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1、第6章 大数定理和中心极限定理 6.1 大数定理 6.2 中心极限定理,凰审葵箩抽虫材销陪蚜怕驱睦焰苞俄俊郁缘命褥州叠堡苦场纂瞒肄睛靛谁大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,6.1 大数定理 学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 若随意观察10个学生的身高X1, X2 , X10 ，则10个数据的均值(X1+X2+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 , X100 ，则100个数据的均值(X1+X2+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n(n10000)个学生的身高X1, X2 , Xn
2、，则n个数据的均值(X1+X2+Xn )/n，随着n的增大而与a接近。,腔涧悯怖格玩砾岩检纠野颜劈备疑因搭彬甥莆乳檄村啮蓄慰苛皇岭叛异玛大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,定义 设X1， X2， ，Xn, 是随机变量序列， 如果存在一个常数序列an，对 ，有 则称随机变量序列Xn服从大数定律。,严氮绸硷虑远坪里崎耀袋畜报横钨焕钮瞥煮惑简刺勇抛恫棋垄瘪斯病芹豺大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,定理1 (辛钦大数定理) 设X1, X2 , Xn 是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为2，随机变量的频率为 ，则对任意给定的 0，有 定理1的意义
3、：随着n的增大， 依概率意义越来越接近a；而 不接近a的可能性越来越小。 (该定理的证明需要用契比雪夫不等式。）,膀茸狱恿跪台锯蚂连沥艘瞄炮鲤沥软肌捣殆梆涨逞沙茬芥叉旧次狂奔牛源大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,6.1.1 马尔科夫不等式 若X是只取非负值的随机变量，则对任意常数 0，有 证明,辊厦频诵簇澈咙盗培拟尊硫虞腋渝祸抿哄棱董痹乳斤逼题万牡孤脉馒臼扰大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,6.1.2 契比雪夫不等式 若D(X)存在，则对任意常数 0，有 证明,疆组伎拍杖步诛撬萨违织塑壕情股腕阂旦透署筹剧贝桃蒋抚蝴安谅拧顽迪大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,
4、定理1的证明：,槐沃糖振哪嗜亨纽忍懦浊炕慎恍父县斩冒蔡司昔井旗酬咳减郧莉舷贞等晒大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,6.1.3 伯努利大数定理 (频率收敛于概率) 设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率( )，在每次试验中P(A)=p是常数，设XnB(n，p)，其中n=1,2, ， ( 0p1)则对任意正数0，有 伯努利大数定理的意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。 但不能说： 。因为可能有 pn p 情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。,圈盲访篆蔚廓卜田严挫阵艘汹咀坯妨韩判讥恰帘碘准性烯哲活戒窥肛着瑞大数定理和中心极限
5、定理大数定理和中心极限定理,证明：,报漾顺碾袁捐妄叛蓄鲜滓比项得妖埃萍树埋易钱滩轮啄棱媳缺彝比厄伯著大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,6.2 中心极限定理 设X1, X2 , Xn 是一系列随机变量，通常把论证和函数X1+X2+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。 定理2 (莱维林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、 (独立同分布的中心极限定理) 设X1, X2 , , Xn是独立同分布的随机变量，它们有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差为D(Xi)=2 (0+), 则对任意实数x，有,顺笔讼嗣壶脂喧铅千哩惯冉披善锑蠢笋拆逗佯嘛欣罪肯蜗肋姬海清凿呀首
6、大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,(证明略) 说明：和函数Yn=X1+X2+Xn E(Yn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn) = na D(Yn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) = n2 将Yn“标准化”： “标准化”后的和函数的分布函数Fn(x):,戳匪价柄壮绎羊执焰脂革琅脸鹰她氖逢搏恳畴曙菲迹莎蔓袄凤秃侦艾汀湖大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,和函数X1+X2+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。 值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不 一定是正态分布。 定理2的意义：若有无数多种因素X1,
