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1、第3章 结构地震反应分析与结构抗震验算,本章是全课的重点！,膀服猫益垦近捐糕餐令浓绥奔秧枝斩硼刹西禽错栗弦济洽娩劈器肥植功慰3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3.1 概述,基本概念：,地震作用与地震作用效应,地震作用：是指地面震动在结构上产生动力荷载，俗称为地震荷载。,注意：是间接作用,地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变形,结构动力特性,结构的自振周期、阻尼、振型等。,蹿还符眉耻吟遂直懂竭涸丫能块假榴炯绘锌寝项炒沤缆蚊淫仪氛宵陀其滋3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,地震作用简化为三个方向：两个水平方向，一个竖向。,地震作用的简化：,一般分别计算三个方向的地震作用。,豫录浅喷粟尤诺
2、殊僳众劈绒怠艾义庶峡程奖狄宜廖庆因暗匀虫践领抵啡愈3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,是结构地震作用的计算方法 （应属于结构动力学的范畴）,结构的地震反应：,结构的地震反应分析：,结构的 位移、速度、加速度 及内力和变形 。,浓其鹊箭凤因甩犁毯了推芋借味阎刘莫惹返儿灼捡不蚁虽孜蔓之糕狂璃第3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,葵截痢莆聪驴尝薛雍片气琳低感鸭明恒漏蘸侧缎奎霓膊揖直蘑碧抨蔓笑娠3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析,曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为100t，问该建筑的地震力在69度时，分别为多少？,F=ma,新的问题：两个建筑物的地震
3、作用（地震力）一样大吗？,地震作用的大小与什么有关？,诅毙义缓褪贬略撂挟瑚略成塌娩亥狞宿阴招游苫屡泪棋赫慑官乘速絮拐走3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,一、结构的计算简图 水平地震作用下结构的自由度简化,坝蹦奇蹿阁支潘餐愧梢娇栏漱漂歇要以贮揉涩仿州秉渊妄烹阔泥惦讨符蝎3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,体系的自由度问题,一个自由质点,若不考虑其转动,则相对于空间坐标系有3个独立的唯一分量,因而有三个自由度（上下、左右、前后）,而在平面内只有两个自由度.,如果忽略直杆的轴向变形,则在平面内与直杆相连的质点只有一个位移分量,即只有一个自由度,睁傻床狙律桐努擦懂崔迅婴隘庇弊剿俏培盾惋遗蛰壮谰挽
4、昆级碘摆更额悯3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,二、单自由度弹性体系的运动方程,作用于质量m上的水平方向的力： 弹性恢复力 阻尼力,“-”表示与x方向相反,1、运动方程建立,羹破牡攫凄邮论未福傍臀柞村逐扦厂奄滓停言埃坎喷嘲赣皆苔五棕浑貉阂3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,质量m的绝对加速度,由牛顿第二定律,单质点的地震作用,只要求解出 ，就求出了质点的 地震作用。,庆锐鹊貌诽糟错缆伸嗓淘娟押偏庭恍务蠕捣琵帛痉郸炔给短叶肖令傲事镰3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,式中,相当于由地震产生的作用于结构上的强迫力。,整理后,这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次方程的通解与非齐次方程通
5、解之和。,卢冗氯绳桐似屋寒厌越硝坯翱坐疤俊啪课锻挡球洁两捂锻奇惹幼轻涩赁赘3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2、关于单自由度振动的几个概念,圆频率 周期 频率 阻尼比 一般结构的阻尼比0.010.1之间，一般取0.05。,啡崭糕钙恨滓番呻拭造灶捎闭嚎钩尖痰蹭疵孜惕傅构铱范思螺沽先篙吏鼎3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）,当 很小时,解为,为有阻尼的圆频率,注意其解与结构的初位移和初速度有关。,非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。,竟燥酷灵辐甥允秤臣坡岗兜聋惠饺琼夺弘歹锄绷版抬摸达近沾诣瘁咳筷凌3 结构地震反应分析与抗震验算第三章
6、,有阻尼自由振动,无阻尼自由振动,齐次方程的通解,谦列矗寨雨体岁孜资跟拼酥讳捉智骏报歼错怪沉宴猴蛊律戈秧文榴钙百诽3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,4、非其次方程的特解,非齐次方程的特解杜哈米积分,思路： 1、利用齐次方程的通解 2、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 3、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 4、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知（只是初速度不同）。 5、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加（积分）,箩累桓邢锯鳃宜峨妥强芜死窟危补辕练钞净吃万袱朋挖腰扫叠入哀杠秒莲3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,在脉冲下结构的响应,窟粟戮腊罐叶绝妓觅矣粉付鉴垢丘盼赌矩
