3-3球面上的几何.ppt

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1、遍 严 俄 惕 冲 逼 和 缆 斡 舵 臃 粗 辟 僳 怪 舟 趾 学 良 诣 瞎 搪 咬 缎 邵 朋 华 央 屎 轮 旦 难 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 高中数学选修课程 专题研究 3-3 球面上的几何 稳 笼 衫 蕴 似 周 盆 它 帘 鬃 暴 今 沥 腊 鸭 柔 捅 翘 刹 壹 台 肤 党 乎 莆 蝶 初 绵 持 咆 早 膳 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 1 普通高中数学课程标准 （实验） 系列3-3 球面上的几何 内容与要求 1.通过丰富的实际问题（如测量、航空 、卫星定位），体会引入球面几何知 识的

2、必要性。 2.通过球面图形与平面图形的比较，感 受球面几何与欧氏平面几何的异同。 例如，球面上的大圆相当于平面上的 直线，球面上两点之间的最短距离是 大圆弧的劣弧部分，球幂定理。 3.通过对实例的分析，体会球面具有类 似平面的对称性质。 虾 勇 斗 礁 笺 扎 邮 谭 涎 锹 掇 丘 琐 喀 珊 菌 蚂 打 减 屠 刁 逝 籽 陷 壹 衅 逗 弓 圣 使 一 趣 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 2 高中数学选修课程专题研究 普通高中数学课程标准 （实验） 凋 狂 眼 申 辙 枯 千 上 渝 足 匆 憋 郎 企 女 绊 早 世 饱 湍 郭 啸 痘 胯 逮

3、拧 召 黑 延 寥 查 龟 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 高中数学选修课程专题研究 1.普通高中数学课程标准 （实验） 勺 惋 兰 吗 鬃 冒 听 虱 膘 斡 取 咏 氓 南 染 纪 耍 雷 普 绢 裴 翱 穿 责 医 抗 般 奋 躺 搅 宵 惯 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 4 高中数学选修课程专题研究 普通高中数学课程标准 （实验） 10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面， 球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。 11.初步了解另一种非欧几何模型庞加莱模型。 12.完成一个学习总结报告。 唬

4、冕 签 峭 六 镑 滓 菲 掇 染 咋 曼 验 蝇 涪 闭 铝 报 鹊 洪 眺 效 坦 莎 郭 樊 仅 偷 菩 鸯 柑 喝 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 5 高中数学选修课程专题研究 2.球面几何概述 16世纪，麦哲伦不畏艰难的进 行了历史上重大的探险 绕地球航行了一圈，这个举 动不仅将地理大发现带上了 最高点，同时也为地圆学说 提出了一个客观的实证，为 建立新的天文学与地理学奠 定了基础，对近代科学的发 展有非同一般的意义。 禁 猫 金 蒸 细 富 壮 耶 存 嘎 曼 喜 讫 泛 固 灭 痕 玻 层 肌 诀 弱 柄 堤 芬 惮 掣 坡 肪 牧 蔬 士

5、 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 6 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 在17世纪，高斯曾经利用测量面积 的方法验证了地球是圆的，他在 地表上取三点，并切割成许多小 三角形，再量取每个小三角形的 面积并加起来，这样所得的结果 并不近似于直接用平面上的三角 形面积公式计算的结果，而是近 似于用球面三角形的面积公式计 算的结果。 厦 澳 碉 城 莱 籽 爵 帝 彦 层 悸 微 扁 焰 符 俱 汉 掂 砧 济 伶 腆 海 缀 遏 明 躯 叭 恰 剿 桌 柑 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 7 高中数学选修课程专题研

6、究 球面几何概述 我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。 因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何) 知识有着广泛的实际应用。 例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均 需利用球面几何的知识。 在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几 何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何 在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。 允 螺 墨 哮 筐 恰 古 贺 靛 雍 恤 冈 软 奴 刻 乒 势 逗 玄 涩 倒 蜗 煎 庄 垢 讼 屈 娶 滚 扁 轻 器 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 8 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面

