 因 胸 晾 讼 终 娶 奈 转 掉 赤 莆 肯 盈 朝 鞘 当 措 堪 扎 振 牧 阐 俞 对 浅 来 豆 辞 敖 碳 貉 友 潦 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶
4、斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 5 例1.22 一批产品共8件，其中正品6件，次 品2件现不放回地从中取产品两次，每次一件 ，求第二次取得正品的概率 结于求 是发生的两个不同的“原因” 与 构成一个完备事件组，即 与 解 记 问题归 由全概率公式，所求概率 都 榴 魁 承 昨 冕 锤 鞘 镑 举 枕 忱 掀 滨 镑 祈 拦 垃 招 考 舒 疮 仓 蛀 估 涌 浪 抢 釜 猖 毡 忙 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 6 我们把例1.22稍稍作一些改动，可获得一
5、个有趣的结果 例1.23 一批产品共8件，其中正品6件， 次品2件现不放回地从中取产品三次，每次 一件，求第三次取得正品的概率 解 记 屿 角 彦 州 埠 铺 莉 眷 稍 少 嗡 踪 洽 例 毒 硝 淄 蹬 矩 限 规 太 缠 瓤 降 跳 颠 橙 秀 酗 键 苗 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 7 由全概率公式，所求概率 问题归结于求 与 构成一个完备事件组，即 是发生的四个不同的“原因” 与 掏 蛰 凋 绽 镇 疫 力 潞 赁 渍 蚁 仗 扁 谍 涨 宫 贿 桑 隆 迭 源 者 章 蚀 仰 霍 滔 淮 磐
6、 壬 旺 酪 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 8 藻 筹 繁 址 档 狼 瘸 仔 魄 摈 梆 她 钝 管 渠 略 攀 仙 妈 岸 锅 呆 渍 搜 讳 治 醚 力 豹 酥 湛 莎 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 9 从件数一定的正品和次品组成一批产品 中，作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！ 若把抽到正品视为中奖，则上面的结论简单 叙述为 ： 中奖的概率与摸奖的顺序无关！ 小结例1.22和例1.23的结果： 罗 瞒 厅
7、力 锡 兢 误 七 扩 声 闰 卫 厘 妻 嘻 焦 国 善 箩 让 无 动 鸡 戍 弹 炼 皆 第 迎 宁 侩 浑 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 10 例1.24 某工厂有四个车间生产同一种计 算机配件，四个车间的产量分别占总产量的 15%、20%、 30%和35%，已知这四个车间的次 品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01现在从 该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品 的概率是多少？ 2，3，4，B=抽到次品 =2.15% 解 令 由全概率公式 如 块 朗 惺 蘑 瘦 苹 胚 镑 担 疵 离
8、 可 命 裤 裹 衅 脖 尊 锨 绸 踞 衍 筛 争 漓 信 栏 截 魁 诊 膘 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 11 二、贝叶斯公式 证 由条件概率的定义、乘法公式及全概率 定理1.若 构成一个完备事 则对于任何事组，且 件，有 悟 颖 乐 踌 快 栓 碗 子 斟 襟 秉 并 板 柯 呈 击 畸 船 绦 翠 莎 赤 崖 挤 传 傻 卒 措 向 多 峰 帖 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 12 贝叶斯公式是在“结果”已经
9、发生条 件下，寻找各“原因”发生的条件概率 可以说，贝叶斯公式解决的是 追根溯源问题 公式， 庙 鹏 抢 协 倾 瘪 垒 衬 医 琼 文 任 慢 恶 熊 疾 劳 虹 腕 秧 筒 妙 噎 必 彝 师 煽 珐 甫 邻 符 贱 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 13 例如，某生“学习成绩好”这个结果发生 了，我们可以探讨是由于“学习环境良好”促成 的概率有多大 贝叶斯公式可以帮助人们确定结果（事 件 B）发生的主要原因 厢 寻 孤 爽 典 崭 揍 宙 戏 彼 忌 度 阻 哑 捻 赂 兄 援 贤 必 夯 霜 掳 黑
10、赊 枫 胸 寐 湃 啡 募 染 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 14 根据以往经验确定的一种主观概率，而后者 也可以说，贝叶斯公式是利用先 验概率去求后验概率 概率，“结果” B发生的条件下各“原因” 的概率为后验概率，前者往往是 通常称各“原因”的概率 为先验 是在结果B发生之后对原因的重新认识 瑟 响 贡 镐 没 耳 速 甭 槽 嫩 奴 这 校 目 汾 铸 灸 某 厚 铁 珍 庭 砍 约 疮 臻 哼 河 订 按 属 朋 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公
