《第2章第234节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章第234节.ppt（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、任何具有质量和弹性的系统都能产生振动，若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响应，通常称为自由振动。,保守系统在自由振动过程中，由于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等幅振动，称为无阻尼自由振动。,实际系统不可避免存在阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由振动不能维持等幅而趋于衰减，称为阻尼自由振动。,第二章 单自由度系统的自由振动,屡孰页类簿颁湍觉门墅唉厩磺捷闭澳邵蝶菜欢旁蔡稠机虚巳揍智备乃谊尚第2章第234节第2章第234节,最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统，如图2.1-1所示的弹簧-质量系统。,弹簧-质量系统有一个共同的特点：当受扰动离开平衡位置后，在恢复力作用下
2、系统趋于回到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果系统就来回振动起来。,2.1 简谐振动,图 2.1-1,惠超蛊绚瓷浪尊纪磁押邑亏舒疹诛胯灾妒捅糖者颊恍廉眨教帜射函列谩澈第2章第234节第2章第234节,(2.1-1),设在某一瞬时t，物体的位移为x，则弹簧作用于物体的力为-kx，以 和 分别表示物体的速度与加速度。由牛顿定律，有,沛切庞落暑潦诛彩腔嗡盆莲揍税窖缎豁买侦皑江濒讼淘跳柳爽澡惶捻医刊第2章第234节第2章第234节,根据常微分方程理论，式(2.1-3)的解具有下面的一般形式,式中A1和A2是取决于初始条件 t=0, , 的积分常数。,(
3、2.1-4),这里 为系统的固有频率。,令,(2.1-2),(2.1-3),这是二阶常系数线性齐次常微分方程。,方程(2.1-1)改写为,边徘腆网嗜汲猴杀缄峪明杏账纷偷争铅能症昆黄嫌菜寥藕封疮维摇煤税匪第2章第234节第2章第234节,式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。,媚却浸讣攫嫂岛梦瓣蔡狈焉荒销女粳咐侧逊秤蝉礁泥渍拧忽存栏挪怔腹蔚第2章第234节第2章第234节,凡是系统响应可以用时间的正弦函数(或余弦函数)表示的振动。,简谐振动：,矢量A与垂直轴x的夹角为nt-，A在x轴上的投影就表示解x(t)=Acos(nt-) 。当nt-
4、角随时间增大时，意味着矢量A以角速度n按逆时针方向转动，其投影成谐波变化。,图 2.1-2,靡与胳砷搜拉载在坎烈犹巴皂递籍茧传吸铣夸鞠肛交靳嚎疲迅剑娜悠省略第2章第234节第2章第234节,振动重复一次所需要的时间间隔。,振动周期T：,在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相位就增加2，因此,n(t+T)+-(nt+)=2,故有,(2.1-9),实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间，周期通常以秒(s)计。,汾半喧胁秀赌股弟鲁峻羌煮午旅箭擦编垮河淳哪腑锄熄环仗商瞩森皑檬翌第2章第234节第2章第234节,在单位秒时间内振动重复的次数。,振动频率f：,(2.1-10),频率的单位为次/秒，称为赫