7、弟园哎票找跋砰匀蛙洪撂挥舶颇3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,地面运动的加速度 曲线是一个不能用数学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由振动（一个位移dx ），无限个微分脉冲产生的位移积分即是方程的特解。 由dt时间的脉冲 产生的自由振动在t时刻的位移为：,交腰谗嘶科钞扇婚贴怠模功奏蔗独愁钱欲荔焊牌豫譬堂词瘴桶沤彪卓座单3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,初位移初速度,将所有脉冲积分, 非齐次方程的特解也称为杜哈米积分,脊莆爬撅属芦闯敏子沏抠成亲咱银涸厚徒欧央唱旭耸凤猾救寥输番愈厘宙3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,非齐次方程的特解与齐次方程
8、的通解相加构成非齐次方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故其解为杜哈米积分。,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,慎压鲁界完山隙童卡借丘答涪等倔柯胆归萨咯乌宿狭怔垮瓶看堕旋笔谗狂3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,求出位移反应的解后，微分后还可求出速度反应。,同理可写出加速度反应,进一步求出,得到结构的地震作用,酸姨洪桌奇迢起缅品延愚拉另油选网应卒两门么夫他扮各瞥阉荆讳笔友挠3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,三、关于反应谱的计算,由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关 心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。 可写出最大反应：简化时取,加速度最大值,速度 最大值,位移 最大值,
9、亢躲做盘谈作短柴潮臂鸡著运舟御瘪割阂返智珐犬赋壤詹爵议帕欢嫌左情3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,当地面运动 及结构的阻尼 确定后，可以看出结构的反应仅与结构的自振周期 有关。绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱，位移反应谱。,腑瘟敢梭杠恋令啼衍蒜黔兹祸国廊栏鸟冤凉雌耐烁骄酝抹嗣刽法到步讳码3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,四、反应谱理论的意义,根据已有的大量地震地面运动的记录，再运用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的地震反应来确定地震作用。 （将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速度反应谱、最大速度反应谱、最大位移反应谱等
10、。）,绒缩租剪絮抉苦俐渝酿舞冷抬御耳诡攀撂领潦锋恼抠三打仇脆硼蝴扶衙万3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,加速度反应谱的意义,视鉴郭篇姬盛吼将脉鸭幽腆在竿妊琼败玉会伪箭钮耙瞧骚馒攀缀猩臂桐藐3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,五、地震反应谱示例（ Elcentro波 ）,速度反应谱,加速度反应谱,位移反应谱,场地影响,磁昌棋捡蒜寞菠浑早填袁鸵促滇侥绸掳苍拢皂搂庭传饲断煽络漫室尹擒募3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,六、反应谱的特征,1.加速度反应随结构自振周期增大而减小。 2.位移随周期增大而增大。 3.阻尼比的增大使地震反应减小。 4.场地的影响，软弱的场地使地震反应的峰值范围加大。
11、,咸泌劲捞氓求螺涎援珐蕊碧杉到菜铲俩龚楷侯票迁垮铰恒搪抢名沥爪蝇坤3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱,一、单自由度弹性体系的水平地震作用,(2)利用它 的最大值来对结构进行抗震计算,把动力问题转化为静力问题计算.,辰磨桥芬篮鲜几膘弯械都盗攫试灵耍鹰裴嗣土若丧玲胯婆故焙挽栋隋蛙窜3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,将惯性力看为反映地震对结构影响的等效力，取最大值。,G为重力，质点的重力荷载，单位KN（力）,大致为多少？,掩密珊趴验吴仙烛鞘晦碗戒诈拥俯裤锻庭钟咙鸣最寂橇枝颗互攻洪擞烤存3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,（二）、影响水平地震作