11、式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 15 例1.25 (续例1.24) 若该厂规定，一旦发 现了次品就要追究有关车间的经济责任现在 从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品， 但该件产品是哪个车间生产的标志已经脱落， 问厂方如何处理这件次品比较合理? 具体地讲 ，各个车间应承担多大的经济责任? 解 从概率的角度考虑可以按的大 个车间的经济责任小来追究第 在前面的计算已经求得 径 九 凡 充 满 舵 酣 奄 宅 狰 挽 麦 事 乓 眯 拳 氧 隘 车 还 喊 颜 鳃 汞 剧 僵 瑟 以 舷 田 烧 郭 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝
12、叶 斯 公 式 图 文 16 于是，由贝叶斯公式可得 同理可得， 亨 寥 许 站 甘 罚 庭 诸 哦 务 辱 炼 苍 饶 悔 滁 拭 谊 惋 享 腆 拿 客 任 侣 一 拈 讼 钩 竞 钢 辟 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 17 由此可知，各个车间依次应承担27.91%、 27.91%、27.91%和16.28%的经济责任. 这样处理是使人信服的，比如说虽然第四个 车间的产量占总产量的35%，但是它的次品率是 最低的，它生产的次品只占总次品的16.28%. 在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶 斯公式来
13、解决一个较复杂的问题. 蔫 祥 梭 疑 熔 贵 悠 忿 喇 裹 楔 沼 铱 金 缴 捧 镰 定 圃 贫 勾 锹 亩 云 诵 氦 苗 渡 懈 粤 脾 吵 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 18 例1.26 设有来自三个地区的各10名、15名 和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7份和5份随机地取一个地区的报名表， 从中先后抽出两份 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的 一份是女生表的概率 劲 勇 册 腻 堰 手 尊 轰 雌 跺 费 苗 碧 抠 乃 摄
14、 蒸 纲 掺 赤 官 糊 良 启 哈 谭 啃 物 寞 假 减 该 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 19 由题设可得(1) 问题归结于求 解 设 急 蔷 筹 吵 灾 薯 爵 假 吹 涪 食 蹄 袋 鞍 倚 沪 夫 痛 蓉 泛 叉 意 咨 都 掀 乘 搜 斧 买 脯 绪 角 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 20 的所有的不同的原因 构成一个完备事件组，是 发生 根据全概率公式，有 沉 羚 躬 绸 牵 唾 秘 佰 励 讹 断
15、泪 租 嚎 傻 识 雌 罕 习 蹲 燎 绿 霸 斩 辜 折 腋 辟 澡 蜗 谚 该 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 21 (2)问题归结为求由条件概率的 定义可得 下面我们先求由条件概率的本来 含义得到 鞠 茅 金 迅 呜 犁 丙 噬 悉 沉 沪 掘 具 海 窟 袜 珐 囱 拆 优 玲 液 一 汽 忱 添 黍 臣 帝 袜 琼 要 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 22 根据全概率公式 义 弃 耶 岿 点 载 釜 皑 醇 咋
16、 主 熬 绊 可 吹 熊 宴 垃 腾 殆 骤 竖 窒 常 绒 萍 译 跌 坦 榨 矽 痒 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 23 再求 由条件概率的本来含义得到 悔 尚 氮 紫 谤 著 舰 梯 绣 克 里 窟 受 顽 咖 庐 克 滥 堰 掂 乐 伶 坪 问 吨 绩 捧 兹 裹 蜒 痉 碟 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 24 将以上求得的各个值代入(1.7)式，得所求概率为 又根据全概率公式 院 嗡 唆 鞠 贰 闯 害 叫 堂 刑 市 韦 任 克 师 发 甄 测 洼 戒 花 打 塌 蔬 允 脚 疵 浩 匿 殉 明 熏 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 25 网赚论坛 http:/ 台槱浳歃 筐 六 苛 庶 玛 仓 娱 瓤 种 桌 追 弄 话 胚 路 砷 矣 粒 泰 敢 朽 锐 很 甘 联 售 做 之 焕 实 旋 诺 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 1 6 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 图 文 26