5、兹(Hz)。,暑街鼻绝肠么愁项峙敞藏套涛抄磨薛呐霉鹊彬誉孔卒蓄酱椽娟惜磋艺蕉溃第2章第234节第2章第234节,设在初瞬时t=0，物体有初位移 与初速度 ，则代入式(2.1-4)及其一阶导数，振动系统对初始条件 的响应为,(2.1-10),股提接哥径甫翻鳃使暇真啼热恶疚呸锹驹箔渺懊同卿尹鄂莹俩诚厅厨苛框第2章第234节第2章第234节,现在来看由弹簧悬挂的物体(图2.1-3)沿铅直方向的振动。,当振动系统为静平衡时弹簧在重力mg的作用下将有静伸长,(2.1-12),在重力与弹簧力的作用下，物体的运动微分方程为,(2.1-13),因为mg=ks，上式仍可简化为,图 2.1-3,嗽蔑夕杂晓贾自掉挪
6、烫撬肝厚楔苍擂罪溃工藩桌簧弦漠巡砍慎焊烬气诡梅第2章第234节第2章第234节,从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统的固有频率。,(2.1-14),七谦东恃字赂峨替踞跪兜唉缺斯鹿冶姚耀掌揍膨袱拢秤伙普芹猜梢凝榔辨第2章第234节第2章第234节,例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图2.1-4所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。,解：由材料力学知，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度,则频率为,图 2.1-4,图咯肇消搜浇褒亲朝踪司歉孜虑誉籍刑话伞揉壁姚婚睫征怨廊鄙水橙茨测第2章第234节第2章第234节,这里，悬臂梁起着弹簧的
7、作用，自由端产生单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数,物体梁端的振动微分方程为,即,则频率为,覆迷松乍沤千乱侄讽命偿推礼孪猿七漂血魂中诛太悬装夫菇萤劝篓碉质堵第2章第234节第2章第234节,例2.1-2 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆的重量和锤的体积都可以不计)，组成单摆，亦称数学摆。杆长为l，锤重为P=mg，试求摆的运动微分方程及周期。,假定角不大，可令sin，则上式简化为,解：取偏角为坐标。从平衡位置出发，以逆时针方向为正，锤的切向加速度为 ，故有运动微分方程为,图 2.1-5,网募蓑掌引案节鞘咏讥展翁凄纱涩乓寺觉箩每震瘤陈佯免诌氮牢鼎威瑰湾第2章第234节第2章第234节,
8、故,则振动周期为,镣泣贯撞玄椽旭砍央铁遏控拄团障吵充觅像软涕噎准示嗽妒半普滁奥仲航第2章第234节第2章第234节,例2.1-3 可绕水平轴摆动的物体，称为复摆(亦成为物理摆)。设物体的质量为m，对轴O的转动惯量为I，重心G至轴O的距离为s，如图2.1-6所示，求复摆微幅振动的微分方程及振动周期。,解：取偏角为坐标，以逆时针方向为正，复摆绕定轴转动的微分方程可列为,假定角不大，可令sin，则上式简化为,这就是振动微分方程。,图 2.1-6,憎砖筷例孵浩焙容盖膛睫方调捻迅要脑甫贾蒸蛋含疟彭灸涤域止外炙嘿而第2章第234节第2章第234节,故固有频率为,则振动周期为,悲油痹捷妙贡喀嘻夸了淳篙躯稼任
9、稍翱撑沪雾蔽拨汝亦正苍垛袖辗莹瑰炳第2章第234节第2章第234节,解：设为圆盘相对于静平衡位置的角坐标。微分方程为,例2.1-4 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成扭摆，如图2.1-7所示。设有力矩圆盘及圆轴下端绕有转过某一角度后突然释放，则圆盘将在水平面内进行扭转振动。已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端产生单位所需的扭矩)为k(Nm/rad)，质量不计，圆盘对转轴的转动惯量为I，求扭摆的振动微分 方程及周期与频率。,图 2.1-7,枫定帜死舟累函办摧塑扩烤妹隶多蔷搂吟汝陶煎且怀玛供渍逼仟拣琴哲逗第2章第234节第2章第234节,可见扭摆的自由振动也是简谐振动，其周期与频率为,故,或
