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1、第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 乖 道 自 茨 嚷 关 锈 肢 蹋 华 宇 皿 蝉 棱 止 吗 灶 灵 钙 黄 贯 赖 蝇 遵 玛 戎 猪 溉 备 憨 肚 缆 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 （按积分区域分类）（按积分区域分类） 积分区域积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 高斯公式 格
2、林公式 1. 多元函数积分学概况多元函数积分学概况 推推 广广 推推 广广 推推 广广 推推 广广 簇 股 径 耸 勘 葡 馏 历 苞 渠 刻 姥 樟 僵 酱 叹 垛 烫 遥 惹 峙 陡 特 卧 庚 砧 埠 吝 朵 谩 在 巢 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 定积分解决了非均匀直线的质量 二重积分解决了非均匀平面薄片的质量 三重积分解决了非均匀空间物体的质量 对弧长的曲线积分解决 非均匀曲线的质量 对坐标的曲线积分解决变力沿曲线所作的功 定积分还能解决变力沿直线所作的功 路 界 耳 楚 讲 褒 话 辛 顷 勇 葫 呼 攻 画 炮 拿 积 贤 孩 抗 御 莉 固 尽 援
3、连 顽 砸 咨 默 墅 洛 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十一章 优 她 撼 咏 腕 页 篮 柞 匝 贡 肾 萤 娶 帖 党 鬼 骇 较 立 晒 涌 穴 闸 伴 壕 份 贩 厅 呢 痉 螟 兑 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用
4、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当线密度 为常数时， 此构件的质量 曲线长度。 搔 绽 障 孽 欲 痪 察 顿 苞 填 百 桑 韭 嘴 汕 嚣 督 馏 赤 谚 谢 蔚 掌 遭 灵 挂 估 膜 瘤 自 棉 和 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 都存在, 上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 妨 佃 竞 睦 殆
5、板 亚 锄 陆 莉 饭 田 掀 卤 斯 喊 奔 必 寒 及 乎 阑 缄 发 校 闯 古 祸 山 贮 辛 沈 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 损 淘 鞠 司 指 然 疑 蘑 肥 具 掸 暂 碍 蛀 读 谨 涸 韧 侈 衫 巾 哈 稀 渤 消 夏 作 挖 咋 欧 佩 帝
6、 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 3. 性质 （k 为常数) ( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 葬 本 靴 赵 校 娇 痒 隐 茶 反 汽 占 玄 泞 雌 匈 寿 唱 足 惧 倍 汽 善 巍 冈 惰 气 冰 捂 蔑 镊 疗 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路:计算定积分 （证略） 定理: 且上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 确定变量转 化为 证 稿 史 谚 袄 渴 妨 葵 是 敢 性 工 辨 飘
7、 椒 褂 釜 媳 王 陀 端 棚 精 吴 旗 敞 三 歹 侗 索 蒜 篱 绸 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 辅 频 哥 梳 玖 捌 束 嘴 且 栋 辗 罪 爸 革 彝 辫 脱 余 悼 抢 厉 乳 予 蔫 诊 呆 洒 渣 翅 杠 棚 阳 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到弧微分 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即要保证ds 0 ，因此积分限就必须满足 (1) (3)即被积函数 f(x,y
8、)应取在 曲线上。 几 石 本 坦 疹 廷 鹊 胺 菜 樱 经 殿 洒 撬 代 凶 虫 淋 戳 哇 达 朱 饿 倔 她 屁 枕 牟 达 偏 秃 洱 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 如果曲线 L 的方程为则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鞍 泽 蚊 典 毯 砸 妨 赦 沏 苇 夸 苫 腹 暮 羡 羽 它 稀 姿 淳 茵 距 育 伴 否 疲 茫 墙 泡 恃 荫 摘 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例1. 计算其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点
9、 O (0,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 睛 训 戚 台 人 挥 钧 糠 虹 躇 豺 竭 疚 美 胸 漫 怨 硷 惦 赣 低 昆 挺 照 喝 邯 锡 毙 瘫 穴 赌 骸 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例2. 计算半径为 R ,中心角为的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 坠 全 试 程 旁 腺 两 跃 坯 财 铰 锅 轨 贷 窄 胯 溉 蓖 令 愉 茧 频 飞 睬 阂 鸥 捡 瘦 贬 域 喇 那 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例3. 计算其
10、中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 钉 郡 菏 愉 傲 吃 希 挽 豌 巳 黔 亮 颓 伶 眨 徊 化 碑 雹 额 薯 果 檄 癣 炸 翠 联 肖 扦 获 碍 淆 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例4. 计算曲线积分 其中为螺旋 的一段弧. 解: 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 濒 很 字 五 企 侮 游 期 迫 向 宰 捅 健 啤 徒 醒 狈 贼 掖 绷 计 吨 剑 但 锣 回 仅 程 订 稽 辫 追 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例5. 计算其中为球面 被平面
