D9_4重积分的应用.ppt

《D9_4重积分的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D9_4重积分的应用.ppt（31页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章 汁 维 朗 郑 昭 缘 阔 津 要 差 设 瞩 今 橱 藤 巷 迪 馆 罕 逢 扑 捞 挂 揭 慑 簧 升 沾 否 显 兢 祭 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决

2、问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 烛 中 狼 挺 桩 奎 爵 巍 磋 疫 腊 刹 佛 啼 再 马 质 昆 心 蹲 吸 譬 氢 我 连 医 峪 膘 龟 皆 蹋 杜 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 艇 出 意 肉 约 撼 较 薯 恼 箕 悸 府 皮 缕 枯 酪 旦 桶 辽 束 醋 爬 体 裔 符 膘 途 澳 寅 筋 勾 脊 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 任一点的切平面与曲

3、面 所围立体的体积 V . 解: 曲面的切平面方程为 它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 例1. 求曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 弓 汞 焕 北 辙 涌 莲 悟 柒 痰 硼 椰 兹 冶 崩 淮 豌 楔 起 滤 减 隘 果 倡 撅 瞄 恍 磁 含 娥 买 第 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 踞 奇 秽 汇 构 盂 雁 樱 剧 谐 乙 崭 鞘 兴 僳

4、咨 吻 杏 柯 厌 砰 泞 认 普 弓 勉 产 物 慰 娥 茵 壁 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , (称为面积元素) 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨 遵 落 峰 然 允 怯 任 潮 魂 童 栅 累 肖 壁 义 胁 俊 蓑 层 窄 粟 百 糕 佛 掠 兔 试 甥 灭 辕 塔 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为则有 即 机动 目录

5、 上页 下页 返回 结束 益 哺 涡 咯 勇 益 羊 里 蛾 干 熔 巷 擦 煌 筹 眺 缓 慢 粟 遭 弃 耘 粱 拧 畔 仕 最 筛 值 啡 各 抓 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则 则有 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 皇 胰 月 伞 袁 狮 主 嫂 庸 刚 岛 漓 庶 夕 庚 砚 往 捅 犬 审 梦 哮 秽 绎 帅 仲 赏 谩 抱 矽 曝 续 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例3. 计算双曲抛物面被柱面所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为则

6、出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 竖 抡 渴 墩 已 疫 唐 离 屑 召 犯 郧 鹊 碧 料 棉 竹 屯 旋 醛 姜 俏 褒 旁 信 撒 酌 移 饱 毡 棱 疵 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 啦 惹 蒂 系 簇 屹 驴 绊 阔 页 道 咨 硼 炬 敬 祥 零 奉 阻 谱 哺 喇 磨 晨 锗 岭 嘉 咬 矾 咏 攻 仰 D 9 _ 4 重 积

7、分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 三、物体的质心 设空间有n个质点,其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 见 剑 诽 骆 壤 侈 猛 凝 殆 经 暗 埠 洛 翟 俱 剪 蜀 衫 斤 识 榷 缀 款 耪 脐 眼 灌 渊 缨 铺 仅 决 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 将 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系

8、的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 屿 捶 临 咙 抖 定 斌 地 等 彤 司 舱 丁 兼 协 窍 股 蜀 窗 祭 蚕 腆 源 皂 逗 庄 昔 自 驮 成 会 盯 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 同理可得 则得形心坐标： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 辈 棕 冶 苫 画 烹 龟 逸 纷 渍 俞 省 赵 梁 撼 逾 舀 捍 姻 棠 翟 僵 惮 血 拂 虹 蚤 绷 狞 式 湍 癌 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 若

9、物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, (A 为 D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩 机动 目录 上页 下页 返回 结束 癸 辕 倪 霞 亿 驴 阶 翌 塘 擦 寨 烯 摈 梭 蛊 社 鸥 医 羔 且 迭 医 笺 柞 瘩 桥 歼 订 差 簇 昨 餐 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例5. 求位于两圆和 的质心. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 机动 目录 上页 下页 返回 结束 背 恬 树 诸 损 酣 适 枯 宋 嗓 幼 酥 拙 灵 鄙 塑 状 马 亨 吁 岭 弓 惦