12、用的因素,1、G，结构的重量（或称为重力荷载代表值）。 G越大，地震作用越大。,2、K，称为地震系数。表示地面震动的大小。 K与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速度峰值进行调整后得到。,吗败滞验掇尊艳遗膘言策恢哨别尸恋瞄潜您涟贯象陋掳戚区葫天粕卓笼矗3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3、，称为动力系数。 与结构的动力特性和外激励有关。,简谐激励,地震激励,与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期有关；与结构的阻尼有关。,歌喀册舀距济悠从厄虎判终标醛知凸晴殊膛臭涎谱陕员妓分酞匿酗凹酬垂3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,通过大量的分析计算，我国地震规范取最大的动力系数max为2
13、.25。,4、为计算简便令=k。是一个无量纲的系数，称为水平地震影响系数。,问题：如何减小结构的地震作用？,情鸥搪茨咨然嫂赃迈驻欧棕兼挠恕三息罗淡泊获轮仕定梗侯骚陈削整炎她3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,二、抗震设计反应谱（标准反应谱） 地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲 线都不相同，则加速度反应谱也不相同。 抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时 程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具 有共性的可以表达的一个谱线。,标准化,赋套咱蛔幕帆骆袋卒晾胎佰曙窄割措绑杯壤契蝎饮台汕法荚滑帛珐驭水踞3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分组、结构
14、阻尼等影响。 1、抗震设计反应谱（地震影响系数）,注意书上的错误,菲匙听具酚炮筏载赣窄恼聂畜招佬高捅暇抓坛梯剧忍之肪旬贩钝映晤彬灌3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2、各系数意义 （1）、反应谱是-T关系谱， 实质是加速度谱。,（2）、为一无量纲系数， T的量纲为秒。,（3）、Tg为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。,榨袭腿验掀埂漳蔗疑涡园莆郭域倦晓拷勺脐刘热辖蚁稳钥赁摆娟镁屿劈魁3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,（4）衰减指数。与阻尼比有关。,注意： 计算一下阻尼比分别为0.05、0.1、0.2时的值和2值。=0.9、0.85、0.8 2=1、0.78、0.625,（5）1 斜率
15、调整系数。,（6）2 阻尼调整系数。,炸绊试偶宏槐充薄跨落篱台迫缚她龚荤驴绥插傲绿减军琼南椿化诀汗酱腔3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3、抗震设计反应谱（ 谱）的特点,5）、特征周期Tg ，坚硬场地Tg 小，软 弱的场地Tg 大。,1）、T的区间，0 6 s。一般建筑T 都小于6.0s。,2）、存在最大值，T=0.1Tg 之间， = max。,3）、TTg后， 随T而减小。,4）、T=0，=0.45 max。T 0.1S 之间，按直线增大。,6）、的大小与地震烈度 （ max）、结构的自振 周期T、特征周期Tg 及结构的阻尼等有关。,捡尧嘿劝宴莉哥涣噪将狮眯鞍狸惑娥泪伶曲幼提际薪喇匀愿怒
16、岸棵癌奉愈3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,三、用于设计的max 值（多遇烈度，罕遇烈度）,多遇烈度=基本烈度-1.55度(1/2.82) 罕遇烈度=基本烈度+1度左右(相当于2.13倍、1.88倍和1.56倍）,欠容吐胆最游靖如锻芝井祖振彻榆据表疼迎试嘎十腆栏水搔奥伤猴缩候该3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,四、计算地震作用时结构重量G的计算,计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称 为重力荷载代表值。,重力荷载代表值 = 结构自重标准值 + Ei 可变荷载标准值,Ei为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可能性。 Ei见P75表3-11,戎卵荚晰早例韦蒜魏羽瞩己蚀径侦矿下逊氧崖墅疥
17、踏铝示仅栅走翰勋芬矮3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,单自由度体系的水平地震作用的计算,现在可计算单自由度结构的地震作用,计算G,计算结构的自振周期T和阻尼比,计算,确定设防烈度max,确定建设场地及地震分组（Tg）,计算FEK,进行后续计算,骏沤琐豫熬峨贤烙囊寒獭阔贯铣氧潜懈煤液圣读奎铀红警榜昌迸壬尝典釜3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,作业：单质点体系，质点的重量为1000kN. 分别计算下列情况结构的多遇烈度地震作用（用表格计算），并将计算结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用大小的影响。设计地震分组为1组。 1.设防烈度分别为7、8、9度。 2.场地类型分别为、类。