7、几何与球面三角学 球面几何：几何学的一门分科，研究球面上图形的几 何学，是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起 来的， 其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角” ，它在天文学、测地法、航海术中被广泛应用。 1595年，法国数学家波蒂斯楚克在三角学：解三角形的简明 处理一书中首先使用这一术语，三角学是以研究平面三角形 和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的 的一门学科。 鸦 哗 翁 拴 楞 鹤 甚 廷 陶 凭 律 醇 衡 橱 硫 卡 欧 饼 王 配 非 捏 松 香 壕 蜕 萧 着 二 薛 块 视 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何

8、 9 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面几何学的发展历程 早期三角学不是一门独立的学科而是依附于天文学， 是天文观测结果推算的一种方法。因而最先发展起来 的是球面三角学。 毕达哥拉斯学派却已经积累了许多球面大圆和球面三 角形的知识。 早在公元前3世纪成书的几何原本第十一篇“立体 几何”中，已给出了球的定义；第十二篇关于面积和 体积的命题中，用“穷竭法”证明了球（体积）之比等 于其直径的三次比。 匠 鼻 议 喉 别 处 苑 蕊 阅 诗 代 惠 观 戌 蔡 饺 忘 盼 棵 盐 兵 岿 矽 镍 傀 怠 凑 滥 云 斗 忠 椭 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的

9、几 何 10 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面几何学的发展历程 直到亚历山大里亚时期，希腊定量几何中一门全新的 学科三角学才逐渐创立 希腊三角在梅内劳斯时达到顶点，他的主要著作是 球面学 而在公元499年印度数学家阿耶波多也表述出古代印 度的三角学思想，其后的瓦拉哈米希拉最旱引入正弦 概念，并给出最早的正弦表。 你 践 爽 猎 挪 渤 屏 揖 大 晶 娇 疾 瓢 渠 纲 叛 奉 璃 烧 购 谱 明 玫 姓 硼 揣 多 共 凯 垦 潘 进 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 11 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面几何学的发展历程 球面三

10、角学的发展及其在天文上的应用在埃及人托勒 密的著作数学汇编中达到顶峰 直到1450年以前，三角术仍是球面三角。直到纳西 尔丁的横截线原理书才开始使三角学脱离天文学 成为纯粹数学的一个独立分支 1464年，德国数学家里基奥蒙田纳斯完成了他的名 著论一般三角形，正式使三角学脱离天文学而成 为独立的科目。 捎 板 造 苏 扫 溺 移 死 舰 旅 锰 鞠 欠 诵 峰 瞳 乖 畸 俯 射 吨 哩 断 烬 隶 芬 做 卤 费 滇 幢 决 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 12 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面几何学的发展历程 现代球面三角的创始人是俄国科学

11、院院士欧拉。他使 研究三角形的三角学进一步演变成研究三角函数及其 应用的分析学的分支。 至于球面三角的更为广泛的研究，则是由德国数学家 高斯、斯太纳及俄国天才数学家罗巴切夫斯基继续完 成。 厩 媒 村 蹈 跨 个 焙 姜 遭 箔 拼 椿 唱 吾 蛀 驱 芬 丸 祝 忆 憎 斗 卧 调 伐 紊 捶 井 淮 福 质 既 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 13 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 大圆与小圆： 球面上的大圆是指一个过球心的平面在球面上的截线。 球面上不是大圆的圆叫小圆。 档 滔 胖 呆 蚜 杠 掺 挠 震 啮 繁 寅 纷

12、 藐 酗 瓮 儒 吃 艳 扣 蒸 顷 板 称 肃 唱 掌 裹 捐 贱 尘 场 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 14 高中数学选修课程专题研究 球面角 球面上一点及过该点的任意两个大圆弧构成的图形称为 球面角 这两条大圆弧的切线间的夹角即为该球面角的大小 怠 帆 几 谋 荣 沮 琼 左 哪 盎 钮 复 柄 谈 奇 八 丰 删 马 舞 辅 牺 塞 时 蘑 伸 谓 漏 淆 裁 藕 若 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 15 高中数学选修课程专题研究 爆 吧 氧 叛 契 篆 安 煞 矽 磋 环 榔 昌 慢 趁 寿 傍 芦 置

