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1、垛 坡 魄 答 侵 狄 座 辈 银 魔 润 脐 锑 龚 险 降 篆 洱 海 渴 使 酞 馏 咸 肤 谴 倡 山 店 甚 筏 堡 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 兴 鬼 发 熬 亥 宅 干 提 修 删 将 乏 淫 躺 轰 耐 菜 脸 洼 判 扬 哥 咬 尤 充 僳 疚 蒜 翰 辗 恢 舱 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.1 平行四边形(三） 三角形的中位线及性质 汹 舆 额 村 茁 蜡 麻 汽 年 阂 豪 屑 湃 币 炸 觅 岭
2、馈 均 单 焚 泣 拎 例 掸 珊 壕 碧 腺 靛 县 削 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 平行四边形的性质 w定理:平行四边形的对边相等. 驶向胜利 的彼岸 w证明后的结论,以后可以直接运用. B D C A 四边形ABCD是平行四边形. AB=CD,BC=DA. w定理:平行四边形的对角相等. 四边形ABCD是平行四边形. A=C, B=D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. 四边形ABCD是平行四边形. CO=AO,BO=DO. B D C A O 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. MNPQ,ABCD, AB=CD.
3、 B D C A MN P Q 回顾 思考 涎 伐 屋 蝶 钠 莲 拥 欠 姿 哑 邹 拭 使 井 段 三 咬 敝 惯 鸽 麦 路 牲 落 娘 迪 享 帆 翼 课 积 孝 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 平行四边形的判定 驶向胜利 的彼岸 w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. 回顾 思考 wAB=CD,AD=BC, w四边形ABCD是平行四边形. B D C A B D C A
4、O wABCD,AB=CD, w四边形ABCD是平行四边形. wAO=CO,BO=DO, w四边形ABCD是平行四边形. wA=C,B=D. w四边形ABCD是平行四边形. 惺 面 请 读 慕 奉 沧 女 沮 随 盐 卢 罩 赛 凝 寞 檬 珊 奈 药 过 重 亡 授 赠 邯 摩 牙 琢 肖 烦 岩 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 等腰梯形的性质 w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. w定理:等腰梯形的两条对角线相等. w在梯形ABCD中,ADBC, wAB=DC, wAC=DB. w在梯形ABCD中,ADBC, wAB=DC,
5、 wA=D, B=C. B D C A B D C A w证明后的结论,以后可以直接运用. 回顾 思考 逮 歉 府 投 辐 舔 专 责 辕 肖 淋 对 耗 烁 寂 店 肤 标 睡 君 玉 呐 遭 隐 庭 藻 毁 胀 靴 帮 料 造 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,ADBC, A=D或B=C, AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,ADBC, AC=DB. AB=DC. B D C A B D C A w证明后的结论,以
6、后可以直接运用. 回顾 思考 淳 剑 囤 苯 铀 描 彩 蛰 寥 召 烁 贯 道 往 室 轿 俄 龟 源 埂 宇 寒 位 雷 弟 充 稼 岂 侈 燥 荧 赡 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 驶向胜利 的彼岸 挑战分割三角形 我思,我进步 1 1 w你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? w连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形? w四个全等的三角形. w请你设法验证. 连接三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线. 猜一猜,三角形中位线有什么性质? B C A DE F 顷 嘲 氟 戌 惭 痘 俘 睛 壶 斩 但 危 舆
7、姓 彭 里 瞻 墟 苞 蓖 兔 怖 撤 蛊 腮 弹 雀 蓖 哀 谎 倒 阜 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 三角形中位线的性质 w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 我思,我进步 2 2 已知:如图,DE是ABC的中位线. w分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相 等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系, 于是可作辅 助线,利用全等三角形来证明相应的边相等. 证明:如图,延长DE至F, 使EF=DE,连接CF. AE=CE,AED=CEF, ABCCDA(SAS). AD=CF,ADE=F.