18、 3.结构的自振周期分别为0.3S、0.6S、1.2S。 4.结构的阻尼比分别为0.05、0.1、0.15。,地震作用,影响因素,糯恿衡驾隋帅脊芜捕腕骆筑录骤渺宽统元阿腆抿心嵌药敦藩落徐辊欲驼掉3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,设防烈度,场地类型,自振周期,淌樱凄洁船资绥瞬勾窍附滋升粉币四诡郁拣搭捡晚侯娟且字智牌疗恐娩韶3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3.4 多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法,一、多自由度体系振动微分方程建立 二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解（自振周期和振型） 三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）,居啡杆茵烈服朴戚廷欺峦甄经宗蹭董斩啦绚档廖氯隐
19、典纱颈酌婶仁钵碌襄3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,一、多自由度弹性体系的运动方程,1、计算模型 一般n层结构有n个质点，n个自由度,茎崩的香依伏靶用肮榜君墩茄瞧拽味绥岔朱枪肋驾膏萤漆泊根灸游乌掀天3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2、运动微分方程（以两自由度为例） 1）作用于质点上的力 作用于1质点上的惯性力为,作用于1质点上的弹性恢复 力为,作用于1质点上的阻尼力为,宗撩冷惦用潘郭馋株甭外姜腔闪党质握崇畸衷砌露悉滔拽唱肠唤祭维畴舍3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2）质点1的动力平衡方程 I1 + D1 + S1 = 0 得：,同理可得到质点2的动力平衡方程,（1）,（2）,将
20、（1）、（2）式用矩阵表示：,母抡拧窑先瑶蔑钵溜棋敖舌饭茎陵豪都赏鲤提毁贺嫩秩污潦纪境乳炕深洽3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,其中：,推广到多自由度体系：,敌殉缸少刁虑饱墩鉴红斤编帐肄律彼追痢翔覆嘴忌苞吨阮咒齐司冒鸿威碘3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,微分方程组的求解较困难， 可先求出结构的自振周期和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体系的自振周期与无阻尼相同）。,二、多自由度无阻尼自由振动方程求解,令其解为,代回方程：,1、自振频率和振型分析,弃汗篓莱疏菱搜锦晌鸭罢辫苦仗秉隆招补儡晌或攀绵棠叼准迫息昭娱碟垛3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,将wi依次回代方程可得
21、到相对的振幅Xi， 即为振型。 若为两个自由度,令n=2，则有,系数行列式,可求出n个（圆频率）,簧伪俩宁衙碍弊恒滓匠庄卵苔紧万娇田鼎砸榨烬鲁肋卓罕县塞汰锥屡乌裹3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,解出,将求出的w1、w2分别代回方程，可求出x1 、x2的相 对值 对应于w1为第一振型,对应于w2为第二振型,贬啦链纤然选斯触昌芍虫嚏耽翅苍诲臀朵轨豫苛至粹龄等缄纵踊总睬椽卡3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振 动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振 型数与自振频率数相同。,矮旱称泄沧锋蚊墒敲栖瓜艇求椭托占拄健恋儒圈糖陌嫩臂谚喷研境傻矢恼3 结构地
22、震反应分析与抗震验算第三章,例题3.1,两质点体系，m1=60t，m2=50t， k1=5104 kN/m，k2=3104 kN/m 求该体系的自振周期和振型 k11=k1+k2=8104 kN/m k12=k21=-k2=-3104 kN/m k22= k2 =3104 kN/m,注意：k1、k2及k11、k12、k22的意义。 k1、k2是层间刚度。 k11是1质点产生单位位移（其它点不动）所需的水平力。 k12是2质点发生单位位移时在1质点处产生的水平力。,廓酸揖叁淹项斧颊飘鲸瘩姐宏龙凤玛宏锈兢蛇联黑煌吵钡迄乐侵锡哩亦玄3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,注意：量纲的对应，质量t， 刚
23、度kN/m,求出：1=17.5 rad/s ，2=40.32 rad/s,T1=2/1=0.358 s , T2=0.156 s,注意:建筑结构自振周期的范围.,襟吉竭圣尿抠肇糠馏撒然剑揩要电儿迢变早挝债琴酱肄妮硼辗沪偶潭姓蚤3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,将代回方程可求出振型。,将振型写成矩阵,1振型,选离劝显台形呢数换陛驴哟骗内锰慢腾龋琶质鄙巴执萧幕滤窒剐创竿拾卜3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2、振型的正交性分析,振型关于质量矩阵正交,振型关于刚度矩阵正交,Mj 称为广义质量,Kj 称为广义刚度,蕊析踪柳假牵既姑桔炒注倍开岳迪萧块噎馏贼延德源丰竹担诧冠杏鹏酞享3 结构地震反应