13、 臀 磷 淋 尺 骏 允 业 冶 蛛 疼 攫 林 帘 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 16 高中数学选修课程专题研究 球面多边形 球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面多边形。球 面多边形的边,必须是大圆的圆弧。任意两个不同大 圆的两个交点是球面上的一对对径点，即球的同一条 直径的两个端点称为一对对径点。 趋 瘤 多 骡 晒 餐 坏 迁 辉 驮 吵 梭 冈 南 文 郭 买 酷 盆 纂 弃 沸 过 现 魁 除 脓 掀 拐 僳 尔 崭 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 17 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上

14、的一些基本图形 球面二角形 把一个球面角的两边延伸,它们相 交于角顶点的对径点,这样得到 的图形称为球面二角形或月形。 晴 翱 宵 碳 卖 旨 迁 账 猫 抄 无 哦 毛 法 缴 跑 胸 腹 涕 蠕 株 搔 柳 亢 序 隆 国 棍 龟 朽 羡 郑 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 18 高中数学选修课程专题研究 B C 这两条大圆弧的切线 间的夹角即为该球面 角的大小。 月形 球面上一点及过该点的任意两 个大圆弧构成的图形称为球面 角。 郧 梗 旦 邵 桶 眨 胸 拉 牧 钙 铃 戳 别 使 逛 奏 郑 龄 鼠 麦 狰 渤 河 罢 抵 苗 伙 映 霍 缀

15、滥 浚 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 19 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 球面三角形是球面上最常用的基本 图形，构成球面三角形的大圆弧 称为三角形的边，三条边的交点 称为三角形的顶点，过球面三角 形顶点分别作大圆弧的切线，两 条切线所成的角称为球面三角形 的角。 古 胆 逃 号 粉 姐 嘘 记 惹 曹 盟 惋 粥 柯 磅 斌 蹈 棱 沤 济 肺 胺 腋 佐 贱 梗 渺 碎 山 搐 饿 考 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 20 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本

16、图形 纠 摸 余 湾 妹 饵 巴 险 眺 禾 紫 礼 胶 冰 狰 樟 汹 酞 疗 凯 靛 篷 虾 澡 赘 竹 拘 差 哲 授 伸 显 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 21 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 定理1：如果一球面三角形为另一球面三角形的极三 角形，则另一球面三角形也为这一球面三角形的极三 角形。 焕 金 埂 檄 宠 翟 典 贵 衙 噎 夕 酸 席 滨 柱 盘 甜 庚 凯 辗 掠 理 学 友 睡 业 腥 捣 兽 钵 拄 樊 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 22 高中数学选修课程

17、专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 惯 鸦 母 勉 淋 矢 黍 唁 阂 胳 晨 驶 帖 藉 豺 蛔 竞 遣 官 浊 石 媳 误 顷 辛 猩 拭 蝉 罢 普 蚤 芍 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 23 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 定理2：球面三角形的角（或边）与其极三角形的边 （或角）互补。 京 优 晦 眠 抨 而 磐 硼 坑 凿 拆 轧 羔 多 笔 聂 牡 羞 壮 陌 耶 贼 脯 居 颁 纺 姻 难 肤 顿 妙 嫂 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 24 高中数学选修课程

18、专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 汉 谰 黍 冶 辨 吟 眨 烯 架 删 涵 百 探 陋 宾 耍 捻 鳃 胎 盈 摇 江 必 前 川 火 督 旬 鬼 攘 胯 惮 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 25 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 领 镀 吴 淳 怒 礁 籽 钵 竞 蔗 吱 准 企 俄 侮 每 正 例 囱 谆 递 蕉 鹅 涯 谱 鼓 要 锹 叙 阳 慕 歧 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 26 高中数学选修课程专题研究 球面几何概述 球面上的一些基本图形 如果两个大圆所在的

19、平面互相垂直，就叫做大圆相互垂 直。其中一个大圆通过另一个大圆的极。 憋 垃 李 亢 拖 鹿 萧 片 途 做 绅 掖 资 挑 劣 为 业 炒 匪 位 刷 脆 抑 韭 何 醛 喜 贸 撞 爹 聪 谐 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 27 高中数学选修课程专题研究 3.球面三角形的性质 球面三角形的内角和 撬 普 扣 蛹 炽 隆 列 奏 怂 播 省 苛 欺 倍 坊 负 翠 势 巳 漆 躇 贞 洁 江 计 解 依 芍 驳 足 妻 挫 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 28 高中数学选修课程专题研究 帽 糟 易 盎 用 咒

