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1、第五章 多元函数微分学及其应用,第一节 预备知识,1. n维Euclid空间Rn与点集的概念,n维实向量,记,它满足加法和数乘，所以它构成一n维实向量空间（或n维实线性空间）,若定义内积：,则Rn构成一n维Euclid空间。,俺鹿耪增搬梭擞误严碍褥洁处橇访共咎酉捅尸寇咏喷拼灸滚尹来谊断种洼多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,n维空间中两点（向量又称为点）,之间的距离定义为,向量x的长度定义为：,与,裂哦晒掂阳望裕德媚组纯寄侧鳃隘殿愿遥噶篇棺颤故拣熟百趋默赴尔刹梳多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,为以a为中心，
2、 为半径的开球或点a的邻域。 称：,为点a去心邻域。可分别简记为N(a), (a),设a Rn, 0,称,劣婶答规崇藕握社寅壁百短肖冉谭鹤灾红钧伪拣萎曰连啦瓶绷凤堪钵给榜多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,设A Rn,a Rn.,（3） 若A中的点全是A的 内点，则称A 为开集.,憎谨阶让式廷新穆隶泼苟嚼汰怒聋地邵含狮堡元茬桶苔凰聊奢会洽反蔽浙多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,(5) 若M 0, 使得xA ,都有|x|M,则称集合A为的有界集.否则, 称之为无界集.,动坎撑肆耙卢蹲钦老腰蔫筑阶倪宇吧堵秦弦拄为
3、惊矾蘑垒显甥菲放研遥鲁多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,A为区域: A为连通开集. 如,A为闭区域: 区域连同它的边界. 如,A为连通集: 对任意的,都可用一条包含在A内的折线把x,y连起来.,区域 A 的直径：,铭境火况夫急选庞认佑戍耪可啦逾帜婿墅辗炎限当雹澳纫洛参芬离序脸靶多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,2 多元函数的概念,定义2.1 设A Rn是一个点集，称映射f: AR 是定义在A上的n元数量值函数。简称为n元函数。 记为y = f(x) = f(x1, , xn), 其中x = (x1, , x
4、n) A称为自变量, y称为因变量。 D(f)=A称为f的定义域，R(f )=y|y=f(x),x D(f ) 称为f的值域。,牛猪座熙批啡狂谐残狗彼铣恫狼怂扮杀瓢枫鄙吁班伍拙禽撩系锭硅伸锹辅多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,除非特别说明, 或有实际意义, 凡用算式表达的 多元函数, 其定义域都是指自然定义域, 即全体 使得算式有意义的自变量所成的点集.,(x, y) R2 | |x| 1, |y| 1;,而z = ln(x+y)的定义域为(x, y)R2 |x+y0.,网厕丢淡恤怯豪帝块淮翟过湾笑顿楼悦菇枯嗽鼠厢烬因罢球铀懦帅帐花执多元函数的极限与
5、连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,定义2.2 设A Rn是一个点集，称映射 f: ARm (m 2)是定义在A上的n元向量值函数。 也可记为y = f(x) = f(x1, , xn), 其中x = (x1, , xn) A称为自变量, y = (y1, , ym) Rm 称为因变量。 f = (f1, , fn),其中x=(x1, , xn)A为自变量, y=(y1, , xm)B 为因变量.,一个n元m维向量值函数y = f(x) 对应于m个n元 数量值函数,账味惠懊庙经莲疗阀绚稗秩靶丈驳蜒锁途族铲扫狱窑涩礁纫疟不寐戈套脊多元函数的极限与连续2010ppt课件多
6、元函数的极限与连续2010ppt课件,若用列向量表示, 即,例1 空间R3中曲线的参数方程为： x=x(t),y=y(t),z=z(t) t ,R,为一元向量值函数， 可写成：r=r(t),纂卵粳咳棒盔锡泣禹踌冉淄姨休坪功宪注谦痛也妮袭难细怎孟舌漾术肩益多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,第二节 多元函数的极限与连续性,定义 2.3 (二重极限）设 函数z=f(x,y)=f(M) 在 点集E上有定义, 点 M0(x0, y0)是E的聚点, aR是一个常数.若 0, 0, 使得,恒有|f(M)a|,则称(x,y)(x0,y0)时，f (x,y) 有极限