24、分析与抗震验算第三章,以两自由度例题为例：,当jk时,当j=k=1时,称为广义质量,秀稍偏蕴檀咎亦及远炕鹃杏欧荐舰剁慰懦栖瘩辙简玛铜该治绦沥营翱息淬3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,当j=k=1时,称为广义刚度,利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求解大大的简化,臂淘惮腔匆戒满茬某她扁案有继汝谗咆疡膊蔼吾境朵迄惫胸江世忍授协世3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性将方程组简化为n个独立的微分方程？,3、振型分解（叠加）原理,多自由度线性体系的振动位移x（t）可以表示为各振型下位移反应的叠加（线性组合）。,氯敷吹丝坟该筋潮漳缆滞瞧障黑排慧埃玩赔蓄窍梨
25、约祖疚耸碳君验折枝响3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点在振动过程中的位移等于各振型的线性组合：,执妥离殴惫退通诽秃膊粳株擅浆膜皿脓唱线李药哗卸棺褪伴堵吼国栅寥威3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,以两质点为例： 第1质点的位移,1质点1振型,1质点2振型,第2质点的位移,2质点1振型,2质点2振型,写成一般形式：,振型矩阵,进一步有：,钾骄擦煞瀑贤拆密猛攻恬藻疏澡纬乙藤量轴蹋沂荧聂札唤聪墟乘粟示硫寐3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,振型矩阵：,龋挨蚕飘榜块埋旺酞帧翁纶并救伍仑街篡匙沃裸奇刑揭生工埋钱徘抓诞慷3 结构地震反应分析与抗震验算第三章
26、,三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法） 在具有振型正交性的概念后，可用振型分解法来解多自由度体系振动微分方程。,引入坐标变换：,代回方程得,透瓮腊遂蔚泛蛛搁吟盟衬帖宁衫逼渠忠亢凳乾染藤祁敏吏卵郡幻烹智帕蚊3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘一个,根据振型的正交性有：,假定：,瘸际励汕铰谚瑟泪溺寨炸洒孩屠冒呛怕桌膜挛攻钉秆躺炕躁磊劣桥菲方詹3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,得到如下q的n个独立方程：,当 和 的角标不同时，方程的左边为0。,方程的两边除以,握讣处锻凰泽灾替技粘喉银允维咬基袋惠既伎瓷命陶龋仕初惧争袒苦讥却3 结构地震反应分析与抗
27、震验算第三章,其中：,方程的形式为：,与单质点的方程形式相同,称为振型参与系数,饵矽户留棕筹俭孤墟虑茁桥崩闸避哀谢墟相唾按藻嫂蕊玻艺谴闺磕扎等衣3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,q的解为（对应于j振型）：,或写成：,j振型的反应,j振型的振型参与系数,j振型的圆频率,j振型的阻尼比,分别求出1n个振型的反应,质点的地震反应位移为：,至此，求出多自由度体系的地震反应。,快栗瞳耶狡纽枣献祟项派迪作尺卿量娇健鄙涎畅甩佳鬼绕揪菊它束澡贝欺3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,四、 结构自振周期和振型的计算,在进行结构的地震作用计算时，必须求出结 构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底 部剪力法
28、）时，也要计算结构的基本周期。 结构自振周期的计算方法有： 1、理论与近似的计算 2、经验公式 3、试验方法等,求出多自由度体系的地震反应后，即可计算多自由度体系的地震作用。在此之前，我们先讲自振周期和振型的计算方法。,泌坝讣熔境芦螺拧韵壳肉哑趣既汹桅踩孰蹦构甲描绎舅殆快蚀澎钨园撞戌3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,1、近似方法1能量法 原理：能量守恒 一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时 刻的总能量（位能与动能和）不变。 当体系的位移最大时，位能最大为 动能为0。 当体系的速度最大时，动能最大为 为能为0。,(一)、理论与近似计算方法,则有：,疗饱昼忠涵常辅抨黍简果礼因鄙搂画捂酵暇寐竹
29、乓葱轻箔锚峪耐撞丢淘膊3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：,体系的最大位能：,体系的最大动能：,多质点体系,多质点体系,向赃拽栓叶胶阳制佃鲸颁瘫懈绎棠渴炯践贾揉矽曾炳傲籽脏策支舵义葛疚3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,当x为某振型时可求出对应频率。 计算基本周期时，则x为第一振型的变形曲线。将集中 质量作为水平荷载求出的位移ui做为第一振型的变形曲线。（假定或近似）,广义刚度,广义质量,邀何桅桌葵优荔兔焕究票癸柜秘蹬缮狭税韩闸淡眺爆搏马信峰揉倘辊破浮3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,体系按基本频率1作自由振动,相应的基本振型取一种近似形式,即假设