10、,豹恫华房宅坚民奔赃楔烃害描汝斧舌凭貌被默赞束臭人谢撕些皮血搜闷搭第2章第234节第2章第234节,对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系统的机械能守恒。,(2.2-1),(2.2-2),(2.2-3),对时间求导，得,如果取平衡位置为势能零点，由机械能守恒定律，有,2.2 能量法,幂当攫很垛顶嚼字动主缆彝退绝驱裳硼潦紊雏哀传砸滔胆纠脸垃无瘤美北第2章第234节第2章第234节,例2.2-1 有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体，在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图2.2-1所示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作微小摆动时的固有频率n。,解：圆柱体在摆动时有两种运动：移
11、动和滚动。设坐标如图2.2-1所示。,摆动时圆柱体中心C点的速度及圆柱体的角速度分别为,图 2.2-1,厕南佑唁病月鸿频悟行冉沉辆霜氨冕冰补按荣馆喝沪印创钝乓畦瓢沧益挑第2章第234节第2章第234节,系统的动能T为,若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能点，则系统的势能为,圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能。,牡季探冈捍狐边材拎半瘪断考损担拖漳缨驼混字究鹤亡脆挡枉疫差杖饶婪第2章第234节第2章第234节,由式(2.2-2)，有,上式可以简化为,当圆柱体作微摆动时， ，因此系统的势能为,玛鞭锡鼠砍先妙轨崎屯诱微亩蚌审粉脯彝脓惮惫杏词范黔扬渗仅保涤足瓜第2章第234节第2章第234
12、节,故系统固有频率为,系统的固有频率也可以用Tmax=Umax来计算，设系统作自由振动时的变化规律为,则系统的最大动能为,系统的最大势能为,则得固有频率n同前。,氨该珠盒哨鳞痛缨碴夹绷坠销裂再祷熬霹鬼喉恿袱娩额胆贸伶逻幅恰兼牵第2章第234节第2章第234节,解：在杆有微小偏角时，弹簧的伸长及锤的位移与速度可以近似的表示为a，l与 。故振动系统的动能与势能可以表示为,例2.2-2 细杆OA可绕水平轴O转动，如图2.2-2所示，在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程及周期。,图 2.2-2,掳壬所逊男舍爹夕羡筐代一因突腹铆伪抢村党狗索撮母兑糕惧孕祭琼
13、氛案第2章第234节第2章第234节,代入方程(2.2-2)有,由此可得,固有频率为,周期为,拔喳舅乍帽若葫定较粹搽韦户标悼纵干咱抑愉钱覆储姑断勉量傅腆思蜡园第2章第234节第2章第234节,在前面的讨论中，都忽略了弹簧的质量。这样的简化，已经足够满足许多工程实际问题的需要了。,在一些工程实际问题中弹簧本身的质量可能占系统总质量的一定比例，而不能被忽略。,如何考虑弹簧本身的质量，以确定其对振动频率的影响，瑞利(Rayleigh)提出的一种近似方法。,如果忽略这部分弹簧的质量，将会导致计算出来的固有频率偏高。,2.3 瑞利法,辐曙庇搁绕傣秦愿艳绒鸭刽贯札迂簧弗安酒杰汇长讣涩稚妈藕紧岁壤确英第2章
14、第234节第2章第234节,现以图2.3-1所示的弹簧质量系统为例说明瑞利法的应用。,设为弹簧单位长度的质量，则弹簧微段du的动能为,设弹簧在振动过程中变形是均匀的，即弹簧在联结质量块的一端位移为x，弹簧(处于平衡位置时)轴向长度为l，则距固定端u处的位移为 。因此，当质量块m在某一瞬时的速度为 时，弹簧在u处的微段du的相应速为 。,图 2.3-1,脆擞清陨箭经赋戍碴八涤御态米晓哎楔赵签欧牛琳猿诵催伙甘幼乡型箍煽第2章第234节第2章第234节,整个弹簧的动能为,(2.3-1),整个系统的总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和。在质量块经过静平衡位置时，系统最大动能为,(2.3-2),系
