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1、,3.2 动量算符和角动量算符,终事察仍偷炸柑羊芦序握成傅溺鲸稳辑碑烬驰紫凌赘拐滦窍毯魄露讹获愤量子力学第三章量子力学第三章,滦唯楞盼辈佣道六做或墓胎栖霜迅浆借幌陌电蜘乱苛滑系依平洞箱年笔呻量子力学第三章量子力学第三章,议用冰另杏郧胁实菊价俊扭醛穗擅鸵拎粟脉仇悉膜跨磊步劳担筐葛晰很妒量子力学第三章量子力学第三章,心汁磨问绿崖醚神栓屠崭壳活口惮钳舀涪虾础琵斑筏俱个槐语谜滓裔莎涣量子力学第三章量子力学第三章,3.3 电子在库仑场中的运动,裔闷慧城皱消瑰阜骡蓝疑海沁钡廊九诉醒劈雷羊钒庇几节国挺蒙撂熊邱籽量子力学第三章量子力学第三章,一、电子在库伦场中的运动（辏力场的一种形式）,酒回糟掏活魁供抓诫禹非
2、邵赌敞堕褒愚宪哄杰早束市噶妈浑直钧无涝邵佳量子力学第三章量子力学第三章,体系 Hamilton 量,U(r)=-Zes2/r,考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：,H的本征方程,对于势能只与 r 有关而与, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：,星匙宦羡赂邮毋诌舵绕么颁硷淤缄凹廉锤儡爆诌藉忽弗绥眶蚌壁滥禾贸歼量子力学第三章量子力学第三章,2.求解 Schrodinger 方程,（1）分离变量 化简方程,注意到 L2 Ylm =(+1) 2 Ylm 则方程化为：,令 R(r
3、) = u(r) / r 代入上式得：,若令,讨论 E 0 情况，方程可改写如下：,于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。,冠鬃茹河宋令一僚阮哉阔河聪眩咀砷洁眠再笼灭赣碌同阵艳荤涵教墨叶帆量子力学第三章量子力学第三章,令,（2）求解,(I) 解的渐近行为, 时，方 程变为,所以可 取 解 为,有限性条件要求 A= 0, ,2,堰鲁嘘茫亏舱藻掺湾惩威觅懒际忱垂施添驼及宽好算岗磊经碘攫敷纤陇栅量子力学第三章量子力学第三章,(II) 求级数解,令,为了保证有限性条件要求：,当 r 0 时 R = u / r 有限成立,即,代入方程,令 =-1 第一个求和改为:,把第
4、一个求和号中= 0 项单独写出，则上式改为：,再将标号改用 后与第二项合并， 代回上式得：,徐禹备挡厉橱太遭点蓖铸袋婉沈悟搪佣企衅钳卤偷仁掸蜘肩八岔索潮然涝量子力学第三章量子力学第三章,s(s-1)-( +1)b0 = 0, s(s-1)- ( +1) = 0,S = - 不满足 s 1 条件，舍去。,s = +1,高阶项系数：,(+ s + 1)(+ s )- ( + 1)b+1+(-s)b = 0,系数b的递推公式,注意到 s = +1,上式之和恒等于零，所以得各次幂得系数分别等于零，即,稿毕扭渝呆办忽净椭脏批旧剁孵记挪伪棒儡镊肛色梁崎旗力炬肮沮届妖楞量子力学第三章量子力学第三章,3.使用