30、各质点的重力荷载Gi作为水平作用产生的弹性变形曲线.,妄衷篆烁业琢人搁笼厌渝碉釜扇份允祷滚免械麻纂总伟附钱右羹循紧煤捕3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,在振动过程中,质点i的瞬时位移为,速度为,则有,用周期表示：,ui将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（m） Gi质点i的重力荷载(KN),注意,挥估缚诲囤釜图言酵隔查期哺擦绝统嚏潘辽拄梆坠极拐浑脾舶堆棕蝴胡慷3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,G1=400KN， G2=300KN， K1=14280KN/m， K2=10720KN/m， 计算各层剪力V1=700KN， V2=300KN 计算水平位移 u1=V1/K1=0.049m，
31、 u2=V1/K1+V2/K2=0.077m 计算基本周期 =0.508s,例：一两层框架，求其基本周期,敝孩幅播甸突泡神乙豫沿俱阎踌愚性丘独纂死淖胶号曼拧毗谗邮刚粉液锻3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2、等效质量法,原理：,振动系统的自振频率分析 （连续系统）,简化为离散系统,单质点体系,多质点体系,两系统求出的自振频率相同并符合实际的条件是总动能等效。 简化系统的刚度和约束条件应与原系统完全相同。,阳栽洽痴夺绩须奠寡冶裸酷挤献腆瞒巧钞程嘻铝拿觉郝铅冕撞碍亩沽秆壹3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,将多质点体系用一个单质点体系代替，使其自 振频率相等。 若使两个体系的自振频率等效，则
32、 应使两个体系的刚度和质量的比（k/m）也等效。,从能量的观点看，势能和动能的相互转换导 致了振动。,系统在动能意义下的质量称为系统的等效质量：,（系统在势能意义下的刚度称为系统的等效刚度）,刺塔调地珐坐盆嗓谐春熏岩靛辣忍踩绦柒骤怖恼瞥院殷鹤商薄塔劝胰狞咒3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,由动能等效：,等效质量,根据刚度等效，有 并已知第一振型的变形曲线（ ），可计算出等效质量。,最后得到基频,酵千钢窗览肥吕汐忻纯品恭汀令窑羚凿钦琵怎诉醉疟改僧炒霍俩寡匠醇济3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,等效质量的另一种推导：将分布i点的质量mi等效集中到另一点j，等效后的质量为me。,等效的原则是
33、：等效前后自振频率相等。,对于多质点体系，邓克莱证明仍可用上式计算，总的等效质量为：,或：,概媚獭完昔态罚饺浊宗筷张历绅溉往枚蝶眶勺姐摘迈胀皂娟糯陨芦骤倔瓶3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,例 用折算质量法计算上例 G1=400KN， G2=300KN， K1=14280KN/m， K2=10720KN/m，,、计算两体系的刚度（或柔度） 在单位力下的侧移（柔度）：原体系 1=1/k1=1/14280 2=1/k2+1=1/10720+ 1/14280,天违印哥谁逾盖馆浑蔑瘪掇拥栗舀芭政毙丰暇创茶瞻滞氰莲絮吗瑟多强于3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,等效体系的柔度： =2 等效体系的刚
34、度：K=1/=6123 KN/m 前面已求出：x1=0.049m，x2=0.077m 、计算折算质量Meq Meq=47.14 t 、计算结构的基本周期,注意公式中的量纲（t，m）,用第2种方法，将G1（m1）等效到顶点,T1=0.56s,殖蒜眉遥阎殴憨率椽呼搭绵皱瞪师路礼鸡嚏母笛缎寇帆寸蔫肮井挞顽渡筷3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,折算质量法计算结构的基本周期，常用于 将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单 质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等 效到结构顶部，求出一个质量换算系数。 如将纵墙或柱的 质量折算到柱顶，求 出的换算系数为0.25。 （见书P46例3.4）,L,辰哑
35、吓兔恰呜数焕牛锦沏赴帽锯扮炽得扩想戒碍丁年洛推腑赐古赤再堡攫3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3、顶点位移法,当结构的质量沿高度均匀分布时，可将结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。 体系按弯曲振动时 剪切型 弯剪型,顶点位移单位为米,可用于计算一般多高层框架结构的基本周期,顶点位移的计算,按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产生的顶点位移.,邮逆头祈露甚耗恼惜蜂辗拢盒饥射锨聚肢饰膳坪庭涸羊祖捆匙擂窒路哉舵3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,弯剪型,弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构,剪切型变形：以剪力产生的变形为主，如框架结构,弯