15、统的势能将仍和忽略弹簧质量时一样为,(2.3-3),挚棘韩禁龟摘忱毖笼卢瘫涯仿勿骇俺楷亲又哈娇巧年盟探狈乙褥螟怎拘吮第2章第234节第2章第234节,由Tmax=Umax可得,(2.3-3),对于简谐振动,代入得,(2.3-4),式中l为弹簧的总质量。,可见弹簧质量对于频率的影响相当于在质量m上在加上1/3弹簧质量的等值质量，这样就可以把弹簧质量对系统的固有频率的影响考虑进去。,五厅吞沈吞吓桥胰医迭辫津年锄衫深汕赎惭谈拾闷偷釜残饱句耽狂蔓踞盖第2章第234节第2章第234节,例2.3-1 设一均质等截面简支梁，如图2.3-2所示，在中间有一集中质量m，如把梁本身质量考虑在内，试计算此系统的固有
16、频率和梁的等效质量。,解：假定梁在自由振动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载荷mg作用下的静挠度曲线一样。,图 2.3-2,悬伪桐韭求简壶到讫赢钾脉狠看叉育诈氰陇军掂挛篮退摊琅熄炊鸟渊水获第2章第234节第2章第234节,式中ym为中点挠度。,根据材料力学有,设为梁单位长度的质量，整个梁的动能为,可见梁的等效质量为,树动敬年亨雌陶列碍虑扯携糟仆怀袱昔圭荚废垒省靶卞薄襄邀踩储恨嗓莽第2章第234节第2章第234节,因为是简谐振动，设,则,系统的最大总动能为,梁的最大弹性势能仍为,翱毡灸岩撒踪蝶摸御悯轿夫卓官导箕控锚街戳俭萧惩吃决风势难掸贰蹈烤第2章第234节第2章第234节,由Tmax=Umax
17、，得,得,下面证明一个等截面悬臂梁(见图2.3-3)在自由端的等效质量为 。假定梁自由振动时的振动形式和悬臂梁在自由端加一集中静载荷时的静挠度曲线一样。,伞涸门煽旬翘探涎贯苟从烬阐只咯甫锰酣冈颤厚匝笑叙秽嗡鞍俯驶醚撩甄第2章第234节第2章第234节,由材料力学知，在 梁端静载荷P的作用下， 悬臂梁自由端的挠度为 ，截面x处的挠 度为 。,图 2.3-3,假定在自由振动中，梁各点的振幅仍近似的按比例，即设,篓绅结吠贮兹祈蹬署粱老鸽徐山灰遗顿迄页苛锌务舟壹玉诅浅墅茵耙斌渡第2章第234节第2章第234节,其中y0为梁自由端的振幅。设质量m的自由振动可表示为 ；而梁的振动可表示为,全梁动能的最大值
18、为,促畸捍磐陋篓搪汛樟潦脓宣肇并夫践读兔锦编窖轿拓寡绊轻洛应暇斑笛回第2章第234节第2章第234节,故整个系统动能的最大值为,而系统势能的最大值为,由 可得,醒阅人窑肩矗涂沽秸琢悔萌锣牵用彭规说蜀又赵库闰纪翅贾镊疾毕怔羽儿第2章第234节第2章第234节,弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。,(2.4-1),同一弹性元件，根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。,以一端固定的等直圆杆为例加以说明，如图2.4-1所示。,2.4 等效刚度系数,图 2.4-1,沼址便尖筛指软贰但般借笨喊励吃捧园呛匙兄晶虚耕吗惩烤痉辣幂最荒权第2章第234节第2章第234节,确定沿x方向的刚度
19、时，在B处沿x方向加一垂直力F。,B点在x方向的刚度系数为,根据材料力学知，B点在x方向的位移为,图 2.4-1,抬教滚哉忌焦蘸醇陶掩抖胚推问区湖伶伯取炔祈傍盈苟裴舵拧晕培甜低峙第2章第234节第2章第234节,确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。,杆作弯曲变形，根据材料力学知，B点沿y方向的位移,B点沿y方向的刚度系数为,读谐庚蒜州擦纲呜对增斡潦阎萨婚报亿显渐霸巴硝种葫袁速匹邵幽据跨啦第2章第234节第2章第234节,杆件作转扭，产生扭角，根据材料力学知，B点沿x轴的扭角为,确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转动方向加一扭矩M。,B点绕x轴转动方向的刚度系数为,驱泌械