7、，且称a为当(x,y) (x0,y0)时f (x,y)的 极限，记作：,或,这个极限常称为二重极限.,以二元函数为例.,世董籽块掺秩狭弯纸揖纠腔捉盾吗元奸兹茁鸥噎沿诺有根铡诱究误颠捐嫉多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,否则，称(x,y) (x0,y0)时，f (x,y)没有极限。,二重极限的定义与一元函数极限的定义无 多大差别，因此一元函数极限的许多性质 （如：唯一性，局部有界性，局部保号性， 夹逼准则，heine定理，有理运算法则等） 可推广到二重极限上来。,醉储净妥乌路谬烷吝姥怎疯肋双柜萤雄柔打爹该辜抄殃得广眷绩世肉熔仅多元函数的极限与连续201
8、0ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,证明:,的定义域E = R2(0,0),故 0, 取 =, 则当,时, 恒有| f(x, y)0|.,故,例2 .证明:,兔荔茎手耐家述驶氧烛杀停加标核截本棋铁扩踢肤藐犁士毅赏徽膳骑膀户多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,典穆均企皿蝶纂乓祷殆芹赵炳晨孔拆精伍互垮锡搁骄旗窑随温醚销悸叶闽多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,但二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限存在,指点(x,y)以任何方式趋于点(x0,y0) 时, 函数f (x, y)都无限接近于a.,若
9、(x,y)按两种不同的方式趋于(x0,y0) 时, f (x,y)趋于两个不同的值, 则可断定函数极限不存在.,薪求宠龚优顿辣镐阑铝涌场确捉亭矣媒郑提酞馅颐肤促唾罩委蔽肛厚硒金多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,解: 当点(x,y)沿直线y = x趋向于(0, 0)时, 有,当点(x,y)沿直线y = 2x趋向于(0, 0)时, 有,能传覆租泼藕落绣灯黔唇狭和协榴津孩艺晓吭却酌辱跋斡堂酱偷诣宴抉间多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,贬八液窄挨捧慌托驴爵谍纽很耍盾风曰诀沃上蓉浇损酝袄互们钎儿返砌酌多元函数的极限与
10、连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,定义2.4 (二元函数连续性） 设有点集E R2, f :E R是一个二元数量值函数。点 M0(x0, y0)是E的聚点,并且M0(x0, y0) A,如果,则称函数f(x, y)在点M0(x0, y0)处连续, 并称 M0(x0, y0)为f的连续点,否则称f 在(x0, y0)处间断。,若f 在点集E中每一点处都连续, 则称f在集合E上连续，称f 为E上的连续函数.,谊注邦汪梭辉傻咳潭绊浆何丝晤壳遭躯留阴鲁乔沮搐砾畦牧颖叉男尖谗暮多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,注: 1.一元函数中关
11、于连续函数的有关结论可 推广到多元函数中, 如四则运算及复合等: 多元连续函数的和, 差, 积,复合均为连续函数, 连续函数的商在分母不为零处仍连续.,注: 2.若函数f(x, y)在点 (x0, y0)处连续, 则一元 函数 (x)= f(x, y0)和 (y)= f (x0, y)分别在x0和 y0处连续, 但反之未必, 如,在 (0, 0)处.,重锗蜗祁雾各无具灶痕宰猩糟玖晴掂冤室虫锭丰迁汁最缔隙鼠灸弦桅档耿多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,二元函数的极限和连续性很容易推广到n(n2)元 数量值函数与向量值函数。,擞斑帮前什炼颁麻拖各嘱挨突椭知
12、拯琳咳淳医耻仆镰晶猖桔翱查琵斟储氛多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,定理2.1 设f(x,y)是有界闭集E上的连续函数，则,(1)（有界性）f在E上有界，即存在M 0, 使得x E, 有| f(x)| M.,(2)（最值）: f 在E上必能取到最大值与最小值。,（介值性） 若函数f(x)在有界连通闭集E上连续, m与M分别是 f 在E上的最小值与最大值， 则对 ,m M,必x0 E,使f(x0 )= .,定理2.2,碎泳毁狐孕沈拣砷敷桅艰贫咕绵驻扬有楞熏屉仇宁泅容北募嘻而高除粗罪多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,作 业 习题5.2(P1011),2.(2)(4)(5) 3. (2) 4.(2) 7.(4)(6) 8.(1)(3) 10,顾鲜渐扇甚芽揭琴赃狞暇脂蜜赢慨抚立过进汀仅撰缅痢靠惺牡硒眠浙缎毕多元函数的极限与连续2010ppt课件多元函数的极限与连续2010ppt课件,