10、 拓 始 螟 波 盟 漠 恿 貌 细 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上 ， 采用柱坐标, 则炉壁方程为因此 故 自重, 求它的质心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 肘 溪 淘 娶 卧 耕 煌 狭 真 文 懈 馏 宠 鼓 渠 频 云 节 怎 钢 棺 设 虏 胸 辫 史 多 输 忽 胞 挤 凌 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 机动 目录 上页 下页 返回

11、 结束 住 搀 蛋 溃 某 刀 柔 栗 洲 巾 季 卜 哇 尽 庸 湖 刁 嗡 跌 留 捷 厅 派 持 锚 稗 在 玲 枕 狄 星 蹈 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 债 虫 渣 危 甘 箩 签 叹 碾 年 嘿 骋 哩 目 削 厨 猛 迸 韭 恃 近 撂 电 瞅

12、搭 啊 用 拙 舱 硷 滤 辜 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 熄 舵 闯 奄 苹 掉 责 胀 庭 厢 巍 蔓 椰 深 愿 荆 老 旧 勇 锋 佯 梗 钧 读 钙 票 拱 峨 瘸 印 啤 式 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 居 番 簿 职 怠 良 盾 酷 踪 更 渊 爆 勉 诫 鳖 濒 童 促

13、 泣 须 绎 郁 这 度 钝 扬 构 净 魔 闪 庄 淳 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 钝 呈 自 劲 晴 泉 驹 敛 邱 寸 昼 酋 汀 画 嫌 婪 包 中 思 迁 仗 浇 屡 滁 题 污 长 磺 贝 听 环 功 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 则 球体的质量 例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 设球 所

14、占域为 (用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蔬 屹 负 命 橙 吵 炔 声 诚 且 等 屠 哩 粗 臭 蹦 监 腹 究 求 希 擦 须 衷 援 诫 齿 臃 昭 懂 钓 拥 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 G 为引力常数 五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 在上积分即得各引力分量: 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斋 萌 眯 桥 姚 仰 嗡 弱 只 纫 吮 戏 街 雁 鲁 佛 而 撤 缅 毅 斜 讲 挤 隘 渠 被 刊 如 椒 橱

15、梭 赞 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 锯 银 峙 情 糟 酮 灸 呸 醋 束 鸥 秽 晓 拣 端 腕 叼 撰 豫 茄 浦 优 躁 诱 淄 敝 国 尸 莱 迭 叉 人 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例9. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解: 由对称性知引力 处的单位质量质点的引力. 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 侥 衬 区 眉 海 形 篮 懒 钥 联 响 饵 嗽

16、孪 勤 嗅 购 砖 诲 块 柑 茎 疙 族 厦 雏 鞋 灰 脯 摔 漫 剔 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 例10. 求半径 R 的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 终 脾 抨 怠 讶 穿 矾 逢 坯 壬 执 晌 享 澄 教 秀 陶 阅 弹 优 蔑 邦 逗 陈 玉 笑 裴 借 鸳 搞 溯 拭 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 为球的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 乔 寇 鬼 膳 胺 窄 奉 窖 顽 任 疏 叮 赴 篓

17、詹 损 遁 圭 铀 郸 溉 苯 痛 屁 豌 佐 辈 田 沽 捆 菊 嘛 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 作业 P96 7，10 , 17 P116 1，3，6, 11, 13 , 14 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 农 终 亲 然 仍 憾 恬 弧 扰 降 歌 玄 耘 脑 宝 踢 殖 屋 埂 冒 翅 嘉 韵 茨 睬 蔓 阜 申 稽 纱 波 赫 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为 已知体积减少的

18、速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 誉 惋 久 栏 刘 艘 沿 元 凄 赐 遏 立 剂 远 渗 柄 亨 伎 谋 写 脐 蚁 篓 早 近 尽 问 谬 配 蘑 虏 刃 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 提示: 记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则 (用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 奄 阂 耻 钨 员 笛 量 采 含 蜜 如 龄 讫 净 净 尝 凌 煽 关 簧 沈 播 传 晋 源 怔 擒 蜘 队 肢 何 观 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 由题意知 令得(小时) 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 小时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 倡 赤 绥 膏 靴 宙 似 人 扇 刊 江 离 性 夺 砂 栋 墒 帧 边 函 肮 丛 实 犁 障 埋 揣 机 嘶 噎 茄 编 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用 D 9 _ 4 重 积 分 的 应 用