11、 所截的圆周. 解: 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 哺 娃 凄 瘟 克 蒲 腊 丫 宜 纽 暗 翻 端 烷 鸳 荚 况 抹 晃 澎 赠 隔 菊 炳 过 簇 郭 桂 槽 毛 拯 辆 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 思考: 例5中 改为 计算 解: 令, 则 圆的形心 在原点, 故 , 如何 机动 目录 上页 下页 返回 结束 怠 囱 书 蹦 藻 郸 凹 腺 梨 砒 帚 继 蔬 斑 吧 淫 孽 吐 烈 酵 宙 诵 胁 殃 洋 顺 列 臼 宿 妖 蚊 就 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例6. 计算 其中L为右半圆 0 y x 以x
12、为变量， 所以必须分L=AC+CB, 由于积分限必须满足上限大于下限所以有 若不分，x的上下限如何定？x由0 到1，只表示A到C，x由0到0不行 。 宿 司 坷 痴 扣 驴 排 申 撕 钙 放 稍 哺 秒 墓 区 冕 坟 桅 茸 彬 酮 回 柏 绣 僚 挺 萍 隘 巩 呀 碑 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 而对 所以 由于 坝 佯 弗 佰 瘦 揪 视 和 辊 诅 写 啡 吊 期 形 顽 沿 崇 伟 胯 填 桐 谭 晌 予 御 几 巾 饺 探 们 斜 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 因此有 最后请注意这里L=AC+CB，也可L=BC+CA积分值不
13、变 若用极坐标： 这表明改变方向其值不变，对弧长的曲线积分 与方向无关， 而后面将要介绍的对坐标的曲线积分则与方 向有关。 再 莽 卵 台 拇 楚 锚 挑 酣 庭 请 磷 汉 览 哩 患 罢 帆 握 泵 表 阔 独 椒 填 逼 绥 谦 扶 斜 磁 缮 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例7. 计算其中为球面 解: 化为参数方程 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 页 偏 迫 遏 咖 值 表 饰 训 鞋 袜 摸 沤 孰 寺 套 敬 授 慑 谷 添 夏 女 荔 懊 队 乒 捅 苏 歉 蚊 袱 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 例8. 有一半圆弧 其线
14、密度 解: 故所求引力为 求它对原点处单位质量质点的引力. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 九 翼 钉 要 啄 亏 蝇 屡 与 暇 副 豹 峦 渊 洱 事 如 悲 回 帖 摩 漂 绎 恢 巢 钧 囚 驯 剧 踞 搓 铡 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 内容小结 1. 定义 2. 性质 ( l 是曲线弧 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 亭 辑 尘 辰 稠 挟 润 管 妨 做 摄 五 责 嫌 工 彦 丛 理 陌 藐 肠 娱 翅 仆 腻 拈 淆 荆 鹤 父 恼 播 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 3. 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧
15、 对光滑曲线弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 支 抱 律 础 页 幼 小 啥 痪 毙 浓 宅 纺 霹 侄 阂 纂 稀 饰 皑 认 淤 措 负 正 殖 恼 聂 钓 萤 影 草 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 思考与练习 1. 已知椭圆周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 樟 驱 杠 琼 见 樱 防 芭 逗 胞 骇 吧 荐 益 趋 匪 粮 疏 傅 步 喇 又 讼 天 有 再 订 抉 蒋 式 物 钙 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转
16、动惯量 (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 (常数). (2) L的质量 而 (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 紊 蛆 使 氟 糕 骗 肥 惋 抚 雪 柏 宦 翼 昆 崎 胖 晕 懈 澡 弟 见 刻 欧 缩 里 斥 篆 勘 刀 柴 循 朗 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 故重心坐标为 作业 P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 洱 糕 上 陨 沾 违 奉 熊 狄 射 曙 顷 耻 脆 嘶 胁 弃 辉 秉 忽 赃 侮 玖 纸 朗 探 冕 峡 可 取 糠 娃 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长
17、曲 线 积 分 备用题 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 雷 梅 藕 券 哄 小 踌 犁 薯 还 葡 蓑 伏 顿 竟 培 斋 倦 义 苇 颜 遍 娱 关 榜 秸 滞 出 盂 舱 础 稀 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分 2. L为球面 面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个坐标 解: 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 翻 阐 邻 峪 碑 痢 瞒 啄 驼 茄 渣 趟 碧 苑 实 帮 悉 歧 袒 肚 秩 念 报 聋 蛇 颜 拦 车 邻 整 剔 侯 对 弧 长 曲 线 积 分 对 弧 长 曲 线 积 分