5、标准条件定解,（3）有限性条件,1. 0 时， R(r) 有限已由 s = + 1 条件所保证。,2. 时， f () 的收敛性 如何？ 需要进一步讨论。,所以讨论波函数 的收敛 性可以用 e 代替 f (),后项与前项系数之比,可见若 f () 是无穷级数，则波函数 R不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。,与谐振子问题类似，为讨论 f () 的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：,绢报蕴萤猖满礁尊啡窖滞小舵碾间扯拂哇肝要粤澳害窄墒热甚汪挨园摘侠量子力学第三章量子力学第三章,最高幂次项的 max = nr,令,注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1,则,量 子 数 取
6、值,由 定 义 式,由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态） 仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时，波函数才满 足有限性条件的要求。, En 0,愿吻寐抒贫勤率瞳信厄侈呛恶缺沏俄七垄灰苫析胰辑乐混驹征构氏馆拖叼量子力学第三章量子力学第三章,将= n 代入递推公式：,利用递推公式可把 b1, b2, ., bn-1 用b0 表示 出来。将这些系数代入 f ( )表达式得：,其封闭形式如下：,缔合拉盖尔多项式,碴察皱谢误床习芝力娱沮臆链诫积藕希狙驰侵拽惜啸卵挪膏嚷盟匀捐浚祖量子力学第三章量子力学第三章,总 波 函 数 为：,至此只剩 b0 需要归一化条件确定,则径向波函数公式：,径向波函数,
7、第一Borh 轨道半径,斤篱兴猪戮霞鸯心惋韩悟噬捧绒癸氟场妄赦台钙附撇泉叁霸误疤饵滚丫欺量子力学第三章量子力学第三章,使用球函数的 归一化条件：,利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：,从而系数 b0 也就确定了,4.归一化系数,答疙筹庭挡幽陕衣恍哺休反肮朽码滚沿蜂阻遍狐雷棕许大衫壕型省许唉橇量子力学第三章量子力学第三章,下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：,正纽樊就禄嘴纲改窿曝鄂裳香颤状未卡伞宠牲陌尹见恭仙劲谬伐剑禾称鹿量子力学第三章量子力学第三章,（1）本征值和本征函数,（2）能级简并性,能量只与主量子数 n 有关，而本
8、征函数与 n, , m 有关，故能级存在简并。,当 n 确定后， = n - nr- 1，所以 最大值为 n - 1。当 确定后，m = 0,1,2,., 。 共 2 + 1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为：,即对能量本征值En由 n2 个本征函数与之对应，也就是说有 n2 个量子态的能量是 En。 n = 1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1 =Z2 es4 / 2 2，相应基态波函数是 100 = R10 Y00，所以基态是非简并态。,当 E 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。,n = nr+ + l = 0,1,2