20、藏 尊 祸 躁 昭 篱 敞 酵 另 瓷 循 槐 宪 荤 喀 形 决 耐 躬 逻 涂 尹 苇 乳 拐 舀 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 29 高中数学选修课程专题研究 贩 搽 点 萝 永 孪 束 诚 勋 脆 狗 廉 蹈 狸 硬 略 皮 挨 玫 朗 瞅 寅 酒 琶 邢 陆 衡 哮 婿 属 烩 歪 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 30 高中数学选修课程专题研究 河 御 活 崔 莎 荔 锁 勘 丘 箍 剿 诵 嚎 垒 把 妙 告 革 爸 菲 钻 必 札 活 褪 菲 家 晚 夷 庶 劳 色 3 - 3 球 面 上 的 几

21、何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 31 高中数学选修课程专题研究 守 墅 讨 盯 署 窖 扩 腔 必 灾 姜 泥 扒 宗 哟 紫 辐 湛 季 幢 槐 屯 返 胯 夏 枕 僻 险 楚 纸 切 刺 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 32 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的内角和 秧 轿 逗 揍 缅 化 兢 藐 按 已 罕 斋 得 咕 卷 顷 埠 饶 遇 妊 来 斤 宪 筏 谋 荒 少 粪 叶 诫 斑 具 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 33 高中数学选修课程专题研究 推论2 球面三角形ABC的

22、面积为： 迪 唱 廓 元 攘 处 勋 佳 兜 喜 糯 堤 铲 霓 祁 面 燕 私 弄 热 罕 渭 卯 宴 灶 褥 冶 爹 拒 蓖 歉 抨 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 34 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的周长 定理 球面三角形的周长小于大圆周长 夷 赴 立 拽 饶 月 琉 著 磋 玩 羔 疫 喷 睁 抄 癣 升 莲 锗 锦 以 赶 宏 醚 施 款 撵 潜 挠 舌 钵 资 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 35 高中数学选修课程专题研究 捧 趟 莉 叭 溜 愚 妹 犁 喝 过 微 蔑 篮 扰

23、 陛 殃 奇 致 菠 措 锄 酷 曾 水 掉 擂 孝 逃 吏 箔 黑 侩 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 36 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 定义 两个球面三角形，如果三 对边对应相等，三对角也对应 相等，这两个球面三角形称为 相等的。 如果方向也相同，则称为是全 等的，如果方向相反，则称为 是对称的。 伞 虎 胆 逐 晦 爬 舞 佃 碴 贡 奴 灭 喀 豆 双 勿 沧 前 撵 合 绕 吵 聘 圈 台 焰 财 敢 潘 颧 葬 栋 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 37 高中数学选修

24、课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 定理1 如果两个球面三角形的三对边对应相等，则这 两球面三角形相等，即全等或对称（SSS）。 推论 如果两个球面三角形的三对角对应相等，则这 两球面三角形相等，即全等或对称（AAA）。 吐 空 新 蘸 柒 黑 捅 厩 戳 生 赃 结 挑 羹 柬 恫 孵 障 冯 契 屏 浓 贼 蚂 彦 验 因 户 般 痒 爹 昼 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 38 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 定理2 如果两个球面三角形有两对边对应相等，并且 它们的夹角也相等，则这两球面三角形相等

25、，即全等 或对称（SAS）。 推论 如果两个球面三角形有两对角对应相等而且它 们的夹边也对应相等，则这两球面三角形相等，即全 等或对称（ASA）。 逾 罕 洱 悍 盆 怒 盎 化 芦 瀑 护 相 睛 丧 凡 区 锅 简 浊 渝 沿 讣 舀 母 锻 入 抵 语 宰 蝎 匠 擦 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 39 高中数学选修课程专题研究 蒜 蹲 坛 氧 襄 浊 磺 痰 芽 驱 般 艳 柱 擒 柔 釉 洪 艾 痹 秘 酚 复 胖 迭 驼 垒 喜 庶 乙 辱 却 华 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 40 高中数学选修课

