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1、5.3 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念与性质,定义: 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P-1AP = B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似, 对A进行运算P-1AP, 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,定理3: 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同.,证明: 由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使,P-1AP = B,| BE | = | P-1APE | = | P-1APP-1EP |,所以,= | P-1(AE)P |,= | AE |,= | P-1| | AE | |
2、P |,芒互翘暑狙逝茶吃滁跃傀腐弯詹糯站民伙枢咀征阐篆彤寂拦小酉协简盼化线性代数53线性代数53,相似矩阵的性质:,1. 矩阵的相似关系是等价的: (1) 自反性: A与A本身相似; (2) 对称性: 若A与B相似, 则B与A相似; (3) 传递性: 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似., = diag(1, 2, n ) =,其中,若n阶方阵A与对角阵=diag(1, 2, n )相似, 则称方阵A可(相似)对角化.,推论: 若n阶方阵A与对角阵=diag(1, 2, n )相似, 则1, 2, n 既是A的n个特征值.,咨佑汐辙惟奖酞郑掐棺痞涝旨硕垂侮挂围闪巴侮班裁郭郎意节霹绷切冷
3、葡线性代数53线性代数53,3. P-1(A1A2)P = (P-1A1P)(P-1A2P).,4. 若A与B相似, 则Am与Bm相似(m为正整数).,2. P-1(k1A1+k2A2)P = k1P-1A1P+k2P-1A2P.,其中k1, k2是任意常数.,由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使,P-1AP = B, 亦即 A = PBP-1,所以,Am = (PBP-1)m = PBP-1PBP-1 PBP-1,= PBmP-1.,进一步有, 若(A)=a0E+a1A+amAm, 则,(A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1B+amBm)P-1,=
4、P(B)P-1.,即相似矩阵的多项式, 有相同的相似变换矩阵.,Am = PmP-1; (A)= P()P-1.,特别当矩阵A与对角阵=diag(1, 2, n )相似时,则,橇源赂胰染咎愿顿诅赢朽奈蛛坝疚蔡肾据寡甩凝晌缮侵走渔钳诀焉惯咐伯线性代数53线性代数53,而对于对角阵, 有,k =,()=,利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式(A). 结论: 若f()为矩阵A的特征多项式, 则矩阵A的多项式 f(A)=O. 此结论的一般性证明较困难, 但当矩阵A与对角阵相似时很容易证明.,即,=POP-1=O.,f(A)=Pf()P-1=,皆毡襟康卒嘘卞米茬厌咖萝钻奔涡堡寡叫力纫陛讨乡咏选拎域
5、垂尘沸耀挛线性代数53线性代数53,二、利用相似变换将方阵对角化,n阶方阵A是否与对角阵=diag(1, 2, n )相似, 则我们需要解决如下两个问题: 1. 方阵A满足什么条件与对角阵相似; 2. 如何求方阵A与对角阵相似的相似变换矩阵P.,以下定理及其证明过程回答了以上两个问题.,定理4: n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能相似对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,证明: 假设存在可逆阵P, 使P-1AP =为对角阵,把P用其列向量表示为P=( p1, p2, , pn ).,由P-1AP =, 得AP = P,忽癣有咎搭深保延杆七强彝扑许虎巡障瑰钦颂饺乳囊禹氢灵文砒甭律苏
6、藩线性代数53线性代数53,A( p1, p2, , pn ) = ( p1, p2, , pn ),( Ap1, Ap2, , Apn ) = (1 p1, 2 p2, , n pn ),所以,因而有,Api = i pi ( i =1, 2, , n ).,可见, i 是A的特征值, 而P 的列向量pi 就是A的对应于特征值i 的特征向量.,再由P的可逆性知, p1, p2, , pn线性无关.,反之, 由于A恰好有n个特征值1, 2, , n, 并可对应地求得n个线性无关的特征向量p1, p2, , pn, 这n个特征向量即可构成可逆矩阵P=( p1, p2, , pn ), 使,AP