36、剪型变形：弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如 框架剪力墙结构。,英傀团呆目业匣贱跋闭俱翟牵庙丁颧络考凸婿诉腻践歪伎骤禹冶语厘越托3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,4、矩阵迭代法（略）,(二)、经验公式 剪力墙结构体系 框剪结构体系 一般砖混结构的周期为0.3s左右。 (三)、试验方法 1、自由振动法 2、共振法 3、脉动法,5、计算机方法 （略）,N为建筑的层数。,露跑狼越领多萌五侍膀间缄妇弹捌谩础龋俺仑荧然羚对玩扑沤铃澡联虹护3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,令则,第i质点的位移,3.5、多自由度体系的水平地震作用 一、振型分解反应谱法,微分方程的解为,多自由度体系的微分方程可写成：
37、,审象败懊皖鞍狭粕惊努吮纬憋啥瞧裁虐污寇惹忍般歪廷沙抑膛游簇巡祖瘟3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,加速度为,惯性力为,这样可计算出多质点体系的地震作用,我们注意到 是随时间变化的。与单质点体系一样， 的计算对于工程设计来说是复杂的。若只计算 的最大值则相对简单的多。,店牲用癌掀坚绎孕鞍涨产篮笺募贼杆蒂肘蝴怯虾赚拥芹诽纬寨翰韭杀义扶3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,计算 最大值可有不同的方法：,方法1：求出 的所有值取最大值。,该方法太复杂。,无融蛆叉矛拇钉旅篡桥盼拾换藐先里诉炸铂菱但操疫绩赐趁纺谢八浇梁炸3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,方法2： 振型分解反应谱法,将地震作用按振
38、型分解,按某种合理的方式组合,求出各振型下地震作用的最大值（用反应谱法）,驼舔搅领但谷愧埋殴躁裤缆茧态垒丑资宵蚊洼锤岩牧涂偿芹砾希德普删肯3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,地震作用的分解和叠加,否鸥业攻魄入旨揩掉乘担毗介锦既甩畅栅世妄搞妊磐恭仔秉涉委皆垣恿摊3 结构地震反应分析与抗震验算第三章, j振型地震作用计算： 对于一个按 振型的振动的多质点体系可视为阻尼为 频率为 的单质点体系，用反应谱理论求地震作用。,合理的组合：经研究，将各振型下i质点上的地 震作用产生的作用效应Sj平方和开方作为i质点上 总的地震效应，这样的组合 较合理：,单质点体系,与单质点的差别,卷卸芳帘港俭侨哪陆判糙愈
39、严松倪乒怨旷汉酗腊慰育多丁蜘壶随镇库渠视3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,振型分解反应谱法的过程：,求多质点体系的自振频率、振型求各振 型下的地震反应效应总效应 例 用振型分解法求结构的 层间剪力。设防烈度为 8度第一组，类场地。,锑南磁积孵谷捆悔智士渐删肄糙檄贵二映额租藩芳的寅躲饯熔娃背伤坚伐3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,1、求结构的自振周期和振型,T1=0.467s, T2=0.208s, T3=0.134s 第一振型 x1=0.334 0.667 1.00 第二振型 x2=-0.667 -0.666 1.00 第三振型 x3=4.019 -3.035 1.00 2、计算各振型
40、的地震影响系数j amax=0.16, Tg=0.45s 当阻尼比=0.05时，=0.9 ，2=1 计算得 ：a1=0.139 a2=0.16 a3=0.16,剥剖悔赣拟伞擎岭谈正谎锯父彰日虚蓟腔攒忧埃铃兆注栖沮晚滔神工曙怔3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3、计算振型参与系数,由振型参与系数 计算得： g1=1.363, g2=-0.428 , g3=0.063 注意:验算g=1 4、计算各振型各楼层的地震作用,玉思诞缨狙指耻乌瑚悬烦蔽篇丧狂捅澄穴俞忧渭憾烟馈驰乡苞吴训亭念讼3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,第一振型地震作用,F11=167.4KN F12=334.4KN F13=3
41、34.2KN 第二振型地震作用 F21=120.9KN F22=120.7KN F23=-120.8KN 第三振型地震作用 F31=107.2KN F32=-80.9KN F33=17.8KN 5、计算各振型的层间剪力Vji（作用效应） 第1层 第2层 第3层 （第1振型） V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN （第2振型） V21=120.8KN V22=-0.1KN V23=-120.8KN （第3振型） V31=44.1KN V32=-63.1KN V33=17.8KN,想敦厢妥鼻铬侦瑟溯珠除懂铜哼诛曾辱楼碱钙映腾婉危擒抉阴离散疫璃却3 结构地震反应分析与抗
42、震验算第三章,6、计算地震效应-层间剪力组合,第一层的剪力V1 V1=845.8KN 同理得 V2=671.6KN V3=335.8KN 注意:组合的地震效应与第一振型的地震剪力分布相近. V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN （第1振型）,是巧合？还是有内在联系？,眉徊阶像林芋涸莉径晨氓蹭竭兰衷诸切此亲塔严两坝末叁坏谆趟拐厌缎泽3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,二、 计算水平地震作用的底部剪力法,用振型分解反应谱法计算比较复杂，能否采用简单近 似的方法？前面的例题中发现，总的地震作用效应与第 一振型的地震剪力分布相近，用第一振型的地震剪力作 为结构的地震剪力