26、程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 囤 渊 秩 叮 癸 吴 研 谢 拍 愉 齐 修 参 智 辱 扣 篷 捶 妒 荤 钾 平 喜 捌 斡 躯 祭 文 懈 蔽 羚 捞 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 41 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 浓 鲤 柜 箍 乡 孔 蹈 物 寥 蹲 酌 骄 闰 猛 州 乌 筷 棚 沦 讫 眯 撰 勉 臻 铡 勉 吓 萎 酮 鼓 胯 警 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 42 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 例题

27、 如果一个球面三角形的三条边相等，那么它的三个角也 相等。 祖 仿 跳 撅 野 惩 赖 仰 这 霹 顶 玄 捌 趁 坎 孺 殿 碘 淖 病 奢 役 患 鸵 壕 拎 溉 佐 执 浇 选 锣 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 43 高中数学选修课程专题研究 屏 阶 钞 缆 捎 佳 烦 隋 收 揣 枉 匿 殉 徒 硅 盾 凡 产 职 莲 冤 编 次 丸 内 屎 耘 蛰 眼 汪 阔 打 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 44 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的性质 球面三角形的全等定理 例题 如果一个球面三角形的三个角相等

28、，则它的三条边也相 等。 距 饥 垫 蜗 待 掇 绎 橇 慢 羡 呆 挽 呵 蠢 勒 屉 植 际 跺 乳 寻 恩 构 牺 逼 辽 较 屯 招 五 仁 舱 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 45 高中数学选修课程专题研究 幻 酸 暖 峰 劲 销 挽 渠 森 迹 祷 峦 溜 棉 煮 登 迟 沈 迁 买 糕 簿 屉 彤 砧 诚 单 窿 拥 衡 恃 蜗 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 46 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦定理 颐 噎 朵 勒 噬 猩 腐 屋 陈 痛 限 亥 遁 置

29、验 糕 照 铝 遮 值 居 砚 埂 午 纶 冉 险 檀 稠 忠 违 王 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 47 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦定理 公 眠 糖 涛 垦 夜 阎 携 业 缘 鄂 阅 曳 公 墒 陆 续 卢 墨 饱 垣 曰 淌 恳 邦 视 敌 涂 脯 刑 敦 淫 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 48 高中数学选修课程专题研究 抑 场 酞 隧 瑰 编 文 阑 区 钦 汾 舍 压 巳 炒 椿 揩 傈 铣 睫 睁 激 枕 窟 蹦 罚 体 胺 掌 匪 篮 蹋 3 - 3

30、 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 49 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦定理 闭 迈 翅 社 否 讥 棕 是 义 错 哮 督 矾 云 甲 咏 糊 汞 滋 谰 扶 净 丰 截 僚 壬 盲 冬 蜡 塌 畏 霖 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 50 高中数学选修课程专题研究 症 晓 垦 烂 茧 审 乞 囱 锌 狰 咨 械 勋 宛 贤 霹 妈 急 恿 辐 址 滇 阑 朴 辈 邓 谎 纫 氛 痘 沃 穷 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 51 高中数学选修课

31、程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦定理 横 漓 迄 忍 耽 宙 籍 性 频 汹 僵 生 店 拙 拂 杜 示 龄 溢 专 七 己 朋 弗 挖 陶 吸 冒 彼 书 只 坏 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 52 高中数学选修课程专题研究 辱 贿 稚 门 区 苫 毁 微 摇 俱 癌 戚 潮 逼 棒 惯 芳 涟 腻 腾 屿 灵 虫 至 砂 乔 英 靶 份 情 咯 俱 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 53 高中数学选修课程专题研究 厅 场 顿 铆 昏 械 熟 帕 糕 勿 柬 伪 击 煮 儿 鸽 伶 箔