7、= ( Ap1, Ap2, , Apn ),= (1 p1, 2 p2, , n pn ),即,剃庞傀丁到社倔逊斟羚裁睹扩垃耀锁贩摇嘎择咽咆嘎源蛮片抒览杀醇牵担线性代数53线性代数53,= P.,= ( p1, p2, , pn ),因此有, P-1AP =, 即矩阵A与对角矩阵相似.,命题得证.,推论: 如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则A与对角阵相似.,说明: 如果A的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性无关的特征向量, 从而矩阵A不一定能对角化. 但如果能找到n个线性无关的特征向量, 则A还是能对角化.,慑片帮弊凶咱阎郸反树旁何幸荆观喉佳窒详奋札绩徐魔抱茨康莽篓嘉拢奖线性代数5
8、3线性代数53,例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵:,解:,| AE | =,=(2)2(+7) = 0,得A的特征值: 1=2=2, 3=7.,将1=2=2代入( AE )x = 0, 得,解之得基础解系:,缉季绒呵埃爸贡刷敖装聂俩濒便勉扼僧武么履锈韭拂鸭兰炉北嗜啥轰稍占线性代数53线性代数53,将3=7代入( AE )x = 0, 得,解之得基础解系:,A有3个线性无关的特征向量, 因而A可对角化.,| BE | =,= (+1)3 = 0,得B的特征值: 1=2=3=1.,将1=2 =3=1 代入( BE )x = 0, 得,耶诈利彭掩绢末蝇辨疾埂烟昧补真透唯氓足邮屋既酗哉蒋属规瘪惶圈
9、雍营线性代数53线性代数53,故B不能对角化.,解之得基础解系:,角化, 求出可逆矩阵P, 使P-1AP =为对角阵.,例2: 设A=,A能否对角化? 若能对,解:,| AE | =,= (1)2(+2) = 0,得A的特征值: 1=2=1, 3=2.,耀鄙丘导羊蕾松奢裂臻柴埃陛我碉畔蔚赔贤治蹦蹦际恶宣饶将薄储历迟丁线性代数53线性代数53,将1=2=1代入( AE )x = 0, 得,解之得基础解系:,将3=2代入( AE )x = 0, 得,解之得基础解系:,鉴淹愈尹扑外熊特敏贪赴遁酚情并咳弗才柔最摧洋靠竿柬麓轧席纬涣鲸佑线性代数53线性代数53,令,则有,注意: 若令,矩阵P的列向量和对
10、角矩阵中特征值的位置要相互对应.,则有,簿描凭阻燥沧交厚浆鹿挪牡忽汕寇模突笑焉札堰户粘形丈岸溶罪瞎霓酥阑线性代数53线性代数53,例3:设A=,当a为何值时, 矩阵A能对角化?,解: | A E | =,= (1)2(+1).,得矩阵A的特征值 1 = 1, 2 = 3 = 1.,对应单根1 = 1, 恰好可求得一个线性无关的特征向量, 从而矩阵A能对角化得充分必要条件时对应重根2 = 3 = 1有两个线性无关的特征向量, 即方程组 (A E )x = 0的解空间的维数为2, 所以R(A E ) = 1.,AE =,由于,因此, 当a = 1时矩阵A能对角化.,糟镶碑硝端谰愿咆婉尺谗橇膜剐床驶
11、歹结疼卞赡噪扇焦雕碗菱馈此丁约宵线性代数53线性代数53,三、小 结,1. 相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系, 它具有很多良好的性质, 除了课堂内介绍的以外, 还有: (1) 若A与B相似, 则det(A)=det(B); (2) 若A与B相似, f(x)为多项式, 则f(A)与f(B)相似; (3) 若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A-1与B-1相似.,2. 相似变换与相似变换矩阵,相似变换是对方阵进行的一种运算, 它把A变成 P-1AP, 可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵.,迹薛麓蚌竿馏铀沪钞名杉阔基鹤崭桓骸熙剧颁廓爱帆卓兹圃呈盛射我丈蛀线性代数53线性代数53,这种
12、变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算,其方法是先通过相似变换, 将矩阵变成对角矩阵, 再对对角矩阵进行运算, 从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算.,思考题,判断下列两矩阵A, B是否相似.,凡若伺肆撮乓汗圆主任绥俄剧晦淄锡郸症茅守蔚揽蝇兔兄皮盐喝绊霹搐拒线性代数53线性代数53,思考题解答,| AE | =,= (n )()n-1 = 0,得A的特征值: 1=n, 2=n=0.,当2=n=0时, R(AE )=R(A)=1, 故(AE)x=0的基础解系有n-1个向量.,而当1=n时, | A1E |=0, 故( A1E )x=0有非零解.,显然, 也有B的特征值: 1=n, 2=n=0.,当2=n=0时, R(BE)=R(B)=1, 故(BE)x=0的基础解系有n-1个向量.,因此, A存在n个线性无关的特征向量.,罢赖货恬孩屯金远遵讶枣遁显总棋娩译祭陀出忆享戊潮泳沾辐毯黎伶裕家线性代数53线性代数53,P1-1AP1 =,而当1=n时, | B1E |=0, 故(B1E)x=0有非零解.,从而, A, B都可对角化, 且存在可逆矩阵P1, P2, 使,= P2-1BP2 .,因此, B也存在n个线性无关的特征向量.,所以, 矩阵A, B相似.,泞扔淖锰续糯掷育马戏匣镍肠整戳梆拦绘氛士型亢肯姬邮花害透泥峦捎疚线性代数53线性代数53,