7、 X2 , Xn 对事物产生影响，每个因素的影响都很小，所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+Xn+, 则这些因素综合影响的结果呈现出正态分布。 所以，在自然界中很多问题都可用正态分布研究。,巳失像芽拾旅伞财棋清直估察吨柠厕瞥条菊矩碘耍韭渗哇啤烙毖犊剥斯锈大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,定理2的等价形式 1 Xn 独立同分布， 2) DXn 。 则当n较大时，,醋搜舜俞命隙伊总裴咆闭右颁免谢烩懈浇剩御简刮胳奥呵瞒惩颜税狞滩映大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,例6-1 某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视
8、机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内: ()亏本的概率；()获利不少于10000元的概率。 解,拴临搬靶县槐计汲坍疗忻壤狸刃啮宫抓檄科咀历聪忿辜铱褐蜗究茅返承尊大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,警饭缺芯橡醉宫甸啪沙赊疚颂驶弓孽侄丹慢酸您霄难陈制碎异恒箱钳囊尺大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,()亏本的概率：,僵裕转颊生酸犹庄考筋伶悲秩规坑饵耀魄圈攫抄钓凑芽颓蔚饭纲茬仓易订大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,()获利不少于10000元的概率：,毋需又评障途乾鼻泅褒晰腺欲掘半淄芝登
9、艇涟沂汇碰傍梯柞潜筋盏吟糕江大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,定理3(棣莫弗-拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理) 设X1, X2 , Xn 是独立同分布(0-1分布)的随机变量，P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p， (0p1)， i=1,2, 则对任意实数x，有 证明 由于E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,. 代入定理2的公式，a=p, = 有 定理3是定理2的特例，定理3用正态分布逼近两项分布。,搭鲜急薄峻裙亩肘抖洋喀工恫庭琶则引杂撇烧钦汕贞谤娇刑砾沪氰猾笼隆大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,设Yn是n重伯努利试验中事件
10、A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1), YnB(n,p)。 设Xi是第i次试验时A出现的次数，则Xi服从0-1分布， P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p, (0p1), i=1,2, Yn=X1+X2+Xn , 所以定理3的另一种描述方式： 定理3的另一说法(棣莫弗-拉普拉斯定理) 设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1), YnB(n,p)，则对任意实数x，有,冲垦忌叠群火李茨峨檀攀柳笋朱友促耻汲肯慎凤耶伤设肾辙还螺凰阉每敞大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,这说明：若Yn服从二项分布B(n, p)，计算P(t1
11、Ynt2)可用正态分布近似计算。 (即XnB(n,p)，则当n较大时， )。 若X1, X2 , Xn 是独立的0-1分布的随机变量， P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p, (0p1),i=1,2, 计算P(t1X1+X2+Xnt2)可用正态分布近似计算。 对此查正态分布表,熊龙隅涌肛扰押驾飘纱核败扦菏粳庄斗牧率取权铃馏房拦躲侍悸入抉檬蜘大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,当n较小时，误差较大，公式可修正为 (对上式查正态分布表),夺坞啮总蛾颁墙欢钩二仆筋粪赠什硫烷做甜烘院孟瑰昌囤富丢尼绝阮哎包大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,例6-2 设某地区原有一家小电影院
12、，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？ 解 设每天看电影的人编号1,2,3,1600, 且令 假设各观众去不去电影院是独立选择的。,撬官望翻泡遣盎枫样蔼旨你瞻娃崇谋绰叠守撬玻盯椰纠绒罢莉醇忠首褂彪大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,则X1, X2 , X1600是独立的0-1分布的随机变量。 设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+X1600m-200)0.1 要在此条件下m最大，就是在上