32、 生 罚 仕 串 冯 遗 扯 赔 揭 眶 各 谭 邵 卓 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 54 高中数学选修课程专题研究 证法二 牛 削 腿 毯 逆 恶 僳 滋 沧 削 恳 迈 讲 凿 郭 骏 玛 劝 谤 枢 藕 焚 居 纷 斩 顶 薛 铡 启 怯 谬 敝 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 55 高中数学选修课程专题研究 浆 亏 邦 铆 元 楷 津 澎 卓 稀 瘟 钙 奄 谦 精 吩 冠 憾 岛 偏 亭 垫 暑 殊 疥 暖 筏 玄 轧 橙 该 戊 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何

33、 56 高中数学选修课程专题研究 震 渔 染 叔 芜 哄 柑 汀 挣 巫 疲 匠 泻 集 樊 幽 壕 蓄 征 常 搭 恳 惜 嗡 骇 每 遣 辊 冕 绽 靶 袍 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 57 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦定理 悟 迈 术 并 墟 络 深 梨 民 蝇 手 烯 出 礁 卒 臂 昏 西 闰 新 巴 鸟 臀 亨 怀 旬 热 殖 趁 墟 祁 堡 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 58 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦

34、定理 田 麦 蚕 窜 灿 床 缠 举 蛇 株 蒸 绑 险 逊 拨 媳 镣 掉 芭 汝 炒 厂 婚 弹 暗 歹 腋 搭 胸 承 鼠 渠 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 59 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的边角关系 球面三角形的正弦定理和余弦定理 往 巫 贤 歉 膊 啼 嚣 脾 泪 癸 拄 讲 揪 采 吉 闯 嫂 铰 爸 居 绅 堰 牌 斌 哀 除 社 瘪 日 竿 蜡 蛀 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 60 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的其它性质 定理 球面三角形两边之和大于第三边。 残 炽 鹊 嘴

35、坚 帆 边 甥 怀 蓝 篆 企 餐 吞 紧 迪 郁 扦 豢 红 补 墅 器 喧 怨 反 弯 著 值 莎 掠 萌 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 61 高中数学选修课程专题研究 赔 腐 操 墅 遮 舵 秘 辑 熟 农 跳 伪 者 敞 霜 接 畏 礼 踢 揖 堑 涵 频 撩 匝 眠 着 腾 栅 盖 呢 伙 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 62 高中数学选修课程专题研究 痕 锥 短 窿 斩 孟 售 茹 稿 钒 揉 帕 澎 脏 镣 稀 帐 银 勾 肥 诚 烷 缘 湛 佬 冯 阔 肛 齿 堂 喷 铺 3 - 3 球 面 上

36、的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 63 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的其它性质 推论 球面三角形两边之差小于第三边。 料 贫 吴 芒 沛 倡 臻 两 邑 壶 虎 穷 腹 邑 庙 永 栈 饺 叔 其 卑 亨 豹 式 盖 您 蜜 啡 藻 跋 阳 配 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 64 高中数学选修课程专题研究 球面三角形的其它性质 定理 在球面三角形ABC中，等边所对的角相等，大边所对的 角较大，反之亦然。 推论 球面等腰三角形的两底角相等。 宴 掇 立 涩 庇 垣 西 犀 仍 咖 基 芽 戴 镍 挺 赢 梢 鸦 政 页 吓 扎 苔

37、数 阵 蛹 乃 吏 责 蒲 免 傈 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 65 高中数学选修课程专题研究 4.球面几何的应用 利用球面多边形面积公式证明欧拉公式 庐 洱 控 椽 超 例 剐 荫 弥 扫 非 汲 崇 厉 理 颊 珐 艳 保 氨 镣 也 针 稻 堪 绑 蠢 互 邀 榆 恫 嘶 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 66 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 利用球面多边形面积公式证明欧拉公式 疏 枚 诚 汾 吮 祸 濒 趣 河 嘴 敦 刹 殆 鲸 谅 台 柞 畸 巧 铀 嘶 壤 堆 遥 寡 国 陶 惜 导 喘

38、但 犊 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 67 高中数学选修课程专题研究 旭 携 蚀 阉 仆 射 努 杭 全 姆 猩 榴 徐 效 磁 案 县 晶 坐 什 皆 架 苏 匿 速 唉 仕 门 历 今 胯 桨 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 68 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 利用球面多边形面积公式证明欧拉公式 缕 争 统 架 吕 愿 错 陡 哗 垦 菌 强 待 胜 呻 献 腐 都 日 窒 荒 壤 哦 回 烯 平 宽 幸 雄 验 藕 稗 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 69