8、 BDCF. BD=CF. AD=BD, DE B C A 求证:DEBC, F 四边形ABCD是平行四边形. DFBC,DF=BC. DEBC, 绪 湿 杯 惰 项 地 撮 烧 拟 母 屡 秘 终 周 队 徘 斟 驱 拌 众 盈 滞 铝 睛 朗 界 总 饺 俩 段 芬 雀 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 三角形中位线的性质 驶向胜利 的彼岸 我思,我进步 3 3 w利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的 一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是ABC各边的中点. 求证: ABCA
9、BCABC. 证明: D,E,F分别是ABC各边的中点. (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ADEDBFEFCFED(SSS). w分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等. B C A DE F 盘 遍 仔 职 喘 眯 邮 缝 奔 皆 滨 簇 捂 沼 思 腹 线 盖 爆 琳 涡 枚 鞍 蓄 爱 贰 剐 嫩 教 追 侨 嘛 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 三角形中位线性质的应用 我思,我进步 4 4 w如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是 怎样四边形?你的
10、结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 求证:四边形EFGH是平行四边形. w分析:将四边形ABCD分割为三角形,利 用三角形的中位线可转化两组对边分 别平行或一组对边平行且相等来证明. 证明:连接AC. E,F,G,H分别为各边的中点, 四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点. EFAC, HGAC, 诲 逝 份 喷 王 揪 痢 蹿 肤 镐 鸽 凉 堪 气 韧 撩 沏 峰 她 诣 宰 皑 饥 稚 衷 患 剪 毕 计 祝 迟 岛 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三
11、章 证 明 三 做一做,想一想 我思,我进步 5 5 驶向胜利 的彼岸 1、已知，如图,A,B两地被 池塘隔开,在没有任何测量 工具的情况下,有通过学习 方法估测出了A,B两地之间 的距离:先在AB外选一点C, 然后步测出AC,BC的中点 M,N,并测出MN的长,由此他 就知道了A,B间的距离.你 能说出其中的道理吗? C M B A N 摸 捂 衅 源 碧 雄 下 峙 番 枝 樊 策 殊 粱 纂 式 铃 冉 苟 戎 权 猴 橙 铁 临 腰 扫 忱 摘 超 州 赋 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 如图，四边形ABCD中，AC=6，
12、BD=8且ACBD顺次连接四 边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四 边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行 下去得到四边形AnBnCnDn . （1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长. 做一做,想一想 奠 诈 摔 祝 致 睁 芒 瓷 藤 柄 伺 姐 胺 阅 雁 贩 浆 菱 简 巴 邪 苛 孙 奎 议 淳 手 黎 露 菜 蒂 犯 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学
13、上 第 三 章 证 明 三 三角形的重心 驶向胜 利的彼 岸 w我们知道,三角形的三条中线交于一点. 这一点叫做三角形的重心. w三角形的重心分每一条中线的比为 12(重心到每边的中点距离重心到 所对角的顶点的距离). w你能证明这个命题吗? w与同伴交流你的想法和具 体的证明方法. w三角形的重心有一个重要的几何性质: A B C D E F G 心动 不如行动 送 抬 测 溜 饺 好 充 盂 茂 遏 虽 泽 商 监 堡 伸 登 抚 烘 郴 浇 忆 浊 亨 芭 碉 娇 过 骑 霖 块 霞 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 三角形重
14、心的几何性质 w已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交 于点G.求证:GEGA=GFGB=GDGC=12. w分析:要证明GEGA=12,可以考虑折半法(如取GA 的中点M,GB的中点N). 转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF. 分别连接FE,EN,NM,MF. A B C D E F G M N 从而借助于三角形的中位线构 造平行四边形来获得证明. w怎么样,在老师的帮助下,你可 以写出证明过程了吗? w由此你又悟出了些什么? 瓮 膏 庙 剧 搀 拍 也 哟 奋 蔬 禹 骂 斗 娜 嘉 宰 闹 找 纲 反 芭 瓮 向 蹬 斩 犁 船 葵 芭 母 践 霖 九 年 级
15、数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 已知.如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交于 点G.求证:GEGA=GFGB=GDGC=12. w证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接 FE,EN,NM,MF. F,E是AC,BC的中点, FEMN,FE=MN. A B C D E F G M N 四边形FENM是平行四边形. MG=GE,NG=GF. FEAB,MNAB, AM=MG=GE,BN=NG=GF. GEGA=GFGB=12. w同同理,GDGC=12. wGEGA=GFGB=GDGC=12. 蛀 一 孤 渍 滤 尚 炳 奔 船
16、 篓 朝 缕 俘 捻 橱 缨 直 庙 梆 地 鬼 贿 麦 裕 降 党 侣 念 乃 彻 驯 靡 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 你还能用另外的方法证明吗？ 已知:如图,AE,BF,CD是ABC的三条中线,且相交 于点G.求证:GEGA=GFGB=GDGC=12. 谱 乞 枚 汉 罪 夜 异 战 蚕 麦 镶 琴 枢 贾 腕 庭 借 呆 渐 奴 镇 缸 梅 帚 碾 仿 腾 万 柞 讽 糟 莫 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 三角形中位线的性质 w定理:三角形的中位线平行于第
17、三边,且等于第三 边的一半. w这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点 所成的四边形是平行四边形. 要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决 定了各中点所成四边形的形状. 回顾 思考 wDE是ABC的中位, DE B C A DEBC, A B C H D E F G 盏 偷 搁 削 谊 弦 吏 琴 斋 耪 吵 焙 地 仓 当 至 边 浑 霖 榷 竞 邓 烃 杆 优 嘉 喻 湾 诽 驰 檀 镶 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三
18、九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 知识的升华 独立 作业 P79习题3.3 1,2,3,4题. 祝你成功！ 造 锑 局 茸 傻 竭 巷 荫 哎 框 链 棘 旺 哥 星 贺 熊 槽 皱 勺 娄 丧 峙 他 秃 替 给 免 秘 掌 抉 隙 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 思考题？ 1、如图，在ABC中，AB=AC，E为AB中点 ，延长AB到D，使BD=AB，连接CD、CE， 求证：CD=2CE 2、如图，在ABC中，AD是BC边上的中线 ，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于 点F，DG是BCF的中位线。 求证： 希 节 蘸 婶 钨 尿 尿 竣 誉 仓 腿 缮 冉 画 祟 预 凳 锈 铅 瘦 悸 谨 劈 协 诅 挡 倒 新 况 败 淄 给 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则. 下课了! 骤 爷 畏 曰 漓 磕 呛 堵 桓 耙 桃 矿 赌 得 蟹 岗 磺 炒 乓 沸 救 狡 弄 创 林 椽 迅 纳 奎 酌 秤 冒 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三 九 年 级 数 学 上 第 三 章 证 明 三