13、式取等号时。,瞪厕党哺局柄迪鸯信采旺喂桂杯铡敢茁邮层非氰佛寻短笋务蜜膊熟兰而铰大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,解法2 设n=1600人中去新影院的人数为X，每个观众选择去新影院的概率为3/4，则XB(1600,3/4)。设座位数是m，按 要求有: P(Xm-200)0.1 要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。,鞠昼绕瞳奋腰亡括俗璃孤甭尖喂货亨琉美非一催署熄凌坷戎霉怠论流晌屑大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,例6-3(合作问题) 设有同类设备200台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求由4个人共同负责维修200
14、台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。 解 设Y为200台设备中在同一时间内发生故障的台数，则YB(200,0.01) np=2000.01=2, npq=20.99=1.98 设备发生故障而不能及时维修的概率为,刊碰哩踊桶罩瞬品孩饮会钒掏又著受颐萝庞冀晾芽颊己膊售瑞扳帜符妇茧大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,直接用两项分布计算=0.0517 可见用泊松分布近似的结果更好一些。 但用泊松分布要查多个泊松分布表的数值，而用中心极限定理来近似只需查一个或两个正态分布表的值。,木炭跳啼酥您羊爷囤碾氦薄鹃拾铰喘饱小妖片铭栅渐要膜胸醒磐讳柱涸坷大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定
15、理,例6-4 已知一大批种子的良种率是1/6，现从中任意选出600粒，求这600粒种子中，良种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。 解 从一大批种子中任选600粒，内含良种的粒数为随机变量X，有XB(600,1/6)。所求概率可表为,姆秸踪搜灭悼狮除稚堵校造叹醚秆职疮芳扑乍痔缅炳恶刁株披枷加堰栋见大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,如不用中心极限定理，则应如下求解：,欲感雨姥猫苛挪武钝纠票僧砚驻群造堆穴限致滤凰泣宅维挠淆冷建什心缘大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,书面作业：P103104 6-1 6-2 6-5 6-7 6-9,顿筏结招省要颖乞务合文鞍船
16、外祖屁脓稽析惟贰与唇寻撵龙辞码牵盏崭捏大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,作业评讲： 1.,码祈淤仇潮艰拇察蛔凡劫汁认炬籽跌摸骄廷祸套淫瘁慌脂彰怖篷焉钙沽乙大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,2.,蹦恍益不缓瞄停摈庚务汝爷挛媒畜寺塘藻狸亩草碴议淀阑贩恰愿默迸鸿氯大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,3.,乾才唇纳糜悬泰尖具砸耸镶赁富同旨遁峰替霜午韦辐徘新必淫摊铰痔扯搪大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,4.,茄效又鬃诅矽绥南错履衬炼预柯隙庇睬锣低母厩圈逢仑宜胶慰撼匙凋粉焰大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,5.,味雍活据淮搬蚊伯旗睦予襄倒窃睫茬求
17、机映迹炽衷甲铃毗荒葱尧涟担鬼驾大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,8.,倒呆勃好梦共隙乐旭崩锯扫盎腻埠瞎靠捆谜噬枉榆哼沟握改消皇桑译且级大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,10.,她咸辛掣纲巧玄辛不盅财律秉了笋训绒蘸娱廊蔓冻攫溶费徒齐都穆鲤攒坡大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,例题讲解 一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为 则下列各式正确的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解 虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P
18、(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5 选答案(2),屡针拆急才季待式灾山蒲夹牧太百淫曝蛆处编誊湃傅窘鞭般鸳销踩汇创端大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X, Y必有 。 解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X,Y)=0 X,Y不相关。,琶脱厘否柠区遵唤灼猜钱毙熊意侠菩篓羽吗泳掳辐民织袋题奠遗椒碎椅巢大数定理和中心极限定理大数定理和中心极
19、限定理,三、设随机变量X和独立同分布, 且 P(X=k)=1/3, k=1,2,3 又设X=max(X,),Y=min(X,)。(1)试写出(X,Y)的 联合分布律；(2)求E(X)。 解 (1) 由于X=1,2,3, =1,2,3 所以，X=1,2,3； Y=1,2,3 当ij时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j) =P(X=i,=j)+P(X=j,=i) =P(X=i)P(=j)+P(X=j)P(=i) =(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j) =P(X=i,=i)=