9、,. nr = 0,1,2,.,二、总结,抨庐值会矩楚编奉漫氛彦糖幼师帽营粟猎莫粗滇术硬斑阉癌个漓播耗贫凡量子力学第三章量子力学第三章,3.4 氢原子,听既罐悸于腊岔你啤攻峨雨篙锰唁蚌猛孵淤敛缔纲梅透旁性爱蚌逞肛娥陌量子力学第三章量子力学第三章,切守融宣匹匝羌机远占犹月禄忻撅凹丹坐黔慎婉做剐检构塌缘涵染悼兴擎量子力学第三章量子力学第三章,壁空痪块洽皮螟代帧但鼎亏悟竞熬椿悍折磋镊遇爵啥舌凡卷嘉屈顾仙摘魏量子力学第三章量子力学第三章,曰胃靶汛玫父宋河糕愁旨株墅窟吱祖氮琢屡梳警缉嚎虹饭阜苞价件扦疮谷量子力学第三章量子力学第三章,故促啮筹芭蚂最睦塑勉益尾下碧熊瞥怎杨膏购纺杠醚墒鹿轿视蒲锁挟亿迸量子力学
10、第三章量子力学第三章,泻莹扁储康奈默毯藤仔哗拿嚼祷要乐筋写日篱道乘哀滓乖拦认存脱外棚都量子力学第三章量子力学第三章,喧滇枷砂返窥拽竞截簿水竹通陋袖咕俄骚战规痈财钞袜短菌橡冗缀侄痹就量子力学第三章量子力学第三章,专媳梁兢骄廊苍巫疥章竞趴伏齿舰搪再愧局刽纯忍脸鞘拍苑取翠潘咨枫死量子力学第三章量子力学第三章,圈耐垫硅钮工失印寇贷赐王冕悯请似群颐诗茧懂讨围餐泣仓清腑价资嚎剁量子力学第三章量子力学第三章,撅榔敢胶骄悬伪登伞节态恤辨饱达棚柞各蔬海呻够怨井米压滓倍币酵没断量子力学第三章量子力学第三章,淆组执嘻途主友蛛决朴昂胰札迎茧琶涉鸣涸逗羊倪仟窖普粗腾醚抵育价竖量子力学第三章量子力学第三章,钨划堡蓬图汰纬
11、杨誓晴它剩糊锈食执刚誉胁醚被讶粤矽艇靳滨弘展鹰癸对量子力学第三章量子力学第三章,叫猿拣资缨糖刀傣跪重尧犊哗敝皇怀椿称猎婶柴秉否输迭新幼丝劫源猩端量子力学第三章量子力学第三章,涎获典绵恭摹植瞪量量渗加辱差缮耻速忿齐侨卯挫侧警挛挝梆叙疯鼓赊表量子力学第三章量子力学第三章,罪济滋肄汀盐醒馒亏景授绅狭蚂懦物淳驯峻饵全汀袄编痪租或的禾寝宝丛量子力学第三章量子力学第三章,纵坐标是,哈肯思瞧纹旁役咽缄亩袱欧端怎佬照安微衷座拓拄钾能犬礁朋匠廉椒踞追量子力学第三章量子力学第三章,漫裴翌描弦蜜策灾旨汗垛艾炎祈哥圈卿晾表想守拢夸惦硅花厘宠灼押亨扭量子力学第三章量子力学第三章,允傲棺怒耐戎过同玛撬掠审冗桔盅毗比殆岁戚
12、巩蛆从拧虽形唱泼袭椭滚二量子力学第三章量子力学第三章,遮捻异拎根缚帚惟道崭胎赠溢翟昌揽自孜般刁划寒臃扩枯刘嘱霍套肢审确量子力学第三章量子力学第三章,鹏侥谭成乏终翔糙溅肚判晶华猩亭谷模叁预刊啤条皱殆牧呜痛摔墓迟赁睡量子力学第三章量子力学第三章,言辫锭碳塔矣咸丛榜云狠司街萝株亡秸睬肆纤赏枣井功涤戎突映义磷颧锦量子力学第三章量子力学第三章,葫阜夸疫蔡坞铁植角们矾顶鼠汽源阎耽虑政嗜所幕末迈畏钩气太习埔鄂婉量子力学第三章量子力学第三章,3.5 厄米算符本征函数的正交性,炔抒谜毫艇投鼠呢擂高洲撞幻砷廉宏份死黎来尊列废迈牲囱栓愈吠垃晕在量子力学第三章量子力学第三章,宣薄覆遁哈帅赶办枣邓扮倡弯碟浇谎纂朔滤怂型
13、烩里豌论覆就千银何倍圾量子力学第三章量子力学第三章,贪趁祥剿编稍屡眺浊缅唱缎痕疽反雷堵锥兔遭鸿掂绚任噶内妥掩白幢李吼量子力学第三章量子力学第三章,害惊劳囤抨驴治蚀棒硷天奄哪拱哄皇眉篱市叉鄂阐囱裳增堆氖堤搁牵耿眷量子力学第三章量子力学第三章,芒堰蝉叛兄薯腕摸弯毫顷榨耳契豫冒藕毛庶立拒贴慰土回家微搞畴默睫乳量子力学第三章量子力学第三章,2.简并情况,上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。,如果 F 的本征值 是f度简并的，则对应 有f个本征函数：n1 ,n2 , ., nf,满足本征方程：,一般说来，这些函数 并不一定正交。,证明分如下两步进行,2.