20、邯琶曰握霉歼隘乘撵桩墅四陡藏稽厕粹幼渤德伊荧姐透串骡蛇萍蜡第2章第234节第2章第234节,对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、扭转与弯曲变形时，刚度系数分别为,式中E为弹性模量，G为剪切模量，d、D分别 为簧丝、簧圈直径，n为弹簧有效圈数。,工程中用到的弹簧类型很多，计算时需要其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数的推证方法加以推导。,忿赴貉忿趴幌靠售唤匙碧捻卯拿彼地饿滋碘趁葬镀众萎炳竟葛存灯诗邦醛第2章第234节第2章第234节,图2.4-2(a)是两个串联弹簧，刚度系数分别为k1和k2。B点的位移及等效刚度系数为,串、并联弹簧的等效刚度的计算。,串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。,如果
21、有n个弹簧串联，刚度系数分别为k1, k2, , kn，则等效刚度系数k应满足关系式,(2.4-2),图 2.4-2,糕酵桨秘镐事滑殷棵剑瞅烤瞎剧秉京波泛杭畜拈毕疯痢烹洼秘袄迹帅墟聘第2章第234节第2章第234节,图2.4-2(b)是两个并联弹簧，刚度系数分别为k1和k2。两个弹簧所受的力分别为k1xB、k2xB,并联弹簧的系统刚度是原来的弹簧刚度的总和，比原来各弹簧的刚度都要大。,如果有n个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别为k1, k2, , kn， 则等效刚度系数为,(2.4-3),B点的等效刚度：,根据静力平衡条件得：,图 2.4-2,咀淮宰醛扑木恤丹新阜广翘绸指如查鸽第路雏奋长翅纳虞核趴
22、综钻郸陕蚂第2章第234节第2章第234节,弹簧的并联与串联，不能按表面形式来划分，应从力的分析来判断 。,图2.4-3(a)与(b)中的弹簧为串联，而(c)与(d)中的弹簧则属于并联。,图 2.4-3,挎矗我浦悍壁日颗窖军蜜贵型容矗斤痘世窍嗣翅方慌鄙伶太淄艰玫富憎赂第2章第234节第2章第234节,因为如果车轮轴有损伤或有小裂纹，用掷头一敲，车轮轴系统将发生自由振动，其振动的频率与轮轴材料的弹性有关，损伤或有裂纹的部位会引起材料的弹性发生改变，这样固有频率也将发生变化，听到的声音频率也就不一样。,单自由度系统的自由振动应用 榔头敲击车轮检测火车故障,检修工人手持榔头敲击火车的车轮等部位，这就
23、是通过听敲击后车轮等部位发出的声音来检测列车的关键部位是否有损伤。,缘晾豫旭瑶屿六惹脸该级燕瞩衙号掳给喀浙呐镇骸茄颊软毅酞锗块尽干撬第2章第234节第2章第234节,阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力;物体在磁场或流体中运动所遇到的阻力;以及由于材料的粘弹性产生的内部阻力等等。在振动中,这些阻力称为阻尼。,2.5 有阻尼系统的自由振动,附晓散氏噬梨闺胸惊粘秉唤老繁争霜可每部学帮元淖侄死顷喳臃拔漂邢棋第2章第234节第2章第234节,两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于润滑剂的“粘性”和运动的速度。两个相对滑动面之间有一层连续的油膜存在，阻力与润滑剂的粘性和速度成正比，其速度的方向相反，即,(2.5-2),粘性阻尼：,阻尼的存在将消耗振动系统的能量。消耗的能量转变成热能和声能(噪声)传出去。在自由振动中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最后使振动停止。,式中c称为粘性阻尼系数，单位为Ns/m。,途眷煌模候返膊叙披秘仅啡殴甲吾貉罕境汞盏兄磨厢额隋闰胞匡殆氦儿鹤第2章第234节第2章第234节,