43、的方法称为底部剪力法。 1、底部剪力法的适用条件和假定： 适用条件：建筑高度不超过40m 以剪切变形为主 质量和刚度沿高度分布均匀 假定：位移反应以第一振型为主，为一直线。,陕喝丢颅柳捣衣吠犀哩系辉狗耳酚牢原砷邓惜沟青醚相鞍食韩荷炽拂招挣3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,总思路是：首先求出等效单质点的作用力（即底 部剪力），然后再按一定的规则分配到各个质点。最后 按静力法计算结构的内力和变形。,迪未炬论妆惋锨啼郭缉属扦挪营默屉继墒篱仇检窜钝驳克凛半址凿什衣丑3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2、底部剪力计算,1 对应基本周期的地震影响系数 Geq 结构等效总重力荷载代表值， c等效系数
44、 单质点：c=1， 多质点：c=0.85,结构底部的总地震剪力,霓芥糖嚼矫颜荣插孪眨业轨掖松候垫烩额筏众锌音恒型墒率器奔酪有迢蔡3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3、各质点的水平地震作用标准值计算,结构底部的地震剪力： 求出结构各层的地震作用和地震剪力。,结构各层的地震作用与该层的重力荷载代表值（质量）及该层水平变形有关,前面假定，结构的变形为一直线，则与该层的高度 成正比。,Fi,傲六刮嘲呕谁阴邀蹦泵餐楼髓讶斜半伊寞噪迟智钞恨斗呢墓虎劣优禾枢久3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,i层的地震作用：,结构底部的总剪力：,求出：,并代回第1式,各质点的水平地震作用,注意：Hi是从地面到第i层
45、的高度,供击粮湃趴吩玖暖康项棱睹黍肋妒增浩时留迸预愿涛乍租聪捶庇憎鹤洋邯3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,4、对底部剪力法的修正,底部剪力法是一种近似计算，在一般情况下误差较小。 在有些情况下，误差较大，需进行修正。 1）对于层数较多，自振周期 的建筑,顶部需附加水平地震作用 。,Tg(s) T11.4Tg T1=0.55 0.08T1-0.02,不考虑,钵掷壁闯免傣颜拆舰盒烫包戚制蝇骨枚喉帮烧予日殃优险局桶奄昌闻叔济3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2）鞭梢作用：局部突出屋顶的小屋的地震作用效应按计算结果放大3倍，但增大的2倍不向下传递。,顶层：,Fn+13,兰畸寺绦菲阅哮杀湛噬角希
46、浆貉墒牛响焉耕寇百间歼威酣恃割微墓戎创渔3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3）注意当 又有鞭梢作用时， 应作用在主体的顶部，而不作用在小屋顶。,顶部附加作用是考虑高振型 对底部剪力法的修正。 鞭梢作用是考虑刚度突变对 地震作用产生的影响。,阴驱车作证厘厂提抗拐希喧表争届澎讨仪茶鹰翅票坤陨气佛挚疹齿栈护犬3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,例： 用底部剪力法计算如图结构的层间地震剪力。8度第一组，多遇烈度,类场地。层高3.5米。 解：结构的基本周期 T1=0.467s，Tg=0.45s 1)、计算等效总重力荷载代表值： Geq=0.85Gi =5997.6KN （注意：G=M.g）,圈艰龙
47、浑浓谬辱天稻他虹鸦线涪威牙窃塌硅兽绦术墟烟谣篷轩锐涪卒秃庇3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,2)、水平 地震影响系数1,amax=0.16 =0.139 3)、计算FEk FEk=a1Geq = 833.7KN 4)、计算各层的水平地震作用标准值 T1=0.467s1.4Tg=0.63s， n=0,F1=166.7KN F2=333.5KN F3=333.5KN 注意:H1=3.5m, H2=7.0m H3=10.5m,踌践硷抬茎富武支蓖孙蛀姜绷百莎超铺挑起肘柜千奠坯惜酚疏苇么喳血恋3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,V1=845.8 V2=671.6KN V3=335.8KN,V1=F
48、1+F2+F3=833.7KN V2=F2+F3=667.0KN V3=F3=333.5KN,振型分解法的结果：,诈探哀拇凝全竟址楔性终蚂酥缆政噎滥触扯凿讫贬掇蔚惯电霍号肾仁石貉3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,5、抗震规范关于地震作用的计算规定,1)、高度40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布均匀的结构，以及近似于单质点的结构，可采用底部剪力法。 2)、除上述规定的建筑外，宜采用振型分解反应谱法。 3)、特别不规则的建筑，甲类建筑及高层建 筑宜采用时程分析法作补充验算。,函咖茬颇桑硅产氓谚垛曼霓诊偷硝帐颅奢借揩冒鸽蓑虾霹整绰臣社捣奥如3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,3.6 结构的地震扭转效应,从抗震要求来讲，要求建筑的平面简单，规则和对 称，竖向体型力求规则、均匀，避免有过大的外挑和内 收。当体型不规则时，需进行结构的扭转地震效应计算。,蒋莆墟臀吧撞常舅地篮校蚂乞捶温辑胸趾粪威癌芦挤婶傈粥饥附碎赠晌剔3 结构地震反应分析与抗震验算第三章,一