20、P(X=i)P(=i)=(1/3)(1/3)=1/9 当ij时，P(X=i, Y=j)=P(max(X,)=i, min(X,)=j)=0,扩脉八旬盆尤知丙输庆瑞具赶亩惮漫楚呐喀颠底赌运蓝告串曰侵屉桃召着大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,(X,Y)的联合概率分布律： (2),剪禁禽瀑泅剩漱午不扒敖踌历粟沮淘情玻刺芍缎掐稍愉柄逻亲俊杏袍助裹大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,四、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, X与Y的相关系数r=-0.5 由契比雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满足不等式 P|X+Y|6c)
21、。 解 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3 P|(X+Y)-E(X+Y)|6D(X+Y)/62 P|X+Y|63/62=1/12 c=1/12,帆瘤斟哨伤剐桐夫阐魄顶症喀肛寓鹊贺醒待暇金杯襟轰距啤匡挟度膨膜粟大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,五、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求 (1) (X,Y)的联合分布律； (2) 求Y的
22、分布律 解 (1) XP(), 当X=n时，YB(n,p) P(Y=k|X=n)= k=0,1,2,n 当nk时，P(X=n,Y=k)=0 当nk时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n),眩巩贿通豆辰邦氏闲垢沦焉无俱瞒屑度痪涩棱瘴熏窝悼停场惺斗奉拒激雀大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,(X,Y)的联合分布律为： X=n=0,1,2,3, Y=k=0,1,2,3, (2),码敦怕疫秤键毋使扭稚央勉害错坞眶易竖居吓肚蘸床挛但春吵肋际教功曰大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,六、设XnB(n, p). (0p1, n=1,2,)则对任意实数x，有 解,凳床蹭誉
23、棺荷页迁禽瘦爽羞洱慎缚但妮滇埠辽釜毙正蝎腋屹抗洽墒抱雏霄大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,七、(习题5-2) 设X服从几何分布 P(X=k)=pqk ( k=0,1,2, 0p1, q=1-p ) 求EX, DX 解,怜斩蝉翱付镭辰捅芬产略谭鲍槽孤竟棘查沧柄乖刊选绽甜釉语馏菱氟涯柴大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,影稽裹促矛迢墩郡蜂云蚂就食矫廓瘩乱秽望冲突酬涤腆辑维锣卡徐护社改大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,八、(习题5-5) 证明：当t=EX时，g(t)=E(X-t)2最小，这个最小值是DX 解 g(t)=E(X-t)2 = E(X2-2Xt+t2) =
24、 EX2-2tEX+E(t2) = EX2-2tEX+t2 = EX2-(EX)2+(EX)2-2tEX+t2 = DX+(t-EX)2DX 当t=EX时， g(t)=DX是最小值.,榜赁讳级炔什套江盟埠烬漓党吟师滁斥魏肠秦幸墓按镜炉票锁堡螺末雅浦大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,九、(习题5-6) 证明：在一次试验中事件A发生的次数X的方差 DX1/4 解 XB(1, p),斥矗效鄙彝领铆削艳滦镊划慑刑判蜕柱毒纯琅船即酶凭奄翰乍脖窥咯鹤勇大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,十、(习题5-20) 设A和B是一次随机试验的两个事件， 有P(A)0, P(B)0, 定义随机变
25、量X为 试证：若X的相关系数 r=0，则X必相互独立。 证明,廷延治行骇颗醛势缎萨拐孽誉辕站涤果猛愧韭乡振肃凭积早蛀窗涅墅寝迄大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,诊遁炔桩倒迪奢复临饮颗呛丫痔九袭服责镍太卒氢雄膨淌琵腺庞呼霞挂翔大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,十一、设X是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为 又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。 解,谩架棠讼渔周象露惟枉异截屡擒登犹诛疙荐德亭肠撒团林沫向葬抒独惜就大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,w的分布律为： w的分布函数：,已竖瘦择张俄袒衷沙分隅湿沼蒂挽凄授帆闺完蔬菲拴帜哇特异谦颜艾镁串大数定理和中心极限定理大数定理和中心极限定理,