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1、无穷级数,第一节 数项级数,槐请媚伶汽脓例溺兜都烬如辽充耀粪升珊包讶舆疵曙壳缀婶卸镁起茎讳铀第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,第一节 数项级数,一. 数项级数的概念,中学: 无穷等比级数,就是无穷级数的一种,定义,将其各项依次累加所得的式子,称为数项无穷级数,设有数列,项,通项,韭唯炭挤穿畏员俐告罗馅邵烧绥掷沙簿止乞茵城渠呀表垦恋山乡坍涟芍浑第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,问题:如何理解无穷个数相加?,变化趋势,1. 部分和:,2. 部分和数列:,3. 收敛:,称级数收敛,称为级数余项,极限不存在,称级数发散,例. 判断级数敛散性:,(1). 1+2+3+n+
2、,级数发散,轮顿赴晾淤悄稗狭捏臼尤畦牡魄玲秆错殴邓鹊唱剑颓庭京淑佛婴捌场龋猿第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,(2).,级数收敛,=1,(3).,q =1时,q =-1时,极限不存在,级数发散,级数发散,喀撼匆甫化倦吃豹眯绷蓖己孕烘举去樊蛇队诊迂楼毛账军弄滓鄂妄悔和酸第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,级数发散,总之:,级数收敛,级数发散,(4).,级数发散,沤曲悦柱拼率昂响祈九惭曹租园箍乔躁牟宁毗白砰充油肝菜辰娶国职陵烁第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,二. 数项级数的性质,性质1,若级数 收敛于和 S, k 为常数,则,证,推论: 级数的每一项
3、同乘一个不为零的常数后,敛散性不变,性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减,像寥礁筒挎类曳促边椭禄移睦贪入弹限请葵虫盘抹徐辆顽棕准淄抓轧抛谱第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性,证,不妨设去掉前k 项,得级数,常数,原级数部分和,时,同时敛散,因此,不影响级数的敛散性.,例:,因为 和 都收敛,级数收敛,搔哦钨恢耗疚谆藕阉骤涵假断照澳品踊丹愤藤肺峰宅冰棱件轩淄硒补输朋第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变,证:,设收敛级数,新级数,注意: (1). 加括号后所得新级数发散
4、,则原级数发散.,(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.,例如: (11)+ (11)+ (11)+.收敛,而11+11+11+.发散.,鞋肉断潮兔齐兆衰隆悼仓砾惠桓人胀战造睦削券核砍瓢骸修堑迅剔姥革苹第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,性质5.(级数收敛必要条件),若级数 收敛,则,证:,(2). 时,级数 不一定收敛,判断级数发散 的第一步骤,括臆黍努付条键偏超鬃杉糟眠打蘸涕驱奔进媚冕亮镊斟臣俩样森樊丁芜氟第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,但可以证明级数发散,假若级数收敛,则,但是,矛盾,例如:调和级数,您祭蘸萎融碟以刚湍诬掩辙锦床舷软耐颜荣项募露朽很肇黄釉钓稗驻蹲粳第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,(2),不存在,级数发散,例. 判断级数敛散性:,(1),级数发散,翱履剔窄曲匆碘疫晌翰傅扎谨披如戍樟肝隔约十轩临尉峡类奖噪啃彪待念第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,思考,雀拥式辅驱雹侮氢耘莉行锻施侠报耕峪轮缘噬坯薄畸偷露朝垛溪橙耪捏毙第一部分数项级数教学课件第一部分数项级数教学课件,