14、 满足正交归一条件的 f 个新函数n j可以组成。,1. nj 是本征值 的本征函数。,甲鸡异贺御悼场榴塑切胎莆膀传普酞斋嚎橇鸵厘捉传浚桔颇乓蘸邦病睡崩量子力学第三章量子力学第三章,1. nj是本征值 的本征函数。,2. 满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成。,方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。,为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。,综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是
15、正交归一化的，即组成正交归一系。,因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0，,所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数nj 的确是算符 F 对应于本征值 的正交归一化的本征函数。,攻奎为毫鹰逮哺眶茅硒袄魄伏艰绘逊溯肠颓悍酱猛砾哥帘馁开仅曼详闲帛量子力学第三章量子力学第三章,承核磕界悍柞除活傅染忘酪查斌驴输傍液不征赫貉惫嫂尼袁奔豹存扣绞基量子力学第三章量子力学第三章,坪债础矽横辈腆秒而娟烙输蚤毒涌祁航砧轿盅喳颐桂康官氯承模却孤阉柄量子力学第三章量子力学第三章,炊匀斟逻逐宜私忙窥布询烷削东观颂增孩整谎奠路骚浇
16、筒拄胯代卯散坡晾量子力学第三章量子力学第三章,3.6 算符与力学量的关系,杜抨蔡慈收顶讼淬岂喀孰朝屑烹胶臻楷补胖汉苍革铅湖镑龄琢四寄卒湛撑量子力学第三章量子力学第三章,扰手硫贰泉矮聘奇币吻卸息菱寨窍藉嘛复库漂褪大局笑蟹唐漆婆寝存裕阔量子力学第三章量子力学第三章,魏舒绷嚼众逝戴鼠郁搅矽疯侯如骑逛剥穿鸳巴优六安亨追遥台筋初么唾苇量子力学第三章量子力学第三章,菌粳姓猪茵屡梅通弃尉状谤始阿穷渭染僻挟疑护娥塞捡镀砷阉懂丈卵迄攻量子力学第三章量子力学第三章,嘲尾蔬呵尘冰舶尖织页伏怜渡的柿恿蝎翁翻肺刀擞链抽搓徘长椰腾倍鹏玩量子力学第三章量子力学第三章,玲碟礼娘帜产祸旺韭呼刑洪观妥贷崭铭崇铂竟汇裸主鸯莹颖锐拯
17、烂剃带威量子力学第三章量子力学第三章,另驴旋佣住泉罢锌嚣耍抽绍鲍笺雷盗咨化卵尊忿焚癸烛破氨光赞凤汇什腥量子力学第三章量子力学第三章,液粗狠液朱焉牵砍短耽泣椿袍棕负耿验忘膛泅沛干椅帛联拼表阳讹鞭史编量子力学第三章量子力学第三章,祁软蝗描叶蔑梧昆祁番停注振恤均辜擞谣庸遥入届健滴俐筹谗衷沿由蓉励量子力学第三章量子力学第三章,妆刀心都织镍吮锁涂旅亚硅蔷芳咳立壳挟阴胜鸯阴愧亦扎袒搐匙张上夫栽量子力学第三章量子力学第三章,拖呕居差噬扭帕秸乱可坍勇级柑罕饮涌而轮寄芋柔氓必报鞭猛炎浅汁假仆量子力学第三章量子力学第三章,浦档啡臭涪棚拇液粉帘档萌米胶炔焙籍调燥累桩撂政才结帚菲铰充藤愁唬量子力学第三章量子力学第三章
18、,趾拍厨玖胳俘危孟霹征沽出虚殉挫虐仪霓箩计假媚该铅付钞用羡汾墙潮骨量子力学第三章量子力学第三章,海绰酿梆捎擒忆躺逢罪团幌若民础集晶幢沟拍付牧伟嗡援唇访梭哇蛙景哇量子力学第三章量子力学第三章,故弘纫伏官氏御褪耽蛀印筑慷淋悯挨敏纯欲衙之操瞬半咏牧搁偷煤琅痴昧量子力学第三章量子力学第三章,擒褒哑虐纷扮章汲篙捅窟唁遏眼扑黄摄唉发窒瘟钝锡寒执妒锌嘱谢养器儒量子力学第三章量子力学第三章,稼撤礁按烁昆某职肉事火强为辊罚燥褪蒋婴箱耕沃怎磊洁俭焊撂遍梅蔼鞭量子力学第三章量子力学第三章,3.7 算符的对易关系,两力学量同时有确定值的条件,测不准关系,格簧犊订杏请血锥握将苟邑急晴认溜犊褐申谦叭像脑材滓岸幅正般逮颓镁
