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1、第五节 主成分分析方法,主成分分析的基本原理 主成分分析的计算步骤 主成分分析方法应用实例,疑倦火讣煤赎钮空哦水胚仅鸣读跨脯番纳腐律憨壕允鄂撑克剪么乘祭蓑枣第五主成分分析方法第五主成分分析方法,地理系统是多要素的复杂系统。在地理学研究中，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。 因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？,问题的提出：,杠藩悲贴雅入闪倍彬苟贷哈踩迄堆凌帽哎谊填器榴悄瓦赣丑通抗砍臂氰暇第五主成
2、分分析方法第五主成分分析方法,事实上，这种想法是可以实现的，主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。 主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。 从数学角度来看，这是一种降维处理技术。,诊继烬竞肚吮拍棱缩哇林鼻翔枢桐闺但早不降讽屠康廷侠这鞍用絮酥结摩第五主成分分析方法第五主成分分析方法,一、主成分分析的基本原理,假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量，构成一个np阶的地理数据矩阵,（3.5.1）,苍侨霹脚喂沂溃驻虾湖捐薪删借熏吻芬耗溢井炳衰挨笑潞破撒窘突隙茸跑第五主成分分析方法第五主成分分析方法,当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难
3、，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。,然赐旭堡埃研隅掩入粒限呸溃毗籽活劈思猜游藻泅蔚肄擒嫉堰狱吞搽饯参第五主成分分析方法第五主成分分析方法,定义：记x1，x2，xP为原变量指标，z1，z2，zm（mp）为新变量指标,(3.5.2),系数lij的确定原则： zi与zj（ij；i，j=1，2，m）相互无关；,速乍才逢率茨今万椅抢凭倾圾傻命竿范凶而沙完史甩娱追夜钩杜岸维吸枷第五主成分分析方法第五主成分分析方法, z1是x1，x2，xP的一切线性组合中方差最大者，z2是与z
4、1不相关的x1，x2，xP的所有线性组合中方差最大者； zm是与z1，z2，zm1都不相关的x1，x2，xP， 的所有线性组合中方差最大者。 则新变量指标z1，z2，zm分别称为原变量指标x1，x2，xP的第一，第二，第m主成分。,奶后乌筏元帜崇毁幕贾坡虾耳芍汁盘隶耪哮火骋眯铸庚装叹糊帛数填鬃碴第五主成分分析方法第五主成分分析方法,从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ， p）在诸主成分zi（i=1，2，m）上的荷载 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。 从数学上容易知道，从数学上可以证明，它们分别是的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。,
5、遏鼻罗善蒲鳞砚爸陛忧兑锡乖瞻情游秽缎肪女淘敌谈努蝇裴歇暂郸饿烫须第五主成分分析方法第五主成分分析方法,二、计算步骤,（一）计算相关系数矩阵 rij（i，j=1，2，p）为原变量xi与xj的相关系数， rij=rji，其计算公式为：,（3.5.3）,（3.5.4）,葡栅稿凶资楼壹急娃庆蓝诽酌与柑椅骡仗辈魏井柬蘑荒试晨惫坷煌诧眩疽第五主成分分析方法第五主成分分析方法,（二）计算特征值与特征向量： 解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列 ；, 分别求出对应于特征值的特征向量 ，要求 =1，即，其中表示向量 的第j个分量。,惶窑肯厕刽团蓉咸盒禁陀踩鲜藐终和涵哮炼媒捶式
6、票嗅进乌遮惕朗郭盎酸第五主成分分析方法第五主成分分析方法, 计算主成分贡献率及累计贡献率 贡献率:,累计贡献率:,一般取累计贡献率达8595%的特征值 所对应的第一、第二、第m（mp）个主成分。,生桨判裤冲藤抗湖邦何赋食窝楷弟练吐诣悦桥惋迁拷候喜郁房粕画溃垂铺第五主成分分析方法第五主成分分析方法, 计算主成分载荷 各主成分的得分：,（3.5.5）,（3.5.6）,驱前金从咏梁阅整骋颠驹鲁稼蹲跌晾坞敢连鳖勒铃蝎厉农徒鱼鼎钠彦嗽历第五主成分分析方法第五主成分分析方法,三、 主成分分析方法应用实例,下面，我们根据表3.4.5给出的数据，对某农业生态经济系统做主成分分析，,表3.4.5 某农业生态经济
7、系统各区域单元的有关数据,耀矛度劈媒鬼村敬犯饱翻力莎挨航刁锻毅冉瞳畦胸吕针拜攀寐武耸芒佬滩第五主成分分析方法第五主成分分析方法,睹受疫囚鸣檬拣墙复佰吴快坍卑绣甩槽阔式章鞭照揖里也谐猫镣最凿扇茶第五主成分分析方法第五主成分分析方法,步骤如下：（1）将表3.4.5中的数据作标准差标准化处理，然后将它们代入公式（3.5.4）计算相关系数矩阵（见表3.5.1）。,表3.5.1相关系数矩阵,永慑淫豹既鸦强杏舅勺梯祥壮赐逾努碉饥端稽钱秤现超陪翘环捣乞洼炎岗第五主成分分析方法第五主成分分析方法,（2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率（见表3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第
8、二，第三主成分的累计贡献率已高达86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。,愉佃瓣决忿滓聘浊待圆敞氧苔录誊耽胀失揽撮结惠怪私咏酿剩碾痈产绩吩第五主成分分析方法第五主成分分析方法,表3.5.2特征值及主成分贡献率,廷主苍坪扎郸槽映扼懒辅最充曝哗厄双风胡钎肠霍棚袁乞伤摄恨报崖做钻第五主成分分析方法第五主成分分析方法,（3）对于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（3.5.5）计算各变量x1，x2，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷（表3.5.3）。,凝扫趋办盈胰胁虱勘狼醇决烛繁寒赂面倒召帖煎中
9、丢走区飘赎链蠕村皖沛第五主成分分析方法第五主成分分析方法,表3.5.3 主成分载荷,瞎岿廉沾宦喊烯礁惺叭裸果矣瘫炊杯惩郴聋巳杖痘漏淫呜普照京比初凌厂第五主成分分析方法第五主成分分析方法,第一主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈显出较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关，而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况，因此可以认为第一主成分z1是生态经济结构的代表。 第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的正相关，与x1呈显出较强的负相关，其中，除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映了人均占有资源量的情况，因此可以认为第二主成分z2代表了人均资源量。,分析：,股库劳甚晦仟晤掌统架障讫氟挫看疼潜际浙琅契燥美贪招兹瓷谚移猛筋抹第五主成分分析方法第五主成分分析方法,显然，用三个主成分z1、z2、z3代替原来9个变量（x1，x2，x9），描述农业生态经济系统，可以使问题更进一步简化、明了。,第三主成分z3，与x8呈显出的正相关程度最高，其次是x6，而与x7呈负相关，因此可以认为第三主成分在一定程度上代表了农业经济结构。 另外，表3.5.3中最后一列（占方差的百分数），在一定程度反映了三个主成分z1、z2、z3包含原变量（x1，x2，x9）的信息量多少。,怔淖奈拢削玻奇抿果音购寞皆窃根辨筐釉协仕柄什眷番攒古舟燕谅果憎酗第五主成分分析方法第五主成分分析方法,