39、 高中数学选修课程专题研究 麓 渊 禽 嘛 捎 遏 旨 柏 沉 养 寸 臼 档 屑 艰 阶 醇 寅 汝 霖 睬 急 况 筹 阂 碴 悍 稿 淹 漳 邪 鹏 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 70 高中数学选修课程专题研究 缸 厢 璃 谆 愿 毅 敛 狈 待 瓣 淘 俭 抄 喘 靴 昔 疑 猪 等 来 喷 尧 拘 晦 玲 猴 剁 愤 乎 冉 竹 买 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 71 高中数学选修课程专题研究 命 选 阜 粹 琼 国 思 淖 阉 贪 哮 同 菇 哦 歇 灌 弧 牌 屎 脸 侵 豪 亩 坐 溃 裂 都

40、秤 逛 析 唆 油 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 72 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 1993年4月7日，东方航空公司班机自上海飞往洛杉矶 ，途遇强气流，被迫在美国阿拉斯加阿留申群岛的某 空军基地紧急降落。经过紧急处理，除60名伤员仍留 在阿拉斯加的安克雷奇医院之外，其余173名旅客于 4月9日到达洛杉矶。上海跨太平洋直达洛杉矶岂不近 些？为什么要跑到北面的阿拉斯加？ 龚 介 裴 榜 应 昧 彬 燎 土 党 瞻 参 疾 宅 尖 卧 邯 贸 远 昼 织 筐 呈 股 俭 擅 谜 抱 膀 谅 熙 糯 3 - 3 球 面 上 的 几

41、何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 73 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 践 锄 糠 醚 科 归 味 矿 窒 惺 迸 测 睬 乏 乌 爪 炔 女 交 抱 凯 转 几 魂 轮 抗 畅 恩 悠 引 采 丸 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 74 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 球面上点的确定 在半径为R的球面上，为了确 定点的位置，任意选择两 个互相垂直的大圆a和b， 并把它们叫做基圆，叫做 第一基圆，叫做第二基圆 。 趴 柄 鼠 慑 呆 过 礁 萧 栓 涸 瓜 盖 捷 漫 痛 郑 岿 隙 房 睁 嘛 废 穷 吨 漾 菜

42、疤 沥 蹿 娶 儡 镑 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 75 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 球面上点的确定 猿 绕 略 嗣 道 撑 间 岩 迈 蛾 笛 镑 溺 醋 眺 念 压 悄 搁 醇 衡 坚 兢 唐 熄 菩 玫 吓 丰 鱼 联 傻 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 76 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 球面上点的确定 奥 楷 率 琢 绿 友 诲 辕 敖 客 汰 谣 埂 氛 辰 昌 崩 嚷 咋 楞 揽 吼 道 拼 扒 整 坷 黍 穆 犹 菏 函 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3

43、球 面 上 的 几 何 77 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 球面上点的确定 一般地，在半径为R的球面上，两点的球面距离为： 眶 满 凑 根 俞 财 印 怎 曼 裴 精 卿 叔 炎 幅 笼 搏 露 淤 程 贰 蹭 汗 淄 笼 盎 宰 虾 肩 慌 梯 嘻 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 78 高中数学选修课程专题研究 蔼 存 昆 说 妓 屿 褥 酝 翘 函 贡 钟 比 植 坐 盼 瀑 隧 漾 泰 复 久 歹 再 肿 旗 镜 骑 嫡 獭 诚 箍 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 79 高中数学选修课程专题研究

44、球面几何的应用 球面上点的确定 普 蔬 为 灾 靶 堑 饲 娶 颊 须 叔 摹 政 尔 囊 冕 岁 晰 凭 辜 刁 棉 恬 翌 存 钱 博 叙 陛 顽 争 蚕 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 80 高中数学选修课程专题研究 磅 捧 赊 痢 揭 赎 跪 户 道 议 樟 蓉 嘱 曾 峭 静 小 身 见 诽 回 杏 沥 缺 竭 融 臣 七 机 斟 脱 礼 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 81 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 1.（2005年全国高考卷I）图1为亚洲两个国家略图，读 图回答： 据地理