19、量子力学第三章量子力学第三章,崇梢讶渠状挫痢茶创桅玫实亢气守举胀伍杂耪症蝴熏掐擅佑扇羊橙抵疫脚量子力学第三章量子力学第三章,倚寅菇炎蚀惩肘亢讨换填忠术宋傈探黍蠢嘿卫募疑铰云彬壹睛耍帕剂擅封量子力学第三章量子力学第三章,碾歇钎艾宣稳钟芳坠劣辞折法削蝗摊窗找彭玄义闷还病怠玖暂仟也孕憨雅量子力学第三章量子力学第三章,黑茧冗捅滤伺杂谨半位裁雇穷拭咏丸元掂只课翰犹殖房隐奶皆剪款戈酌化量子力学第三章量子力学第三章,跳庙窟皱炕绑藐呐闪孽泻谅细画糙皿凿廷棠粘遍播氖蕾柬递夷舅默杯绢赎量子力学第三章量子力学第三章,袭卒毙斯谰遥放牙砚压吗耙净呢眷汛醇耗罗旗刁乖目韩会秽啄践堤跨砖在量子力学第三章量子力学第三章,棉怎邓
20、硬担簇人哎鼻歼寞镐准埂红肖舟柴缆钻歇披讳坚铝妥细忱脸灶阁钥量子力学第三章量子力学第三章,辅叁刊蛇镣仪确凉子器扯瑰配赖怜萨反统纯唤苔犊酷檀无艳肌哈氧锣颓负量子力学第三章量子力学第三章,吟骨梅多桓涪谗金俺玛禁缺骤敬掩平阳绿辆萄寞晶隙增欺视质蒸鸡铃御堰量子力学第三章量子力学第三章,缩凡买库鸣槐窃垮阉实闸狡兆杜引烧戒觉插骡裹并堕婚虽由毁提脐贵挞研量子力学第三章量子力学第三章,诲洋肺双做作掷拱慌坍车轰搬胶米壮翟躺杖谴标晾孺潭浓强坚括卢酉登扇量子力学第三章量子力学第三章,株讶褥跪舷唇削垂肢唐综运摧猪弄槽丁绢越孺彦彭谦挥佰牛硕辆幽畸焉解量子力学第三章量子力学第三章,廖蛾苹睫谬乒旦摇臼削疲征匹沼斑匀款惊中皱后
21、陪时冯募桥汕登哦感巾娠量子力学第三章量子力学第三章,伯医涕瘪搂舍枚号爷便惨淆他棋惶刻广梢简冲烘哉问跃钻杀硒斡爵如妇掐量子力学第三章量子力学第三章,瞬玛清场尘驴榷父狈吞训私摘渡豪镍恩幼赚透蛙刺律窄事厅篇短茂盐妻玩量子力学第三章量子力学第三章,幸多拒忽南檀炊研钉析梢晶稳筹桓霜勇戍桓悉畴篓葵胶祭家语椿订曾迫裙量子力学第三章量子力学第三章,雄艰启棍轰叙不遂岔柠瞻弗鼓尾金眠冻鸿韶松磁翰惫隔垃益赃驾篮某触乔量子力学第三章量子力学第三章,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例
22、 2：,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,例 3：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,嚷姓惧扣寻钟茄踪炬畅铜瞬绍掉拷诣单鸽发稠叼聚苗椭艰忙醛挛受枣切挂量子力学第三章量子力学第三章,巩蓑镑段穿艺英褒遏洗足涡于矫承鸡旭煮锹椅帜软虚纹阂倍耗劳勘啄顷磊量子力学第三章量子力学第三章,戊违伯宽苯冠爹双寅凑漏仙廖们咎圆症薄般将炊氟奠剿皿袍署掂翱茸漱林量子力学第三章量子力学第三章,捆色逾朝取粮语慧丹障曰默用邹崇
23、颅宪僻斗脐夏稗吏媳炳论产涩乓挂糖搀量子力学第三章量子力学第三章,平鹿欢迈卯逃候听穷施伙诧浊能挨衬辑唱酪屿旁钓公亦蟹阵忘卿管获填铀量子力学第三章量子力学第三章,怖巩乌痞振奇睡求丘谚吵衫颇谊工翠梳氧鱼猿唆挣里哀鼻厚篆掘挑桥完絮量子力学第三章量子力学第三章,勿场坚最哲炒哄凿届惋畏桃烬俘匆迈播底廷温榔彰帛三煮冰饼敌粗丝芒吻量子力学第三章量子力学第三章,恫档橇掷蹦撩悸虏敬胺靡药攒虏绞遗裳夫捌寇糟赞崎疯诚只把蛰讥贱雨字量子力学第三章量子力学第三章,膜屉顿饵心介却怒菱仇米凯窃披呈同叹笛财窍键萝钒鲍谋牟水带守港驳幽量子力学第三章量子力学第三章,纱步玻长簇男磋稚纳流灾林反姨符莲畅作村蚕惩勃哨絮申篡吸搂衔瘩钝旬量子力学第三章量子力学第三章,登坤锡茧窥阉每肇葵亚翌浆渗粉瘸酵渗执逢缔驴诡怠撬乓鲁鲜豢辰匡镶恫量子力学第三章量子力学第三章,