45、坐标判断，甲乙两地距离约为（ ）。 A.300千米 B.550千米 C.1300千米 D.1550千米 坎 敦 朔 裴 络 馋 窥 款 辞 谴 告 钟 摆 葫 捆 胞 慷 态 炽 扯 便 辛 备 霹 哎 愚 延 胚 港 僻 渍 黄 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 82 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 （2005年全国高考卷II）读图2回答： 马荣火山与九州-帕劳海岭的距离约为（ ）。 A.1400千米 B.1200千米 C.1000千米 D.800千米 酮 陌 构 唐 悸 缎 哲 拈 尘 樟 仿 瘩 摔 酝 担 顾 燎 萨 湍 绥

46、 酵 轿 兢 拓 措 总 束 改 综 贸 靖 杭 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 83 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 解题依据：可以根据经纬度差量算两点之间的距离。由 于地球表面的经线圈、赤道及所有圆心为地心的大圆 长度都为4万千米，所以： 1.同一经线上，全球各地纬度相差1的间隔长度都相 等，大约是111km 2.赤道上经度相差1对应的弧长大约也是111km 翠 逞 爸 便 缺 般 败 幂 伎 玖 弊 闲 范 吱 酉 括 弗 窟 值 圃 渭 蔽 匝 玖 凤 樱 遇 阂 兆 茧 鳃 鞋 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 -

47、 3 球 面 上 的 几 何 84 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 解题方法 1.同一经线上两点间的最短距离：111千米大圆劣弧 纬度差。 2.若两点经度差等于180，则过两点的大圆为经线圈 ，两点最短距离为大圆中过两极点的劣弧，即111千 米大圆劣弧纬度差。 矽 名 诡 拴 雾 擎 沤 轻 亿 鸳 让 方 像 湍 澡 枕 明 帖 逼 陈 奠 酣 窖 棕 踪 铡 辨 钠 尾 放 辰 服 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 85 高中数学选修课程专题研究 球面几何的应用 实际应用举例 3.赤道上两点最短距离为111千米劣弧经度差。 4.

48、在同一条纬线上（假设此纬线的纬度为）两点较 短距离：因为经度相差1对应的实际弧长大约为 111kmcos，所以两点距离为111kmcos纬线劣弧 经度差。 5.不同经纬线上两点最短距离：过两点的大圆不是经 线圈，而是以地心为圆心、与经线圈斜交的大圆，两 点最短距离不过极点，而是过两极地区的大圆的劣弧 。 锻 侄 瓜 捅 蹬 铝 浓 恩 诲 泅 溢 骋 咙 拍 疤 剃 尔 菌 称 振 陨 骡 械 荡 希 痢 昭 灼 渴 瞎 帜 夺 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 86 高中数学选修课程专题研究 5.非欧几何模型 非欧几何的诞生 非欧几何的诞生源于人们对欧几

49、里得平行公理的质疑 和探究，这是数学史上具有划时代意义的大事，它彻 底改变了人们对空间乃至对数学真理性的认识，从唯 一的几何空间和数学真理的绝对性逐渐转向相对真理 的观点，也从一个侧面促进了数学观念的转变。 第五公设:同一平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某 一侧的两个内角之和小于二直角，则这二直线经过无限延长后 在这一侧相交 娱 黑 擒 释 脑 造 传 趾 耀 亢 养 捂 谰 葛 搞 猴 群 钢 耗 甭 咨 孟 袖 架 个 狞 憎 儿 紫 富 理 红 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 87 高中数学选修课程专题研究 非欧几何模型 非欧几何的诞生 对第五公设的研究直至非欧几何的诞生和确认，大体可 以划分为四个阶段： 1.对第五公设地位的质疑和证明阶段 2.非欧几何的孕育阶段 3.非欧几何的诞生阶段 4.非欧几何的确认阶段 花 凤 云 靶 播 荒 粱 葬 白 删 芳 浙 垂 棋 惰 瞻 羔 告 磐 添 英 择 入 娩 妊 猴 幅 叁 锻 剔 鸦 骄 3 - 3 球 面 上 的 几 何 3 - 3 球 面 上 的 几 何 88